非同步财务数据的Copula估计

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英文标题：
《Copula estimation for nonsynchronous financial data》
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作者：
Arnab Chakrabarti and Rituparna Sen
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  Copula is a powerful tool to model multivariate data. We propose the modelling of intraday financial returns of multiple assets through copula. The problem originates due to the asynchronous nature of intraday financial data. We propose a consistent estimator of the correlation coefficient in case of Elliptical copula and show that the plug-in copula estimator is uniformly convergent. For non-elliptical copulas, we capture the dependence through Kendall\'s Tau. We demonstrate underestimation of the copula parameter and use a quadratic model to propose an improved estimator. In simulations, the proposed estimator reduces the bias significantly for a general class of copulas. We apply the proposed methods to real data of several stock prices.
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中文摘要：
Copula是一种强大的多变量数据建模工具。我们建议通过copula对多个资产的日内财务回报进行建模。问题源于日内财务数据的异步性质。在椭圆copula情形下，我们提出了相关系数的一致性估计，并证明了插入式copula估计是一致收敛的。对于非椭圆copula，我们通过Kendall的Tau来捕捉依赖关系。我们证明了copula参数的低估，并使用二次模型提出了一种改进的估计量。在仿真中，对于一类一般的copula，所提出的估计器显著减少了偏差。我们将所提出的方法应用于几个股票价格的实际数据。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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PDF下载：
--> Copula_estimation_for_nonsynchronous_financial_data.pdf (1.17 MB)

2022-6-14 13:22:22 上传

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关键词：Copula opula 财务数据 Applications Econophysics

非同步金融数据的COPULA估计Arnab Chakrabarti，Rituparna Sen2，+Misra金融市场与经济中心，印度管理学院Ahmedabad，古吉拉特邦，印度统计学院，班加罗尔，印度摘要。Copula是一种强大的多变量数据建模工具。我们建议通过copula建立多个资产的日内财务回报模型。问题源于日内财务数据的异步性质。在椭圆copula情形下，我们提出了相关系数的一致性估计，并证明了插入式copula估计是一致收敛的。对于非椭圆copula，我们通过Kendall的Tau捕捉依赖关系。我们证明了copula参数的低估，并使用aquadratic模型提出了一种改进的估计器。在模拟中，所提出的估计器显著减少了一类一般copula的偏差。我们将所提出的方法应用于几个股票价格的实际数据。关键词：Copula、相关性、Kendall\'s Tau、异步性、依赖结构+通讯作者，电子邮件：rsen@isibang.ac.in，地址：卡纳塔克邦班加罗尔RVCE邮局迈索尔路8thMile班加罗尔印度统计研究所，邮编560059.1。引言我们已经开发了一系列非常丰富的市场风险模型，并对日内财务数据进行了全面调查。虽然单变量建模对于解决某些类型的问题很重要，但它还不足以揭示金融市场的性质和动态。不同金融工具之间的相互作用被排除在单变量研究之外。如果这些公司属于相关的商业部门或由同一家公司所欠，则可能会出现这种互动。一个投资组合的几个组成股票之间的高度依赖性增加了巨大损失的可能性。

因此，准确估计集合之间的依赖关系至关重要。因此，关联动力学模型已成为金融理论和实践的一个重要方面。关联交易是一种利用金融资产相关性结构变化的交易活动，关联风险反映了相关性变化导致的损失敞口，吸引了许多从业者的注意，见Krishnan et al.（2009）。依赖关系的精确建模在一系列实际场景中也很重要。例如，篮子期权被广泛使用，尽管其准确定价具有挑战性。主要原因是它们用于投资组合保险更便宜。成本节约取决于资产之间的依赖结构，见Salmon等人（2006）。在精算界，如Embrechtset al.（2002）所示，一些基于蒙特卡罗的风险联合建模方法，如动态财务分析，在很大程度上取决于依赖结构。Frey和McNeil（2002）以及Breymann et al.（2003）表明，模型的选择和相关性对损失分布的尾部和极端风险的度量有显著影响。从上述讨论可以看出，我们需要准确的多元建模和分析。为了进行多元分析，我们需要多元数据。这意味着我们需要所有p的数据(≥ 2） n个（足够大）时间点上的变量。例如，在日常财务数据的情况下，我们希望观察特定日期所有p股的价格。这种数据称为同步观测数据。另一方面，如果我们在特定时间点上没有观察到一个或多个变量（或股票），那么我们称之为非同步/异步数据。此类数据的一个例子是日内股价数据。

在特定的一天内，我们无法观察到所有股票的交易。图1。特定日期（2017年5月10日）前2个交易日Facebook和Apple两支股票的交易时间。x轴上的刻度为秒。同时在图1中，我们显示了两支股票在一个小时间间隔内的交易/到达时间。异步性对模型参数估计的影响可能相当严重。Epps（1979）报道的其中一种现象被称为Epps效应。本文的实证结果表明，随着抽样频率的增加，股票收益率之间的已实现协方差减小。后来，在对不同股票市场的几项研究中也报告了同样的现象，见Zebedee和Kasch Haroutounian（2009）和外汇市场，见Muthuswamy et al.（2001）。经验还表明，seeRen\'o（2003），仅考虑同步或接近同步，可以缓解这种低估问题。一些研究致力于从日内数据估计协方差。Mancino和Sanfelici（2011年）分析了Malliavin等人（2009年）最初提出的傅立叶估值器的性能。Peluso等人（2014年）采用了贝叶斯动态线性模型，并将异步交易视为其他同步序列中的缺失观测。Corsi和Audrino（2012）提出了两种协方差估计器，适用于价格时间戳的四舍五入情况，这可以看作是在较低频率下计算Hayashi-Yoshida估计器的一般方法（见Hayashi et al.（2005））。Zhang（2011）提出了一种称为双尺度实现协方差估计器（TSCV）的方法，该方法将双尺度子采样和先前的勾选方法相结合，可以同时消除微观结构噪声和异步性带来的偏差。Fan等人。

（2012）在高维环境下研究TSCV。Ait-Sahalia等人（2010）提出了二次协方差的拟最大似然估计。相关系数仅捕捉线性相关性。在这项工作中，我们致力于通过copula来估计非线性依赖结构。除了对完全依赖结构进行建模外，copula的许多其他优点之一是能够以一种非常简单的方式对变量之间的复杂关系进行建模。它允许我们根据需要对边际分布进行建模，并单独处理依赖结构。它也是建模尾部依赖性的最重要工具之一，尾部依赖性是指一种资产的回报率极高或很低，而另一种资产的回报率极高或很低，参见Xu（2008）。因此，copula也是一种建模违约时间联合分布的有用工具。因此，为信用利差篮子、信用债务债务、违约第一、违约第N和其他信用衍生工具篮子定价非常重要，见Malgrat（2013）。他们还展示了copula如何帮助将系统风险与特质风险联系起来。Zhang和Zhu（2016）开发了一类copula结构的多元极大值和移动极大值过程，这是一个灵活且统计上可行的模型，用于描述关节极值。在本文中，我们将详细讨论异步性对一类一般copula中的几个关联度量的影响。我们解释了为什么除非仔细对待，否则会严重低估关联度量。我们提出了一种估计相关性的替代方法。此外，我们还规定了准确估计关联copula的方法。

研究还表明，除非确定潜在的copula，否则对一些常用的关联度量（如Kendall的tau）的估计是具有挑战性的。论文的其余部分组织如下。在第二节中，我们讨论了非同步数据的椭圆copula参数估计，并证明了主要定理。第3节讨论了一类更一般的copula。第4节和第5节显示了仿真和realdata分析的结果。我们在第6节中给出了结论。所有的证明都在附录A.2中给出。椭圆copula的估计假设有两支股票及其在t时刻的对数价格∈ （0，T）由XtandYt表示。通过Rtand Rtwe表示相应的日志返回。虽然在Black-Scholes模型的理想世界中，假设对数收益率服从高斯分布，但金融市场的类型化事实表明，需要考虑尾部较重的分布。在多变量情况下，寻找这样一个模型是一个挑战。在某些情况下，copula似乎是我们可以使用的中心工具。第4节报告了模拟研究的结果，其中显示了异步性对相关系数估计的影响。模拟结果显示严重低估。在试图理解问题并提出aremedy之前，我们将提出一种算法来同步数据，使其适合标准多元分析。我们应该注意到，一些研究（见Hayashi et al.（2005），Buccheriet al.（2020））试图在不同步数据的情况下计算综合协方差。2.1. 配对方法。股票价格在交易发生时随机观察。

由于一只股票的交易不会影响另一只股票的交易时间，因此可以合理地假设两只股票的观察时间是独立的点过程。因此，如果我们将第一只股票的对数价格及其发生时间设为（Xi，ti），i=1，2。。，和第二个库存的值为（Yj，tj），j=1，2。。。，n、 那么tis和tjs是独立的。这里分别列出了在特定日期可获得的第一和第二只股票的观察数量。在建立copula模型之前，需要对两个股票价格的观察结果进行配对，以便将其视为同步观察。传统的同步方法需要一组（或样本）n个时间点τi，i=1（1）n，我们希望在该时间点观察异步对。对于每个股票，在每个采样时间点τi之前观察到的勾号信息被选择来构建同步对（Xτi，Yτi），产生n个这样的勾号。从上面的讨论中可以明显看出，除非我们允许重复，否则同步对的数量小于nand和n。这意味着将删除每个库存中的许多观察结果，而不用于进一步分析。广义采样时间定义如下。定义1。假设我们有M只股票。tikis是第i个资产的第k个到达时间。然后{τj:1≤ j≤ n} 如果a）0=τ<τ<…<τn=T。b） （τj-1，τj]∩ {ti，k:k=1，…，ni}6= 对于某些i=1。。。，M、 c）最大值1≤j≤nδj→ 概率为0，其中δj=τj- τj-1、如果δj=δ，则称为上一次勾选采样。在上述方法中，从原始时间点移除观测值，并将其分配给采样时间点τj，对于某些j。相反，我们希望保留选择成对价格的实际时间。

换言之，我们不需要像（Xτj，Yτj）这样的一对，而是希望有一个apair（Xtki，Ytki），其中tkia和tkia是观察第i对股价的时间。为了强调这一点，我们将该算法称为“配对方法”（与“同步方法”相反）。本文始终遵循的配对方法通过以下算法（A）进行描述：图2。箭头表示的两个连续对。算法（A）：1。取i=1、ki=1和ki=12。而ki≤ nand ki≤ n： o如果tki>tkithen find m=max{j:tj<tki}。第i对为（Xtm，Ytki）。修改ki=m.o如果tki<tkithen find m=max{j：tj<tki}。第i对为（Xtki，Ytm）。修改ki=mo修改i=i+1。ki=ki+1和ki=ki+1。该算法创建的对与“刷新时间采样”创建的对相同（见Barndor Off-Nielsen et al.（2011）），但通过保留事务时间来容纳更多信息。我们将不再写（Xtki，Ytki），而是写（Xt（ki），Yt（ki））。在图2和图3中，tjand tiare配对为（t（kl），t（kl））。这些图说明了如何使用该算法选择下一对。在图2中，tj+1<ti+1。因此，ti+1=t（kl+1）和t（kl+1）被选为第一批库存中小于ti+1的最大到达时间。在图3中，tj+1>ti+1。因此，选择tj+1=t（kl+1）和t（kl+1）作为第一批库存中小于tj+1的最大到达时间。这些对由箭头表示。图3：。箭头表示的两个连续对。2.2. 相关系数的估计。一旦我们有了成对的观察结果，我们就可以继续计算相关系数。我们将（X，Y）表示为二元rv，平均值为0，方差为1，相关系数为ρ。（X，Y）独立于到达过程。

因为日志返回Xt（ki）- Xt（ki-1） 和Yt（ki）- Yt（ki-1） 在两个不相同的时间间隔上计算，即（t（ki），t（ki））和（t（ki-1） ，t（ki-1） ），收益之间的相关性主要取决于这两个时间间隔的重叠部分和非重叠部分的长度。要了解这一点，首先假设Xt（ki）- Xt（ki-1） =Pli=m（Xti+1- Xti）对于某些命令，这里{ti:i=1（1）（n+n）}是一组组合的（有序的）时间点，在这些时间点上（在任何股票中）记录了一个反作用。那么这四种配置中有一种是正确的：1、Yt（ki）- Yt（ki-1） =Pl-1i=m+1（Yti+1- Yti）2。Yt（ki）- Yt（ki-1） =Pl-1i=m-1（Yti+1- Yti）3。Yt（ki）- Yt（ki-1） =Pl+1i=m+1（Yti+1- Yti）4。Yt（ki）- Yt（ki-1） =Pl+1i=m-1（Yti+1- Yti）（1） 前两种配置的图示见图4和图5，其中连续两对原木价格为（Xt（ki），Yt（ki-1） ）和（Xt（ki），Yt（ki））及其相应的交易时间（t（ki-1） ，t（ki-1） ），（t（ki），t（ki））。图4：。两个连续的日志返回对是（Xt（ki-1） ，Yt（ki-1） ）和（Xt（ki），Yt（ki））及其相应的事务时间（t（ki-1） ，t（ki-1） ），（t（ki），t（ki））图5。两个连续的日志返回对是（Xt（ki）、Yt（ki））和（Xt（ki-1） ，Yt（ki-1） ）根据其对应的交易时间（t（ki），t（ki）），（t（ki+1），t（ki+1）），我们定义了一个随机变量Ii，表示与Xt（ki）相对应的第i个间隔的重叠时间间隔- Xt（ki-1） 和Yt（ki）- Yt（ki-1） 二=t（ki）- t（ki-1） 如果Yt（ki）- Yt（ki-1） =Pl-1i=m+1（Yti+1- Yti）t（ki）- t（ki-1） 如果Yt（ki）- Yt（ki-1） =Pl-1i=m-1（Yti+1- Yti）t（ki）- t（ki-1） 如果Yt（ki）- Yt（ki-1） =Pl+1i=m+1（Yti+1- Yti）t（ki）- t（ki-1） 如果Yt（ki）- Yt（ki-1） =Pl+1i=m-1（Yti+1- Yti）对于图4，Ii=t（ki）- t（ki-1） 对于图5，Ii=t（ki）- t（ki-1).首先考虑图4。定义T={ti:i=1（1）n}，其中n=n+n，其中n是两个股票的观察数量。

条件期望：E（Xt（ki）- Xt（ki-1） ）（Yt（ki）- Yt（ki-1） ）| T= E（Xt（ki）- Xt（ki-1） ）（Yt（ki）- Yt（ki-1） ）| T，（T（ki-1） ，t（ki-1） ，t（ki），t（ki））=（tj，tj+1，tj+3，tj+2）= E（Xtj+3- Xtj+2+Xtj+2- Xtj+1+Xtj+1- Xtj）（Ytj+2- Ytj+1）|（tj、tj+1、tj+3、tj+2）= E（Xtj+2- Xtj+1）（Ytj+2- Ytj+1）|（tj、tj+1、tj+3、tj+2）= E（Xptj+2- tj+1。Yptj+2- tj+1 |（tj，tj+1，tj+3，tj+2））=（tj+2- tj+1）E（XY）=（tj+2- tj+1）ρ因此，E[（Xt（ki）- Xt（ki-1） ）（Yt（ki）- Yt（ki-1） ）]=ρE（t（ki）- t（ki-1） ）同时，E[（Xt（ki）- Xt（ki-1） ）| T]=E（Xti+3- Xti | tj，tj+3）E（Xtj+3- Xtj | tj，tj+3）=（tj+3- tj）EX=tj+3- tjand因此，E（Xt（ki）- Xt（ki-1） ）=E（t（ki）- t（ki-1)). 类似地，E（Yt（ki）- Yt（ki-1） ）=E（t（ki）- t（ki-1)). 因此，对于图4的情况，Cor[（Xt（ki））- Xt（ki-1） ），（Yt（ki）- Yt（ki-1） ）]=ρE（t（ki）- t（ki-1） ）qE（t（ki）- t（ki-1)).qE（t（ki）- t（ki-1） ）这些例子引导我们得出第一个定理。我们考虑以下假设（A）：A：对数回归过程遵循独立和平稳的增量特性A：两个股票的观测时间（到达过程）是独立的更新过程，n→ ∞ 作为n，n→ ∞A： 估计基于算法ATheorem 1获得的成对数据。根据假设A- A、 下面定义的θ是真实相关系数θ=ρ的一致估计值√m、 mm（I），其中l=1，2 ml=nPni=1（t（kli）- t（kli-1） ，m（I）=nPni=1，ρ是基于对的样本平均值和样本相关系数。此外√n（f（^θ）- f（θ））d→ N（0，1），其中f（θ）=[对数（1+θγ）- 日志（1-θγ）]，f（^θ）=[对数（1+^θγ）- 日志（1-^θγ）]，γ=qE（t（ki）- t（ki-1） ）E（t（ki）- t（ki-1） E（Ii）附录A给出了定理1的证明。根据该定理，为了得到一致的估计量，我们需要将基于成对观测值的通常样本相关系数（通过算法A）乘以校正因子。