最坏情况下，单变量和双变量边际预期短缺

因此，随着ρ的降低，专家信息的可信度也越来越高，当已知的或从集合N中的最大熵获得的精确双变量边缘值时，边界从共单调上界降低到最坏情况下的边界。在我们的计算中，边界是通过样本建模语言访问的KNITRO解算器估计的。对于数值示例，我们将N={1,2,3,4,5}与随机变量Ci={1,2，…，10}中的值进行x=i∈ N设二元边值为N={（1，2），（2，3），（3，4），（4，5）}，其中索引集（N，N）形成一个系列图。我们首先考虑一个边际信息一致的例子。与一致的单变量和双变量边缘相对应，可以使用Chow Liu treedistribution生成联合分布，从而确保（3.3）定义的分布类ρ对于任何ρ都是非空的≥ 为了计算界，我们用k={1，2}，ai=1来求解凸优化问题（3.4）∈ N，b=-i的β和ai=0∈ N，b=0。辛塞皮∈在{5，6，…，50}中，我们可以在[5，50]中改变β。我们假设每个▄Ci是一个离散均匀随机变量，其取Ci中的值的概率为0.1。我们考虑了三种不同类型的依赖关系，通过以下方式对集合中的专家信息进行建模：（i）非常正相关的随机变量对，（ii）成对独立的随机变量和（iii）非常负相关的随机变量对。对于正相关随机变量，NAR中的二元分布采用离散均匀边缘和相关参数为0.69的高斯copula（离散化）。

图1表示通过求解β=15、30、45上的凸优化问题（3.4）得到的随机变量cand的最优双变量分布的概率热图，对应于参数ρ=0.00001、0.01、0.1、0.5的不同值。我们还在图中提供了最坏情况的界限（在每个子图的标题中写为“界限”）。集合中其他二元分布的最优分布与图1（通过构造）中观察到的相同，因此此处未显示。在图1中，我们观察到，当ρ减小时，双变量分布与微小变化呈正相关，其中界限略有减小。在图2中，我们考虑了专家信息在集合N中是成对独立的二元分布（可以是具有相关参数0的高斯copula）的情况。如图所示，最坏情况下的二元分布随着ρ的减小，从正相关分布移动到独立分布。与图1相比，这些实例中的边界减少更多。最后，在图3中，我们考虑了这样一种情况，即Nare中的二元分布是用均匀边缘和相关参数为0.69的高斯copula选择的。在这种情况下，随着ρ的减小，最坏情况下的二元分布从正相关分布变为负相关分布。在这种情况下，由于专家信息与最坏情况下的具有共单调随机变量的双变量分布非常不同，因此边界减少得更多。在图4中，我们将摄动参数ρ=0.1的Fr'echet界限与从准确已知的二元分布和仅从三种情况下已知的不同β的单变量分布获得的界限进行了比较。

观察到，根据已知的专家信息（即双变量分布），Fr'echet界限在单变量和双变量信息获得的界限之间变化。对于正相关情形，ρ=0.1的Ffr'echet界更接近单变量界，而对于负相关情形，则更接近双变量界。因此，我们观察到，该模型能够捕获最坏情况下风险度量的稳健性与专家信息的可信度之间的权衡。对于我们的下一个示例，与上述单变量边缘的离散均匀分布不同，我们考虑了i的非均匀离散单变量分布∈ N和表1中给出的边缘，同时生成（i，j）的三个不同的二元分布∈ 如上例所示，使用离散高斯copula，即相关系数为0.69、0和-0.69.c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10ui（c）0.025 0.050 0.075 0.15 0.20 0.20 0.15 0.075 0.050 0 0.025表1：单变量边缘通常在所有三种情况下边缘都不一致（因为离散化高斯copulas是离散均匀边缘）。因此，我们解决了最近一致性问题（2.3），并将分布类Θρ考虑为ρ≥ ρ*式中ρ*是获得的最小扰动。对于相关系数为0.69、0和-0.69，ρ值*通过求解（2.3）得到的结果分别为0.342356、0.434234和0.342356。此外，通过求解相对最大熵问题（2.5）得到的与给定单变量一致的最优二元分布θij对于ρ与ρ是可行的≥ ρ*. 对于β=5，10，45、50和ρ>ρ的不同值*, 使用（3.4）计算Ffr'echet界限，该界限始终大于给定单变量计算的界限和根据最大熵计算的双变量计算的界限。

当ρ增大时，Fr'echetbound收敛到单变量界，而当ρ减小到ρ时*, Fr'echet界收敛到最大熵界。在图5中，我们给出了通过求解β=15、30、45上的（3.4），对应于相关系数为0.34236、0.4、0.75、1.1的情况下参数ρ=0.34236、0.4、0.75、1.1的不同值，得到的随机变量的最佳双变量分布的热图-0.69而在图6中，我们将ρ=0.5的Fr'echet界限与最大熵双变量分布获得的界限以及仅在所有三种情况下已知的单变量边际分布获得的界限进行了比较。