资本充足率测试与金融机构有限责任

如果A L∞是一个相干的剩余不变接受集，它是σ（L∞, 五十） 闭合，然后b（A）={Z∈ L+；E[X-Z] =0， 十、∈ A}。（4.13）证明。根据σAin（4.3）的表示，对于所有X∈ A和Z∈ L+σA（Z）=infY∈AE[-Y-Z]≤ -E[X-Z]≤ 0 . （4.14）自B（A）={Z∈ L+；σA（Z）=0}通过注释4.3，我们立即得到（4.13）。定理4.9。设A是L中的相干剩余不变接受集∞对于σ（L）是闭合的∞, 五十） 拓扑结构。然后存在一个∈ F使得A=跨度（A）={X∈ L∞; X1A型≥ 0} . （4.15）证明。验收集A可以表示为（4.2）中的γ：=σA。根据表4.8，很容易显示A=\\Z∈B（A）{X∈ L∞; E[X-Z] =0}。（4.16）由于Lis是可分的，所以[2]中的推论3.5意味着存在B（a）的可数密集子集（Zn）。我们声称a=\\n∈N{X∈ L∞; E[X-Zn]=0}。（4.17）我们只需证明包含”” 因为逆向包含紧随其后（4.16）。为此，选择X∈ L∞满足E[X-Zn]=0表示所有n∈ N和Z∈ B（A）。根据密度，在L中存在（Zn）的子序列（Yn）收敛到Z。这意味着X-Yn公司→ 十、-Zin L，表示E[X-Z] =0。因此，从（4.16）可以看出X属于a，因此（4.17）中a的双重表示成立。最后，设置A：=序号∈N{Zn>0}∈ 如果我们获得a=\\n∈N{X∈ L∞; P（{X<0}∩ {Zn>0}）=0}={X∈ L∞; X1A型≥ 0}，（4.18），这是证明的结论。自正锥L∞+是唯一具有定律不变性的跨度接受集，我们立即得到以下结果。推论4.10。设A是一个相干的剩余不变接受集∞对于σ（L）是闭合的∞, 五十） 拓扑结构。如果A是定律不变的，那么A=L∞+.备注4.11。例3.6中引入的基于短缺风险的凸接受集既具有盈余不变性又具有法律不变性。

这表明，要求一个凸的、剩余不变的接受集具有bealso定律不变性并不像相干情况那样具有限制性。5有限维中的剩余不变性一种重要的情况，特别是从实用的角度来看，是指Ohm 是有限的，F是离散σ-代数，即Ohm. 在这种情况下，L∞可以用RN标识，其中N是Ohm. 我们证明了RNA中的闭、凸、剩余不变接受集本质上是正锥RN+的变换。我们首先将引理3.3改编为案例Ohm 最后，省略标题。引理5.1。验收集A RNis剩余不变当且仅当（δx，…，δNxN）∈ 外汇兑换∈ A和（δ，…，δN）∈ {0，1}N。对于本节的其余部分，我们假设 RN是一个闭合的剩余不变接受集。每个j的定义∈ {1，···，N}vj：=infx∈Axj公司∈ [-∞, 0] . （5.1）我们用ej，j表示∈ {1，···，N}，RN的正则基向量。引理5.2。假设vj=···=vjR=-∞ 对于j，年少者∈ {1，…，N}和R∈ {1，…N}，thenPRi=1xjieji∈ A对于每个xj，xjR公司∈ R、 证明。以xj、xjR为例∈ R、 假设每个i∈ {1，…，R}我们发现y∈ 这样一来，yi=Rxji。引理5.1表示Rxjieji∈ A和A的凸性，然后yieldsPRi=1xjieji∈ A，asclaimed。请注意，上述情况意味着如果vj=-∞ 对于每个j∈ {1，…N}然后A=RN，这是不可能的，因为A是正确的。因此，存在j∈ {1，…，N}这样vj>-∞. 重新编号后，如有必要，我们可以假设存在1≤ K≤ N使得v，vK公司∈ R和vK+1=···=vN=-∞. 我们用π：RN表示→ Rk由π（x，…，xN）定义的正则投影：=（x，…，xK）。（5.2）通过（a，z）：=（a，…，aK，z，…，zN-K） ，a∈ RK和z∈ 注册护士-K、 我们表示RK×RN的一般元素-K、 引理5.3。

集π（A）是一个闭的、凸的、剩余不变的接受集i n RKandA=π（A）×RN-K、 （5.3）证明。显然，π（A）是RK的一个非空的真子集。取任意a∈ π（A），因此存在sz∈ 注册护士-K如（a，z）∈ A.如果b∈ RK带b≥ a、 然后（a，z）≤ （b，z），我们从A的单调性推断出（b，z）∈ A.这又意味着b∈ π（A），因此π（A）是一个接受集。此外，由于π的线性，它是凸的。为了证明π（A）是剩余不变的，取A∈ π（A）。ByLemma 5.1我们得到（a，0）∈ A.由于A是盈余不变量，因此(-一-, 0) ∈ A，因此-一-∈ π（A）表明π（A）是引理3.3的剩余不变量。最后，为了证明π（A）是闭合的，在π（A）中取一个序列（an）收敛到某个A∈ RK。请注意（an，0）∈ 引理5.1再次给出A。因此，由于A是闭合的，我们必须有（A，0）∈ A所以A∈ π（A）。自A π（A）×RN-Kis显然是正确的，为了证明（5.3），我们只需要建立逆向包含。为此，采取（a，z）∈ π（A）×RN-K、 引理5.2得出（0，αz）∈ A表示每α>0。此外（a，0）∈ 引理5.1中的A。A的凸性现在意味着（（1- λ） a，λαz）∈ 每λ为A∈ （0，1）和每个α>0。特别是，（（1- λ） a、z）∈ A代表所有λ∈ (0, 1). 因为A是闭合的，所以让λ→ 0我们得出结论（a，z）∈ A.对于 RN，我们用锥（A）表示包含A的最小凸锥，用锥（A）表示其闭包。下一个结果表明，有限维中的剩余不变接受集本质上是正锥的平移。提案5.4。设置w：=（v，…，vK，0，…，0）。然后锥（A- w） =RK+×RN-K、 （5.4）证明。显然是A {a∈ RK；aj公司≥ vj、，j=1，K} ×RN-K、 因此，圆锥（A-w） RK+×RN-K、 注意，对于每个j=1，···，K，我们有（vj+m）ej∈ A每m≥ 0，这意味着λ（vjej-w） +λmejbelongs至锥体（A- w） 对于每λ>0和m≥ 0

选择m：=λ，我们可以看到λ（vjej- w） +ejalso属于锥体（A- w） 对于每个λ>0，使λ→ 0，我们获得ej∈锥体（A- w） 对于所有j=1，K、 因为，通过引理5.2，向量±ej∈ A表示j=K+1，N我们获得Rk+×RN-K锥体（A- w） 。证据到此结束。备注5.5。在以下情况下，不会出现相应的结果：(Ohm, F，P）是一个有限概率空间。事实上，对于任何成对不相交的序列（An），正概率定义的可测量集：={X∈ L∞; X1An≥ -n1An， n∈ N} 。（5.5）集A很容易被看作是一个凸的剩余不变接受集，即σ（L∞, 五十） 已关闭。但是，不可能存在W∈ L∞用一个- W L∞+, 因为这意味着Aare中的元素从下面一致有界。6个积极的盈余不变风险度量因此，到目前为止，我们将注意力集中在盈余不变接受集A上 L∞以及ρA，S形式的盈余不变量风险度量，以及合格资产S。在最后一节中，我们试图澄清这些对象与Cont、Deguest&He在[6]和Staumin[19]中研究的风险度量类别之间的关系，重点关注我们认为从资本充足率角度最相关的那些资产。为了进行比较，我们使用了现金附加风险度量，即合格资产被取为beS=（1,1）Ohm). 回想一下，在这种情况下，我们写的是ρA，而不是ρA，S。备注6.1。让A L∞是一个可接受集，那么ρAis是众所周知的具有完整价值和Lipschitzcontinuous的。此外，ρA=ρAandA={X∈ L∞; ρA（X）≤ 0}. 在续集中，我们使用这些事实，而无需进一步参考。定义6.2。如果风险度量ρ被归一化，即ρ（0）=0，并且如果它只取正实值，则称为正风险度量。备注6.3。（i） 正的盈余不变风险度量与[19]中引入的短缺风险度量一致。

这是因为，对于正风险度量，su-rplus不变性等价于ρ（X）=ρ(-十、-) 对于每X∈ L∞. （6.1）（ii）[6]中引入的基于损失的风险度量是正的盈余不变风险度量ρ，满足现金损失性质：ρ(-α） =每个α的α≥ 0.6.1ρ形式的风险度量和ρaca形式的风险度量的截断可以是正的，因为现金可加性意味着ρAis不受下面的约束。然而，有两种从ρA构造正风险度量的自然方法。除了[6]和[19]中考虑的一个例子之外，我们在下面回顾的所有例子都是基于这两种构造原则之一。示例6.4。让A L∞成为验收集。1、映射ρ∧A： L∞→ [0, ∞) 通过设置ρ确定∧A（X）：=ρA（X∧ 0）=ρA(-十、-) 对于X∈ L∞. （6.2）如果ρA（0）=0，则th enρ∧Ais是一种正的盈余不变风险度量。这种风险度量被称为基于损失的ρAin版本【6】和ρAin的超额不变对应物【19】。2、映射ρ∨A： L∞→ [0, ∞) 通过设置ρ确定∨A（X）：=ρA（X）∨ 0=最大{ρA（X），X为0}∈ L∞. （6.3）如果ρA（0）≤ 0，则ρ∨Ais是一种积极的风险度量，但并不总是盈余不变。在下面的第6.7节中，我们描述了这种情况。示例6.5。下表列出了【6】和【19】中处理的风险度量ρ的主要示例。注意，所有这些风险度量都可以写成ρ∧A此处A L∞是（不一定是剩余不变的）接受集A（ρ）。有关更多详细信息，请参阅[6]和[19]。1.（基于情景的保证金要求，[6]）与∈ F是由ρ（X）：=ess sup（1AX）定义的正盈余不变风险度量-) , （6.4）其中ess s up（X）表示随机变量X的基本上确界∈ L∞.2.

（看跌期权溢价[6]）看跌期权溢价是由ρ（X）：=E[X]定义的正盈余不变风险-] 对于X∈ L∞. （6.5）Jarrow在【16】中研究了该风险度量。3.（光谱损耗测量，[6]）LetД：（0，1）→ [0, ∞) 是一个递减函数，rД（x）dx=1。与Д相关的光谱损失度量是由ρ（X）：=Z（VaRβ（X）定义的正盈余不变风险度量∨ 0）Д（β）dβ（6.6）=ZVaRβ(-十、-) Д（β）dβ代表X∈ L∞. （6.7）Acerbi[1]中引入了相应的未运行版本。注意，（6.6）中的等式是由于风险值的s urplus不变性。特别是，对于给定的α，设置Д（β）：=α（0，α）（β）∈ （0，1）我们得到ρ（X）：=TVaRα(-十、-) 对于X∈ L∞, （6.8），在【6】中称为预期尾部损失。4.（短缺风险，[19]）让u:R→ R是u（0）=0的递增函数。短缺风险度量是由ρ（X）定义的正盈余不变风险度量：=-E【u】(-十、-)] 对于X∈ L∞. （6.9）这类风险度量是由Follmer和Schied在[13]中提出的。[6]中的以下示例令人感兴趣，因为它显示了一个不能以ρ形式书写的正风险度量∧A对于任何验收集A L∞.示例6.6（损失确定性当量，[6]）。让u：[0，∞) → R是严格递增的，d是严格凸的。损失确定性等价物是由ρ（X）：=u定义的正的s urplus不变风险度量-1（E[u（X-)]) 对于X∈ L∞. （6.10）如【6】所述，损失确定性当量通常不能以ρ的形式书写∧a适用于合适的验收集。我们现在提供ρ形式的when风险度量的特征∨Aare剩余不变，建立与su rplus不变接受集的链接。提案6.7。让A L∞成为验收集。

以下陈述相等：（a）ρ∨Ais盈余不变量；（b） A是剩余不变的。如果ρA（0）=0，则上述（A）和（b）等于（c）ρ∨A=ρ∧A、 证明。假设（a）成立。对于任何X∈ A我们有ρA（X）≤ 0，hen ceρ∨A（X）=0。自ρ起∨Ais盈余不变，这意味着ρ∨A(-十、-) = 因此，ρA(-十、-) ≤ 0以便-十、-∈A和（b）由Emma 3.3决定。因此，（a）意味着（b）。相反，假设（b）成立。那么ρAis盈余由命题3.12保持不变，因此ρAsinceρA=ρA也是如此。现在，取X∈ L∞. 如果ρA（X）≥ 0然后ρ∨A(-十、-) = ρ∨A（X）紧随其后，因为ρAis盈余不变。否则，如果ρA（X）<0，则得到X∈ A因此-十、-∈ A的剩余不变性。因此，ρA(-十、-) ≤ 0表示ρ∨A(-十、-) = 0 = ρ∨A（X）。总之，（b）意味着（a）。假设ρA（0）=0，且（b）成立。由于ρA=ρA，r isk通过命题3.12再次度量ρAis剩余不变量。如果ρA（X）≥ 0然后ρ∨A（X）=ρA（X）=ρA(-十、-) = ρ∧A（X）。另一方面，如果ρA（X）<0，则X∈ 剩余不变性意味着-十、-∈A.因此0=ρA（0）≤ ρA(-十、-) ≤ 0，因此ρ∧A（X）=0=ρ∨A（X）。因此，（b）意味着（c）。最后，由于ρ∧Ais总是剩余不变量，（c）暗示（a），结束证明。现金可加性取决于正性在本节中，我们确定正盈余不变风险度量的形式为ρ∨A对于Somesuplu s-不变接受集A L∞. 为此，我们回顾了文献[19]中介绍的现金可加性服从正性的性质。定义6.8。正风险度量ρ：L∞→ [0, ∞ ) 如果ρ（X+α）=ρ（X），则称为正的现金加成- α（6.11）每X保持一次∈ L∞和α∈ R使得ρ（X）>α∨ 0、提案6.9。

对于正的盈余不变风险测度ρ：L∞→ [0, ∞) 以下语句等效：（a）ρ=ρ∨A对于一些剩余的变量接受集A L∞;（b） ρ为正的现金加成。（a）中设置的验收可始终视为a：=a（ρ）。证据ρAreadily的现金可加性意味着ρ∨Ais现金添加剂受积极影响。因此，（a）意味着（b）。现在假设（b）保持不变，取X∈ L∞. 我们声称ρ=ρ∨A（ρ）。如果ρ（X）=0，则ρA（ρ）（X）≤ 因此ρ（X）=0=ρ∨A（ρ）（X）。如果ρ（X）>0，则紧随其后的是所有ε>00的现金可加性≤ ρ（X+ρ（X））≤ ρ（X+ρ（X）- ε） =ρ（X）- ρ（X）+ε=ε。（6.12）尤其是X+ρ（X）- ε /∈ A（ρ）使得ρA（ρ）（X）≥ ρ（X）- ε所有ε>0。出租ε→ 0，我们得到ρA（ρ）（X）≥ ρ（X）。此外，让ε→ 在（6.12）中，我们还得到ρ（X+ρ（X））=0，因此ρA（ρ）（X）≤ ρ（X）。这表明ρ（X）=ρA（ρ）（X）=ρ∨A（ρ）（X），得出（b）意味着（A）的证明。备注6.10。之前的结果适用于任何正风险度量ρ：L∞→ [0, ∞) 如果我们不要求（a）中的接受集是剩余不变的。现金损失可加性【6】中引入的现金损失可加性性质表征了ρ形式的正盈余不变风险度量∧A、 定义6.11。正风险度量ρ：L∞→ [0, ∞) 如果对everyX来说≤ 0和α>0满足ρ（X- α） =ρ（X）+α。（6.13）【6】第4.2节在凸性假设下证明了以下结果，然而，凸性假设对于证明是不必要的。提案6.12。设ρ：L∞→ [0, ∞) 是一个正的盈余不变风险度量。以下是等效的：（a）ρ=ρ∧A对于一些剩余的变量接受集A L∞;（b） ρ是现金损失加法。（a）中设置的验收可始终视为a：=a（ρ）。备注6.13。

（a）中的验收集始终满足ρa（0）=0，这对于ρ是必要的∧是积极的风险措施。6.2资本充足率：可接受性和运营意义在本节中，我们重点讨论将正风险度量ρ解释为资本要求时需要解决的两个重要问题：ρ中隐含的可接受性标准是什么？ρ（X）的操作意义是什么？可接受性如前所述，当正风险度量ρ被解释为资本要求时，有一个与之相关的自然资本充足率测试或可接受性标准：可接受头寸正是那些不需要任何额外资本的头寸，即属于a（ρ）：={X的头寸∈ L∞; ρ（X）=0}。（6.14）正的盈余不变风险度量所产生的可接受性标准始终是盈余不变的。这个简单的结果在[6]和[19]中考虑的风险度量类型与本文开发的理论之间建立了关键联系。引理6.14。如果ρ：L∞→ [0, ∞) 是一个正的盈余不变风险度量，那么接受集a（ρ）是盈余不变的。证据如果X∈ A（ρ）然后ρ(-十、-) = ρ（X）=0，表明-十、-∈ A（ρ）。因此，A（ρ）是引理3.3的盈余不变性。以下结果在理解与[6]和[19]中考虑的正盈余不变风险度量相关的隐含可接受性标准方面起着关键作用。回想一下，如果ρ（X）>0表示所有非零X，则风险度量ρ称为敏感∈ L∞X处的此类th≤ 0、提案6.15。设ρ：L∞→ [0, ∞) 是一个正的盈余不变风险度量。如果ρ是敏感的，那么A（ρ）=L∞+.证据很明显，我们有∞+ A（ρ）。确实，如果X∈ L∞+然后0≤ ρ（X）≤ ρ（0）=0，表示x∈ A（ρ）。为了证明逆包含，取X∈ A（ρ）并假设P（X<0）>0，因此X-为非零。

由于ρ是敏感的，因此ρ（X）=ρ(-十、-) > 0，因此X/∈ A（ρ）。备注6.16。示例6.5中的看跌期权溢价和频谱损失度量，以及示例6.6中的损失确定性相等，都是敏感的。因此，前面的命题意味着相应的接受集坍塌到正锥。当u严格增加时，这也是示例6.5中引入的短缺风险的原因。ρ型正剩余不变风险测度的情形∨A和ρ∧人工智能特别有趣。这里，验收集A是预先指定的。在从ρAtoρ转换时，研究是否保留了原始的可接受性标准是很自然的∨A和ρ∧A、 分别为。通过fr omρAtoρ时∨A验收集在关闭前保持不变。然而，在转变为ρ的过程中，asProposition 6.17显示∧A当且仅当ifA是s urplus不变量时，基本可接受性标准保持到closure。在这种情况下ρ∧A和ρ∨A根据第6.7条提案。如果不是盈余不变性，可接受性标准可能会大幅改变，如下面的示例6.18所示。因此，由于接受集a已经体现了监管机构对风险的态度，因此似乎ρ形式的风险度量∧a从资本充足率的角度来看，没有ρ的形式有趣∨A、 提案6.17。让A L∞成为验收集。以下陈述成立：（i）A（ρ∨A） =A；（ii）如果ρA（0）=0，则A（ρ∧（A）A.M以上，A（ρ∧A） =A当且仅当A是剩余不变的。证据（i） 这紧接着sinceA={X∈ L∞; ρA（X）≤ 0}={X∈ L∞; ρ∨A（X）=0}=A（ρ∨A） 。（6.15）（ii）自A（ρ∧A） ={X∈ L∞; ρA(-十、-) = 0}，我们立即得到A（ρ∧（A）A.因此，我们只需要描述平等何时成立。