随机利率模型下GMWB可变年金的征税

变量GT和HTDON在两个连续周年纪念日之间不会发生变化，即t∈ ]ti公司-1，ti[，而x根据基础投资基金的变化而变化。该基金由客户从保险公司提出的列表中选择。具体而言，让我们将基础基金的价值称为St，其根据（2.1）演变。然后，对于∈ ]ti公司-1，ti[，Xt遵循ST的sa me动态，除非持续对其进行跟踪，即isdXt=XtStdSt- ^1Xtdt。（3.2）（3.2）中的变量Д是（固定）费率，它控制账户价值提取的费用。在每个周年时间ti，根据合同最后一年内PH的存续情况确定保单的延续。为了描述政策重估机制，让usdenote使用X-tiand X+Tit在ti时任何现金流之前和之后的账户价值（我们对Gtiand Hti使用samenotation）。如果PH在前一年去世，则其继承人将收到死亡福利bi，该福利在时间Tian支付，由扣除税款后的剩余金额得出，即bi=X-ti公司- τ十、-ti公司- H-ti公司+, （3.3）式中，τ是所得税税率，（x）+=最大值（x，0）。支付死亡抚恤金后，合同终止，无剩余价值。相反，如果PH值没有消失，则他有权在一定限度内提取一定量的Wi。根据合同，PH明智选择的提款金额必须满足以下关系：0≤ wi公司≤ 最大值十、-ti，最小值gW，G-ti公司, （3.4）如果gw是一个正的常量值，则可以填写年度担保金额，并在合同中说明。特别是，如果gW=P/T，则PH有权在整个合同期限内，在每个合同周年纪念日提取正好等于gW的金额。

执行提款后，新帐户值由X+ti给出=十、-ti公司- wi公司+, （3.5）新的福利基数和税基由G给出-ti+1=G+ti=G-ti公司- wi公司+, 如果wi≤ 毛重最小值G-ti公司- wi，G-ti·X+tiX-ti公司+, 如果wi>gW（3.6）和H-ti+1=H+ti=H-ti公司-wi公司-十、-ti公司- H-ti公司++（3.7）。PH不会收到wibec提取的全部金额，因为可能会收取一些费用和税费。具体而言，PH记录提取金额减去因提取金额超过担保金额而应向保险人支付的费用，并减去提前提取的罚款和税款。具体而言，他收到的净额由WI提供- 感觉- 佩尼- 计程车（3.8）是提取超过最小金额的费用gW，Gti, 对59.5岁之前的任何提款处以提前提款罚款，并对与提款相关的所得税征税。特别是，feei=si·wi公司- 最小值gW，G-ti公司+, （3.9）peni=sg·（wt- feei）·1{x+ti<59.5}，（3.10）和taxi=τ·minnwi- 感觉- 佩尼，十、-ti公司- H-ti公司+o、 （3.11）系数siin（3.9）是一种称为退保费用的非负系数，通常随时间减少，在合同期限内为零。此外，sgin（3.10）是另一个决定提前退出惩罚的非负系数。特别是，由于这些合同通常作为退休养老金的补充，我们假设当合同到期时，PH值必须超过59.5年，因此在T时的最后一次提取时不适用罚款。最后，在时间T进行最后一次取款后，活动PH收到扣除税款后的剩余accountvalue，即x+T- τX+T- H+T+, （3.12）合同终止。4定价假设在本节中，我们介绍了定价框架。

首先，我们观察到，征税下的资产定价不是直接的，因为正如Ross[26]所观察到的那样，征税会导致价格的唯一性丧失。事实上，特定现金流的估值取决于个人捐赠和税率。按照Moenig和Bauer[19]的相同方法，我们将给定税后现金流的价值定义为特定代理人创建金融投资组合（由股票和债券组成）所需的金额，该投资组合在税后复制所考虑的现金流。显然，这种价值取决于对代理人征收的特定税款，客户和保险人之间可能存在显著差异。此外，就所考虑的金融工具而言，税收可能有所不同：通常对保险产品（如VA保单）征收较轻的税收，而对金融产品（如投资组合中的证券）征收较重的税收。首先，我们介绍了如何在假设PH主观评估的情况下评估GMWB合同，然后我们在假设INSURER主观评估的情况下给出了相同的评估方法。这两种观点的主要差异在于税收和对取款的控制。就税收而言，PHA必须对政策外的政策性收入和资本性收入纳税。相反，适用于保险公司的税收要简单得多：总保费的百分比。就提款而言，PH选择最佳提款，以最大化其资产的预期价值（扣除税收）：如果适用税收，该价值不等于保险人的负债。因此，PH提取的金额对他来说是最优的，但可能不同于考虑到保险人的观点计算的最差金额，即最大化保险人对PH的责任的金额。

这意味着，公共保险公司取款是为了实现经济回报最大化，而不是为了使保险公司的产出最大化：由于这两种策略并不一致，保险公司的成本低于最糟糕的取款案例。最后，我们强调，共同考虑的fra mework抓住了保险产品的一个有趣特征。税收使GMWB政策对客户特别有吸引力：虽然税收是针对政策的收益征收的，但税收制度对这类产品特别有利，因此，客户购买政策比通过复制投资组合复制政策更方便。在接下来的小节中，我们将展示如何根据PH和保险人的主观估价计算初始合同价值。我们强调，在这两种情况下，我们都计算了Black-Scholes-Hull-White模型在相同风险中性度量Q下复制投资组合的成本（见Brigo-andMercurio[3]）。4.1投保人的主观评估继Moe nig和Bauer【19】之后，我们考虑PH对合同的主观评估。这意味着我们要计算一个PH设置一个假设的复制投资组合所需的资金量，该投资组合复制税后政策现金流。具体而言，V（t，r，X，G，H）表示根据GMWB合同在t时的实际价值，分别为r利率、X账户价值、G担保基数和H税基。

具体而言，按照Moenig和Bauer[19]的相同方法，V代表了在时间t出售给客户的许多保单的平均期权价值。最后，为了计算时间t=0时PH的合同主观价值，我们在时间t向后，从时间T的合同到期日开始，并考虑政策状态参数发生的变化。4.1.1合同周年纪念日的价值函数首先，让我们用V表示+T、 rT、X+T、G+T、H+T最后一次提款后到期时的保单价值。该金额由最终支付金额isV给出+T、 rT、X+T、G+T、H+T= X+T- τX+T- H+T+. （4.1）现在，让我们关注时间ti的第i个合同周年纪念日。由于我们假设PH是活的，那么他有权从他的账户中提款。让V-ti、rti、X-ti，G-ti，H-ti公司andV公司+ti，rti，X+ti，G+ti，H+ti分别表示PH提款前后的保单价值。尤其是rti，X-ti，G-ti，H-ti是在时间ti提取前的状态参数，而ti、X+ti、G+ti、H+ti是在时间ti提取后的状态参数。请注意，无需区分提款前和提款后的利率值，因为该值不会因提款而改变，因此我们只需在两种情况下填写RTI。我们可以将这两个策略值之间的关系写成一般形式v-ti、rti、X-ti，G-ti，H-ti公司= 五+ti、rti、X+ti（wi）、G+ti（wi）、H+ti（wi）+（wi）- feei（wi）- 佩尼（威斯康星州）- taxi（wi）），（4.2），其中我们强调了许多变量对提取wi的依赖性，将其表示为wi的函数。特别是，方程（3.5）、（3.6）、（3.7）、（3.9）、（3.10）和（3.11）分别表示x+ti、G+ti、H+ti、feei、peni和taxion的相关性。

PH可能会采用静态提取策略，这意味着他提取的金额wi等于gW，与从政策状态参数中获取的值s有关。这样的策略很容易实施，但对他来说可能不是最佳策略。我们假设PH选择的金额将使其资产的预期价值最大化，即合同加上净提款，即wi=argmaxw∈[0，Wmax]V+ti，rti，X+ti（w），G+ti（w），H+ti（w）+ （w）- f eei（w）- 佩尼（w）- 滑行（w）），（4.3），其中Wmax=max十、-ti，最小值gW，G-ti公司（4.4）是合同允许的最大提款。我们观察到，在到期时，优化问题（4.3）可以很容易地解决，因为最终支付函数给出了支付后的连续值，这是一个封闭的公式。具体而言，我们可以证明，在这种特殊情况下，最优提取是给定的ywt=mingW，G-T. （4.5）此外，通过使用方程式（4.1）、（4.2）和（4.5），可以得到以下表达式：V-T、 rT，X-T、 G级-T、 H类-T= 最大值十、-T、 wT公司- τminnwT，十、-T- H-T+o- τwT公司-十、-T- H-T+++十、-T- wT公司+- H-T+. （4.6）一般来说，在考虑时间ti的最佳提取时，没有关于最后一个周年T的闭合公式。在一般情况下，最优提款必须通过一个数值程序来近似。4.1.2两个周年纪念日之间的价值函数动态在两个合同周年纪念日Tian和ti+1之间的时间内，变量G和H不会改变e。保单价值的变化完全是由于时间的推移以及账户价值X和利率r的变化。

继Moenig和Bauer【19】之后，通过非线性隐式方程给出tiofV+时的主观风险中性值：V+=EQe-Rti+1tirsdsqx+tibi+1+px+tiV-+κ1 - κ·EQe-Rti+1tirsdsqx+tibi+1+px+tiV-- 五++, （4.7）其中V+代表V+ti，rti，X+ti，G+ti，H+ti和V-代表V-ti+1，rti+1，X-ti+1，G-ti+1，H-ti+1. 此外，bi+1是死亡时可在ti+1支付的死亡抚恤金，根据（3.3）计算。此外，qx+ti是指活的PH值在一年内死亡的概率，而px+ti+1是指其至少能多活一年的概率。我们强调，如果假设有大量合同持有人，则可以使用死亡和存活概率：在这种情况下，死亡风险是可以分散的。4.2保险人的主观估价让U（t、r、X、G、H）表示GMWB合同的公允价值，但根据保险人的主观价值，即保险人设定复制投资组合所需的金额。由于某些原因，保险公司的估价与PH的估价不同。首先，适用于保险人的税收只涉及初始总保费，不适用于复制投资组合。其次，保险人必须支付总税额，而PH则收取净税额。最后，保险人没有决策权，只能接受PH关于提取金额的选择。正如PH的主观评估一样，为了在合同开始时计算保险人的主观价值，我们在时间上进行了倒退。4.2.1合同周年纪念日的价值函数Rylet U+T、 rT、X+T、G+T、H+T根据保险人的规定，是最后一次提款后到期时的保单价值。

该金额由税前最终支付额给出，即账户剩余价值：U+T、 rT、X+T、G+T、H+T= X+T.（4.8）此外，由于时间T的最佳提取wt由（4.5）给出，因此可以证明以下关系：U-T、 rT，X-T、 G级-T、 H类-T= 最大值十、-T、 闵gW，G-T. （4.9）现在，让我们关注第i个合同周年。功能U-ti、rti、X-ti，G-ti，H-ti公司安度+ti，rti，X+ti，G+ti，H+ti代表PH撤销《装载wi》前后的合同价值，这是问题的解决方案（4.3）。以下关系成立，U-ti、rti、X-ti，G-ti，H-ti公司= U型+ti、rti、X+ti（wi）、G+ti（wi）、H+ti（wi）+（wi）- feei（wi）- 佩尼（wi））。（4.10）方程式（4.10）与方程式（4.2）相似，但由于保险人必须在税前支付金额，因此不需要支付税款。4.2.2两个周年纪念日之间的价值函数动态与PH相反，保险人对复制投资组合不纳税。t+iof U时的主观风险中性值由死亡福利的贴现预期未来值加上保单价值得出，即isU+=EQe-Rti+1tirsdsqx+tibi+1+px+tiU-, （4.11）其中U+代表U+ti，rti，X+ti，G+ti，H+ti和U-代表U-ti+1，rti+1，X-ti+1，G-ti+1，H-ti+1.5定价方法根据PH的主观预期，在t=0时，GMWB合同的公允价值由V（0，r，P，P，P）表示，可以通过及时向后移动来计算。终端条件用（4.1）表示。为了向后进行，我们必须求解ti，ti+1[forti=T]中的非线性隐式方程（4.7-1.

，0，并应用关系（4.2）和（4.3）来处理由于在每个合同周年纪念日提取而导致的跳转。采用类似的方法，根据保险人的预期，合同的初始公允价值由U（0，r，P，P，P）表示，可以通过从终端条件（4.8）开始，通过求解反向方程（4.11）和应用关系式（4.10）来计算。我们观察到，计算U（0，r，P，P，P）需要了解最优取款，这可以通过并行计算V（0，r，P，P，P）来实现。我们强调，V和U的评估问题是四维问题（加上时间变量），这是一个非平凡的挑战，需要有效的数值方法来解决。5.1问题离散化在任何时候决定政策状态的变量是G、H、X和r。为了从数值上解决问题，我们倾向于将r替换为Y，因为Y的动力学更简单，可以很容易地通过Y计算r（2.3）。我们考虑Y的一组具体值Gyx，G的一组具体值Gyx，H的一组具体值Ggg，我们定义了一个四维网格G=GY×GX×GG×GH。首先，由于收益基数G和税基H是不超过P的非负值，因此值得利用区间[0，P]的均匀划分来定义GG和GH。特别是，我们=gj=jNGP，j=0，NG公司（5.1）和GH=hj=jNHP，j=0，全日空航空公司, （5.2）其中Ng和Nha是两个正整数。与G和H相反，帐户值X假定非负无界值。无论如何，由于保险公司的提款和费用，在保单有效期内，这样的价值不应该增长太多。事实上，正如MacKay et al。

[18] Bacinello和Z occolan[1]在一篇类似的文章中指出，当账户价值非常高时，PH有很大的动机通过撤回所有资金来终止合同。因此，根据Haentjens和In\'tHout[15]采用的空间网格的相同原理，我们认为GXA是点的非均匀分布，在过程Xis更可能出现的地方，点的密度更大。具体而言，我们考虑两组点：第一组Gx=xj=2.5·jNXP，j=0，NX公司（5.3）由NX+1个均匀分布的p点组成，p点介于0和2.5·p之间，第二个为Gx=xj=2.5·P·exp（ln（30）- ln（2.5））jNX, j=1，NX公司（5.4）由n个点组成，这些点在2.5·P和30·P之间均匀分布在对数上。那么，GX=GX∪GX和GX的第j点。此外，为了简单起见，我们考虑NX=NX，并称为GX的元素数NX。我们强调，系数2.5和30是根据经验确定的，以给出准确的结果，它们的微小变化不会对数值结果产生影响。最后，集合Gy的构造依赖于Goudenège等人在[13]中提出的三项式树。这种树定义了一个离散的马尔可夫链t与过程Y的前两个时刻相匹配。WesetGY公司=yj=（j- NY）σtY，j=0。第2个（5.5）其中σTy是一个正系数，取决于过程Y的标准偏差和NYis可测整数值，因此GYis由2NY+1个点组成，这些点均匀分布在-NYσtY；NYσ泰.附录A给出了工艺的技术细节t、 系数σTy和整数NY。5.2 VOnce的反向评估网格G已经建立，我们可以在任何时间ti开始计算V denedon G的数值近似值。