金融危机后衍生产品定价的再认识——第一部分：关于

（2.16）请注意，我们没有先验地假设ρ=r在等式的推导中。2.13 - 2.15.换言之，如果假设货币账户的结构组成部分是无风险的，那么所有组成部分都必须以风险收益率r计提，以避免套利——几个无风险的投资组合正在以彼此持续的非零保费回报。尽管我们参考了等式。2.12和等式。2.13作为套利，更准确的说法是，市场{V，S，M}不清楚均衡（无套利）关系Eqn。2.13uV- rσV+σVσ- 1.帕瓦（ra- r） σV6=u+δ- rσ。（2.17）等式。2.13如果期限σVσ- 1.帕瓦（ra- r） σVon其左侧由{V，S，M}市场中的市场定价证券（作为复制投资组合的一部分）生成。正确的均衡（无套利）扩张是Eqn。2.14规定，如果市场无套利（且完全套利），与持有基础头寸的超额相比，持有衍生头寸不会获得额外的风险调整溢价。这并不妨碍选择基准ρ=r+来比较持有衍生工具uV头寸的回报- ρσV，或底层u+δ中的位置- ρσ，仍写入uV- r- σV=u+δ- r- σ. （2.18）这仅仅意味着相对于所选基准ρ的回报率小于=ρ- r（投资者特定成本高于r无风险利率）。

后者h不反映市场{V，S，M}中的风险收益均衡。金融危机后衍生产品定价9总结上述观察结果，货币账户可以有任意数量的结构性红利，只要（i）货币账户的每个组成部分都是无风险账户，（ii）每个组成部分都以无风险利率计提，以及（iii）所有这些无风险利率都相同。上述观察结果和套利投资组合∏的结构也意味着，抵押品账户不能作为风险头寸（对冲）的一部分，因为它不为风险因素定价，也不能作为货币账户的一部分，因为它以非无风险利率累算。在下一节中，我们展示了观察结果（i）-（iii）也适用于违约风险衍生品的情况，并推导出了有无抵押品的违约风险衍生品的定价方程。我们认为，与BSM的非默认风险衍生品定价相比，在这种情况下，在ey账户上的m只是一个更大的账户。我们顺便提到，在市场上没有无风险资产的情况下，mon ey账户及其组成部分只能是零贝塔投资组合，以azero贝塔投资组合相同的单一回报率累积（【Black 1972年】）。观察结果（i）-（iii）也适用于零betaportfolios。衍生工具定价危机后103具有交易对手风险的衍生工具定价我们从从业者文献中广泛接受的假设开始，即衍生工具的价值取决于所涉及交易对手的双边违约风险^V=^V（t；S（t），JA（t），JB（t））。

（3.1）在这种情况下，自筹套利投资组合的设置由证券S上的d er ivativeinstrument^V的h^V数量组成，其复制投资组合由证券的h数量、交易对手B发行的风险y债券的HB数量、交易对手a发行的风险债券的HA数量和货币账户的M数量组成。该投资组合在t时的价值为∏h（t）=hSS（t）+h^V^V（t）+hAPA（t）+hBPB（t）+M（t），（3.2），瞬时回报率根据收益过程asd∏h=hSdGS+h^VdG^V+hAdGA+hBdGB+dGM给出。（3.3）投资组合头寸的收益动态定义为dgs=dS+dDS=dS+δSdt=（u+δ）Sdt+σSdzdG^V=d^V+0=uV^V dt+σV^V dz+^VAdJA+^VBdJBdGA=dPA+rAPAdt=-(1 - RA）P-AdJA+rAPAdt，dGB=dPB+rBPBdt=-(1 - RB）BdJB+rBPBdt，dGM=0+dDM=ρM dt。（3.4）在这里，如前一节所述，我们将M视为一个普通组成部分M和综合应计比率ρ的主要账户，如等式n所示。2.1. Ra和Rb分别为交易对手A和B发行的优先无担保债券的回收率。假设这些债券是无担保债券，以证明衍生工具与此类违约债务完全相同。

一般而言，PAN和PBS债券可以是交易对手发行的任何债券，因为复制的是违约风险，而恢复水平驱动了对冲比率，以在违约情况下完全覆盖损失。^VBand^Va分别是由于交易对手B和交易对手A违约导致的衍生工具头寸价值的变化：^VB=^VB-^V（t；S，dJA=0，dJB=0），（3.5）^VA=^VA-^V（t；S，dJA=0，dJB=0），ja和jb分别是交易对手A和B的违约指标，如果对应的交易对手违约，则取1，否则取0。在这里，我们关注的是源自【Burgard和Kjaer 2010】的XVA文献中的设置。从根本上讲，双边违约是通过交易对手的首次违约CDS复制的，因为恢复是由任何一方的首次违约事件触发的。金融危机后衍生工具定价11with^vAand^vB当交易对手A或交易对手B违约时，风险y衍生工具的残值分别为^vB（u）：=^V（t；S，dJA=0，dJB=1），（3.6）^vA（u）：=^V（t；S，dJA=1，dJB=0）。堵塞装置。3.4转化为瞬时返回方程Eqn。3.3屈服于以下∏h=hS（u+δ）S+h^Vu^VVdt+[hBrBPB+hArAPA]dt+ρM dt（3.7）+hSσS+h^Vσ^VVdz+（1- RB）“h^V^V^VB^V（1- RB）- hBPB#dJB+（1- RA）“h^V^V^VA^V（1- RA）- hAPA#dJA。现在请注意^VA^Vand^VB^Vare负数，分别是由于A和B违约导致的衍生头寸值的百分比下降。

因此，将衍生头寸的回收率χBandχafo定义为^VB^V=-(1 - χB），以及^VA^V=-(1 - χA）。我们进一步引入损失比率ZA和zB-衍生头寸的损失率与交易对手债券头寸的损失率之比ZA=1- χA1- RA和zB=1- χB1- RB。换言之，我们将衍生工具头寸的回收率建模为违约风险衍生工具价值在违约前的百分比，违约风险衍生工具价值在违约前的百分比（t；S，dJA=0，dJB=0），（3.8）dJA vB=χB^V（t；S，dJA=0，dJB=0）。（3.9）重写等式。3.7有了这些新符号，就可以到达∏h=hS（u+δ）S+h^V^VV+hBrBPB+hArAPAdt+Mρdt+hSσS+h^Vσ^VVdz+（1- RB）h-h^V^V zB- hBPBidJB+（1- RA）h-h^V^V zA- hAPAidJA。（3.10）危机后衍生工具定价12如果市场n^V、S、PA、PB、Moclears，则z.i.i.约束∏h=hSS+h^V+hBPB+hAPA+M=0，（3.11）是对组合权重h的约束，以满足-h′SS- h′V^V- h′BPB- h′APA=M.（3.12）插入方程n。3.10对于此类Portfoliod∏h′=hh′S（u+δ）的瞬时回报，我们得出以下表达式- ρ） S+h′V^VVidt（3.13）+hh′B（rB- ρ） PB+h′A（rA- ρ） PAidt+hh′SσS+h′Vσ^VVidz+（1- RB）h-zBh′V^V- h′BPBidJB+（1- RA）h-zAh′V^V- 哈帕迪亚。现在很容易看出，投资组合策略=(-h′^V，h′^V，-zB^VP-Bh′^V，-zA^VP-满足z.i.i.约束方程的Ah′^V，1）（3.14）。311万=S-^V+zB^V+zA^Vh′^V，（3.15）将使该投资组合的瞬时回报率等于tod∏h′h′=~h=h（u^V- ρ） ^V- (u + δ - ρ） S- zB（rB- ρ） ^V- zA（rA- ρ） ^Vih′^Vdt（3.16）确定。我们明确重写了delta对冲权重，以备日后使用▄hS=-h′^V，且▄h^V=h′^V；（3.17）我们使用了^V=^V（t；S（t），JA（t），JB（t））和soσ^Vσ^VS=^VS≡ .危机后衍生品定价13公顷=-zA^V h′^VPA=-(1 - χA）（1- RA）^V h′^VPA，（3.18）~hB=-zB^V h′^VPB=-(1 - χB）（1- RB）^V h′^VPB。

（3.19）满足无套利条件sph∏h（t+dt）i=Ph∏h（t）|∏h（t）=0+d∏hi=Phd∏h=0i=1（3.20）现在等于设置（u^V- ρ） ^V- (u + δ - ρ） S- zB（rB- ρ） ^V- zA（rA- ρ） ^V=0。