具有市场信用风险相关性的投资组合选择

然后，存在ε>0，使得supu∈[0，T]G（u）∈ (0, 1).因此，基于Picard迭代的标准技术产生F（x）的唯一固定点。使用公式（75），我们还可以得到^ct=K1-qxfβ（T，y，z）Γ^a，^htBt！q-1.（89）根据附录中的定理3.7和引理A.1，我们得到RT^ctdt< +∞. 这表明（^π，^c）∈ U=U（x，y，z）。使用公式（78），最优财富过程为x^π，^ct=xf（T- t、 Yt，Ht）f（t，y，z）Γ^a，^htBt！q-1，t∈ [0，T]。（90）接下来，我们继续第2节中给出的示例2.1。示例2.1续：我们应用上述理论分析，得出与示例2.1中给出的设置相关的最优策略和值函数。最优策略和消耗过程都依赖于半线性偏微分方程递归系统（44）的解f。在我们的示例中，系统简化为f（t，y）t=Pi=1（σ0i+(R)σ0i）f（t，y）yi+ν（t，y）>Dyf（t，y）+β-1Д（t，y）f（t，y）+K1-qβ-1f1-β（t，y），f（t，y）t=Pi=1（σ0i+(R)σ0i）f（t，y）yi+ν（t，y）>Dyf（t，y）+β-1Д（t，y）f（t，y）+β-1f1-β（t，y）K1级-q+fβ（t，y）（1+^h1,01（t，y））qλ1,01（y）,f（t，y）t=Pi=1（σ0i+(R)σ0i）f（t，y）yi+ν（t，y）>Dyf（t，y）+β-1Д（t，y）f（t，y）+β-1f1-β（t，y）K1级-q+fβ（t，y）（1+^h2,10（t，y））qλ2,10（y）,f（t，y）t=Pi=1（σ0i+(R)σ0i）f（t，y）yi+ν（t，y）>Dyf（t，y）+β-1Д（t，y）f（t，y）+β-1f1-β（t，y）fβ（t，y）（1+^h1,00（t，y））qλ1,00（y）+fβ（t，y）（1+^h2,00（t，y））qλ2,00（y）+K1级-qβ-1f1-初始条件为f（0，y）=f（0，y）=f（0，y）=f（0，y）=f（0，y）=K1的β（t，y）（91）-所有y的qρ∈ D、 请注意违约和金融传染如何反映到PDE结构中。首先考虑两种股票都违约的情况，即默认状态为z=（1，1）。那么投资者只能投资银行账户。接下来，考虑z=（0，1）或z=（1，0）的情况，即只有一只股票违约。

在这种情况下，投资者需要考虑当两支股票都违约时，在所达到的状态下可实现的最佳预期。这可以通过fand fon f满足的PDE的依赖性来反映。同样，当两支股票都存在时，投资者的最佳效用直接取决于其中一支股票违约时达到的效用（fdepends on fand f），间接取决于两支股票违约时达到的效用（fdepends on fthrough fand f）。Let^h∈ Θθ满足Jθ，^h（t，y，z）>σ（y）=∧θ，^h（t，y，z）。UsingEq。（82），最佳反馈策略如下所示：^π1,01（t，y）=1- （1+^h1,01（t，y））q-1.f（T-t、 y）f（t-t、 y）β、 ^π2,01（t，y）=0；^π1,10（t，y）=0，^π2,10（t，y）=1- （1+^h2,10（t，y））q-1.f（T-t、 y）f（t-t、 y）β;^π1,00（t，y）=1- （1+^h1,00（t，y））q-1.f（T-t、 y）f（t-t、 y）β、 ^π2,00（t，y）=1- （1+^h2,00（t，y））q-1.f（T-t、 y）f（t-t、 y）β.请注意，投资者在每个违约状态下采用的最优策略取决于相同违约状态下PDE解的梯度。这种解决方案反过来取决于与发生额外违约的增广状态相关联的偏微分方程的解决方案。5数值分析我们进行了数值分析，以分析最优投资策略对模型参数的敏感性。为了突出主要经济力量，我们考虑了一个由两支可违约股票组成的投资组合模型，其价格过程由一个O-U型

我们假设随机因子是区间中的任意常数y(-l、 l）其中，l>0是一个固定的正常数。对于i=1，2，我们选择默认强度函数的形式为λi（y，z）=aiz+bizecizy。系数aiz、biz、cizare正常数取决于默认状态z∈ {0, 1}. 通过数值求解以下PDE交互系统，可以恢复最优策略和值函数：f（t，y）t=Pi=1σ0if（t，y）y+ν（y）f（t，y）y+β-1Д（y）f（t，y）+K1-qβ-1f1-β（t，y），f（t，y）t=Pi=1σ0if（t，y）y+ν（y）f（t，y）y+β-1Д（y）f（t，y）+β-1f1-β（t，y）K1级-q+fβ（t，y）（1+^h1,01（t，y））qλ1,01（y）,f（t，y）t=Pi=1σ0if（t，y）y+ν（y）>f（t，y）y+β-1Д（y）f（t，y）+β-1f1-β（t，y）K1级-q+fβ（t，y）（1+^h2,10（t，y））qλ2,10（y）,f（t，y）t=Pi=1σ0if（t，y）y+ν（y）f（t，y）y+β-1Д（y）f（t，y）+β-1f1-β（t，y）fβ（t，y）（1+^h1,00（t，y））qλ1,00（y）+fβ（t，y）（1+^h2,00（t，y））qλ2,00（y）+K1级-qβ-1f1-对于所有y，初始条件为f（0，y）=f（0，y）=f（0，y）=f（0，y）=f（0，y）=kf的β（t，y）（93）∈ D、 我们使用通用形式的PDE接口和内置的COMSOL Multiphysics随时间变化的研究来数值求解系统（93），假设y∈ (-l、 l），并在命题4.3a为全局约束方程的条件下。我们首先按照EA给出的格式（OMSOL接口要求）重写上述系统ut+daut+Γ=F.（94）式（93）是一个偏微分方程系统，其解向量u（t，y）=[u，u，u，u]（t，y）表示（t，y）∈ [0，T]×(-l、 l）。请注意，ν（y）uy=（ν（y）u）+uu。设a：=π=1σ0i。那么它认为-奥伊- ν（y）uy=(-奥伊- ν（y）u）- uu。因此，PDE的系统（93）是通过直接指定等式获得的。

（94），其中我们设置ea=0，da=I（这里I表示单位矩阵），Γ=-au1y- ν（y）u-au2y- ν（y）u-au3y- ν（y）u-au4y- ν（y）u, （95）和源termF=(β-1Д（y）+u）u+β-1Kβuq（β-1Д（y）+u）u+β-1Kβuq+β-1uquβ（1+^h（y））qλ（y）（β-1Д（y）+u）u+β-1Kβuq+β-1uquβ（1+^h（y））qλ（y）（β-1Д（y）+u）u+β-1Kβuq+β-1uquβ（1+^h（y））qλ（y）+β-1uquβ（1+^h（y））qλ（y）. （96）初始值u（0）=[u，u，u，u]（0）=[K，K，K，K]。我们使用以下参数基准规范：a=0.6、a=0.5、a=0.8、b=0.4、b=0.3、b=0.6、c=c=c=0.1、u=0.5、u=1.2、σ=0.6、σ=0.4、u=r=0.2、σ=σ=0.8和K=1。我们将投资期限设置为T=1.5.2比较静态分析图1表明，随着因子y的增加，投资者减少了风险股票中持有的财富比例。这可以通过以下两个因素来解释：（i）违约强度是因子y的递增函数，（ii）风险厌恶型投资者随着股票违约概率的增加而减少其持有的股票。图1中顶部图形的直接比较表明，随着y的增加，投资者始终将财富的一小部分分配给股票1，而不是股票2。这直接源于当默认状态z=（0，0）时λ（y，z）>λ（y，z）。股票违约后，生存股票的违约强度会上升。因此，相对于违约前两支股票都存在的情况，投资者分配给它的财富比例较小。作为规划地平线T-t增加，投资者受到的约束更少，因此愿意承担更高的风险。因此，他将财富的很大一部分分配给了风险股。与直觉一致，图2显示投资者的风险厌恶程度越高，风险股票中持有的财富比例越低。

股票价格波动路径导致投资者减少持有风险股票。这如图3所示，我们可以清楚地看到，随着波动性的增加，厌恶风险的投资者会减少其股票的风险敞口。由于股票“1”的波动系数高于股票“2”的相应系数，投资者总是在投资组合的所有违约状态下向股票“2”分配更高比例的财富；比较图3的顶部图和底部图。-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.80.680.690.70.710.720.730.74yπ*1，（0,0）t=0 t=0.2t=0.5-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.80.70.710.720.730.740.750.76yπ*2，（0,0）t=0 t=0.2t=0.5-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.80.530.5350.540.5450.550.5550.560.5650.570.5750.58yπ*1，（0,1）t=0 t=0.2t=0.5-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.80.490.50.510.520.530.540.55yπ*2，（1,0）t=0t=0.2t=0.5图1：投资于股票的财富与因子值y的最佳比例。不同的线条对应不同的投资时间t。左上面板：当两支股票都活着时，投资股票1。右上面板：当两支股票都活着时，投资股票2。左下面板：默认为股票2时对股票1的投资。右下面板：默认为库存1时，对库存2的投资。风险规避参数为p=0.8。-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.80.250.30.350.40.450.50.550.60.650.7yπ*1，（0,0）p=-1便士=-0.6p=0.8-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.80.350.40.450.50.550.60.650.7yπ*2，（0,0）p=-1便士=-0.6p=0.8-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.80.20.250.30.350.40.450.50.55yπ*1，（0,1）p=-1便士=-0.6p=0.8-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.80.20.250.30.350.40.450.5yπ*2，（1,0）p=-1便士=-0.6p=0.8图2：投资于股票的财富与因子值y的最佳比例。不同的线对应于投资者风险厌恶的不同水平p。

左上面板：当两个都活着时，投资于股票1。右上角的面板：当两人都活着时，对股票2的投资。左下角面板：股票2违约时对股票1的投资。右下面板：股票1默认时投资股票2。投资时间为t=0.6。-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.80.580.60.620.640.660.680.70.72yπ*1，（0,0）σ=（0.8,0.6）σ=（1.2,1）σ=（2,1.6）-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.80.640.660.680.70.720.740.76yπ*2，（0,0）σ=（0.8,0.6）σ=（1.2,1）σ=（2,1.6）-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.80.440.460.480.50.520.540.56yπ*1，（0,1）σ=（0.8,0.6）σ=（1.2,1）σ=（2,1.6）-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.80.380.40.420.440.460.480.50.52yπ*2，（1,0）σ=（0.8,0.6）σ=（1.2,1）σ=（2,1.6）图3：投资于股票的财富与因子值y的最佳分数。不同的线对应股票价格过程的不同波动水平。左上面板：两人都活着时对股票1的投资。右上面板：当两个区域都处于活动状态时，对股票2的投资。左下面板：默认为股票2时对股票1的投资。右下面板：股票1默认时对股票2的投资。投资时间为t=0，风险规避参数为p=0.1.6结论我们研究了一个由同时具有市场风险和信用风险的证券组成的市场中的最优投资/消费问题。通过股票波动率和违约强度对随机因素的共同依赖性，对这些风险的依赖结构进行了建模。由于故障在我们的模型中顺序发生，因此控制问题（及其对偶）的HJB PDE是递归链接的。我们将HJB-PDE的原始递归系统转化为一个等价系统，其中默认状态相关的PDE是半线性的。然而，这些偏微分方程的系数是非线性和非Lipschitz连续的。

为了处理半线性偏微分方程的这种非标准特性，我们开发了一种基于截尾时间变元的截断技术，然后利用其解的概率表示。我们已经证明了解梯度的有界性，并利用它通过验证结果确定了最优投资策略和消费路径的可接受性。这些策略允许在值函数及其梯度方面进行显式表示。我们用数值研究补充了我们的理论分析，说明了投资策略对模型参数的敏感性。数值结果证实了经济学的假设：随着波动系数、违约强度和风险厌恶系数的增加，投资者减少了对风险股票的持有。命题3.3的技术证明。使用定义（23）和等式（27），我们得到了INF（a，h）∈M、 κ>0∏（a，h，κ）=inf（a，h）∈M、 κ>0E“~UκΓa，hTBT！+ZT ~UκΓa，hsBs！ds+κx#≤ E“~U^κΓ^a，^hTBT！+ZT ~U^κΓa，^hsBs！ds#+^κx=E”U^κΓa，^hTBT！！- 我^κΓ^a，^hTBT！^κΓ^a，^hTBT+ZTUIκΓa，^hsBs！！- I^κΓ^a，^hsBs！^κΓ^a，^hsBsds#+^κx=EUX^π，^cT+ZTU（^cs）ds- ^κE“Γ^a，^hTX^π，^cTBT+ZTΓa，^hs^csBsds#+^κx=EUX^π，^cT+ZTU（^cs）ds- ^κE^a，^h“X^π，^cTBT+ZT^csBsds#+^κX=EUX^π，^cT+ZTU（^cs）ds≤ V（x，y，z）。这意味着inf（a，h）∈M、 κ>0∏（a，h，κ）≤ ∏（^a，^h，^κ）≤ EUX^π，^cT+ZTU（^cs）ds≤ V（x，y，z）。然后，结合不等式（26），我们得到inf（a，h）∈M、 κ>0∏（a，h，κ）=∏（^a，^h，^κ）=EUX^π，^cT+ZTU（^cs）ds= V（x，y，z），即等式（28）成立。引理的顶部3.4。

使用双功能∏（a，h，κ），（（a，h，κ）的表达∈ M×R+，在（23）中给出，并回顾勒让德-芬切尔变换Ui（y）=-qK1-qiyq，其中q=pp-Andi=1，2，我们有∏（a，h，κ）=κx-qκqFa，h（T），（97），其中，对于（a，h）∈ M、 we definefa，h（T）：=E“K1-qΓa，hTBT！q+K1-qZTΓa，hsBs！qds#。（98）固定（a，h）∈ M、 使用κ>0的最优性的一阶条件，κ的值∈ R+最大化∏（a，h，κ）由^κ=（Fa，h（T）x）1给出-q、 因此，我们得到∏（a，h）：=∏（a，h，k）=pxpFa，h（T）1.-p、 x>0。（99）接下来，我们开发了一个更明确的Fa，h（T）表达式。对于t∈ [0，T]，从（18）可以看出Γa，htq=经验值(-Ztqθ>sdWs-Ztqtr[θsθ>s]ds-Ztqa>sd'Ws-Ztqtr[asa>s]ds+nXi=1Ztq日志1+hisdMis+nXi=1Zt∧τiq日志（1+his）- 他的λi（Ys，Hs）ds）=Γq，a，htexp（q（q- 1） Zttr[θsθ>s]ds+q（q- 1） Zttr[asa>s]ds+nXi=1Zt∧τiq日志（1+his）- （1+his）q+q- 1.λi（Ys，Hs）ds），其中Γq，atis由（29）给出。然后它认为fa，h（T）=E“K1-qΓa，hTBT！q+K1-qZTΓa，hsBs！qds#=等式，a，hK1级-qeRTψ（s，as，hs，Ys，hs）ds+K1-qZTeRtψ（s，as，hs，Ys，hs）dsdt.使用（97），可以很容易地看出，（28）中给出的对偶问题的值函数与Ξ（a，h）重合∈MFa，h（T），从而得出结论。引理的顶部3.6。在假设（A2）-（A3）下，可以很容易地看到Rm值漂移函数y→ ν（y，z）是Lipschitz连续的。然后，根据Protter（2004）中的定理V.38，等式（45）承认了一个唯一的强解。接下来，我们定义概率测度^P~ P通过RadonNikodym衍生的^PdP | Gt=ER·qρθ（s，^Ys，z）>dWst、 t型∈ [0，T]，其中E（·）表示随机指数。请注意，根据假设（A3），这一度量变化得到了很好的定义。然后根据Girsanov定理，我们得到了^Wzt：=Wt- qρRtθ（s，^Ys，z）ds，t∈ [0，T]是在^P下的n维布朗运动。那么我们可以重写方程。

（45）在概率测度^P下：d^Yzt=u（^Yzt）dt+σ（^Yzt）d^Wzt，（100），其中我们回顾了式（43）中给出的u和ν之间的关系。假设（A1）-（A3）意味着每个状态z的^Yt、y、zd不会在^P下爆炸到完整∈ S如果y∈ D、 即^P（^Yt，y，zs∈D s∈ [t，t]）=1。鉴于^P，同样的说法在P下成立~ P、 2 Emma A.1。假设（A1）-（A3）成立。（40）和（41）给出的召回（^a，^h）。LetΓ^a，^ht，t∈ [0，T]，由（16）和（a，h）给出∈ M替换为（^a，^h）。然后是ERT公司Γ^a，^htq-1吨< +∞.证据首先，我们的分解如下所示：Γ^a，^htq-1=Γq-1，^a，^htZq，^a，^ht，其中Γq-1，^a，^ht，t∈[0，T]是由（29）定义的密度过程，其中（q，a，h）替换为（q-1，^a，^h），以及正过程Zq，^a，^ht，t∈ [0，T]定义为zq，^a，^ht：=exp（（q- 1） （q）- 2） Zttr[（θsθ>s）]ds+（q- 1） （q）- 2） Zttr[^as^a>s]ds+nXi=1Zt∧τi（1+^his）q-1.- （q）- 1） （1+^his）+q- 2.λi（Ys，Hs）ds）。利用命题3.9中验证结果的结论（I）以及估计值（71），我们得出Γq-1，^at，t∈ [0，T]是一个（P，G）-鞅。此外，在假设（A2）-（A3）和估计（71）下，Zq，^a，^ht，t∈ [0，T]是一个有界正过程。然后，对于一些C>0，EZT公司Γ^a，^htq-1吨≤ CZTE公司Γq-1，^a，^htdt=CT<+∞.这就完成了引理的证明。引理的顶部4.1。利用公式（16）并应用It^o公式，我们得到了贴现过程Γ^a，^htBt的P-动力学，由dΓ^a，^htBt！=-Γ^a，^ht-英国电信-rdt+θ>tdWt+^a>td'Wt-^h>tdMt,Γ^a，^hB=1。回想一下（1）给出的随机因子过程Y的P-动力学。

定义仅起作用的运算符L（t、x、y、z）∈ 每个状态z的C1,2,2（[0，T]×R+×D）∈ S、 byLl（t，x，y，z）：=lt型- x个lx个r+^h（t，y，z）>λ（y，z）+x个lx个tr[（θθ>）（t，y，z）]+tr[（^at^a>t）]+^Autl- xmXi=1l易xnXj=1ρθj（t，y，z）+p1- ρ^ajtσij（y）+nXi=1lt、 x（1+^hi（t，y，z）），y，\'zi- l（t，x，y，z）(1 - zi）λi（y，z）。（101）中，运算符^Au定义为（73），其中η替换为u。此外，回顾（37）中给出的函数η向量和（73）中定义的运算符^Aηtde。选择l（t，x，y，z）=xqg（t- t、 y，z），我们得到ll（t，x，y，z）=xq-g级t+^Aηtg+q（q- 1） tr[θθ>（t，y，z）]+q（q- 1） tr[^at^a>t]- qr码g级+ xq公司(-gnXi=1（q^hi（t，y，z）+1）（1- zi）λi（y，z）+nXi=1gT- t、 y，Z(1 - zi）（1+^hi（t，y，z））qλi（y，z））=-K1级-qxq，（102），其中我们使用缩写g=g（T- t、 y，z）以上。使用Dynkin公式，它遵循gt=lt，Γ^a，^htBt，Yt，Ht！-ZtLls，Γ^a，^hsBs，Ys，Hs！ds，t∈ [0，T]是一个（P，G）-局部鞅。由于命题3.9的（II），E[GT]=E[G]，我们得到G是a（P，G）-鞅。引理顶4.2。回想一下密度过程的P动力学∈ [0，T]，见（17）bydΓ^a，htΓa，ht-= -nXi=1^命中（1- Hit）λi（Yt，Ht）dt- θ> tdWt公司- ^a>td？Wt+^h>tdHt。It^o公式givesd（Γ^a，^ht）q的应用-1=（q）- 1） （Γ^a，^ht）q-1\"-nXi=1^命中（1- Hit）λi（Yt，Ht）dt- θ> tdWt公司- ^a>td'Wt#+（q- 1） （q）- 2） （Γ^a，^ht）q-1.tr[（θtθ>t）]+tr[^at^a>t]dt+（Γ^a，^ht）q-1nXi=11+^命中q-1.- 1.dHit。很容易看出，dB-qt=-qrB-qtdt，其中bt表示银行账户。