随机利率模型下GMWB可变年金的征税

特别是，对于每个策略一年一次的ti，我们计算一个函数\'V+i:G→ r对于g的任何点（y，x，g，h），V+i（y，x，g，h）近似于V+（ti，y+β（ti），x，g，h）。现在，我们还要计算一个函数-i： G级→ R使得对于g的任何点（y，x，g，h），\'V-i（y，x，g，h）近似于V-（ti，y+β（ti），x，g，h）。根据（4.6），g的每个点（y、x、g、h）的终端条件由以下公式给出：(R)V-T（y，x，g，h）=最大{x，wT（g）}- τmin重量（g），（x- h）+- τ重量（g）- （十）- h）+++ （十）- 重量（g））+- h类+, （5.6）式中，wT（g）=mingW，g.现在假设函数“V”-i+1在G上已知。让我们fix（y，x，G，h）∈ 让我们通过求解方程（4.7）来重点计算‘V+i（y，x，G，h）’。特别是，根据Moenig和Bauer在Black-Scholes模型下采用的s-ame方法，可以验证方程（4.7）的解的存在性和唯一性。此外，根据方程式（4.7），“V+i（y，x，g，h）可解释为固定点问题的解决方案：V=f（V），（5.7），f（V）=方程式e-Rti+1天+β（s）dsF+κ1- κ·（F- 五）+|Yti=y，Xti=x, （5.8）式中，F代表F=qx+tiXti+1- τXti+1- h类++ px+ti+1'V-i+1Yti+1，Xti+1，g，h. （5.9）固定地点可能面临此类问题。关键在于计算（5.8）中出现的经验值。为了解决这个问题，我们采用了树方法。附录B中解释了技术细节。一旦知道函数“V+iis”，我们就可以计算“V”-通过解决与方程（4.3）相关的最优提款问题，IB。

那么，让我们再次计算（y，x，g，h）∈ G，让我们重点解决以下问题：(R)V-i（y，x，g，h）=最大值∈[0，Wmax]^f（w）（5.10），其中^f（w）=V+iy、 x+（w），g+（w），h+（w）+ （w）- f eei（w）- 佩尼（w）- 滑行（w）），（5.11）Wmax=最大值x、 最小值gW，g, （5.12）x+（w）=（x- w） +（5.13）克+（w）=（g）- w） +，如果w≤ 毛重minng公司- w、 g·x+（w）xo+, 如果w>gW（5.14）h+（w）=h-w- （十）- h）++（5.15）feei（w）=si·w- 最小值gW，g+, （5.16）peni（w）=sg·（w）- f eei（w））·1{x+ti<59.5}，（5.17）滑行（w）=τ·minw- f eei（w）- 佩尼（西）、（西）- h）+. （5.18）（5.10）的分辨率并非微不足道，因为函数^f没有平滑特性。特别是^f，由于正部分函数的存在，以及由于函数g+（w）在w=gW时的不连续点。因此，我们通过一种非常简单的方法来解决最大化问题（5.10）：我们在一组W点中评估目标函数，并记录在这些点上实现的最大值。特别地，我们认为W是两个集合的并集，Wand W。第一个集合，W={n·w、 n个∈ N}∩ [0，Wmax]是一组均匀分布的值，而第二组=gW，gW+10-6，Wmax∩ [0，Wmax]是一组可能不包括在W中的临界值。特别是gWand gW+10-6考虑处理gW处的不连续性。评估函数^f需要计算函数V+iat（y，x+（w），g+（w），h+（w）），对于任何w∈ W这些点可能不属于网格G，因为值x+（w）、G+（w）、h+（w）可能不分别属于GX、GG和GH。因此，为了计算“V+i（y，x+（w），g+（w），h+（w）），需要对Gof“V+iis”进行插值。为此，我们采用了三线性插值（Gomes等人【10】）。5.3 Uo的后向评估一旦有了V的近似值，我们就可以根据保险人的观点进行保单评估，即计算U。

由于两个原因，近似U比近似V更简单。首先，将隐式非线性方程（4.7）替换为显式方程（4.11）。其次，在近似V时，计算最佳提款的问题已经得到解决，因此我们只需恢复已计算的最佳提款。与我们对V所做的类似，我们考虑一个函数\'U+i:G→ R使得对于g的任何点（y，x，g，h），\'U+i（y，x，g，h）近似于U+（ti，y+β（ti），x，g，h）和函数\'U-i： G级→ 对于g的任意点（y，x，g，h），\'U-i（y，x，g，h）近似于U-（ti，y+β（ti），x，g，h）。根据（4.9），对于g的任何点（y，x，g，h），终端条件由以下公式给出：’U-T（y，x，g，h）=最大值x、 最小值gW，g. （5.19）现在假设函数\'U-i+1在G上已知。让我们fix（y，x，G，h）∈ G，让我们通过计算以下表达式来关注‘U+i（y，x，G，h）’的计算：’U+i（y，x，G，h）=等式e-Rti+1天+β（s）dsqx+tiXti+1+px+ti+1'U-i+1Yti+1，Xti+1，g，h|Yti=y，Xti=x.（5.20）我们使用与计算（5.8）相同的树方法来计算这样的n表达式。请注意，在这种情况下，不需要进行x点迭代，因为（5.20）给出了一个明确的方程。假设现在G上的函数\'U+已知。让我们fix（y，x，G，h）∈ G，让我们重点讨论‘U’的计算-i（y，x，g，h）。设wi为点（y，x，g，h）的问题（5.10）的最大点∈G、 以下关系成立：(R)U-i（y，x，g，h）=U+iy、 x+（wi）、g+（wi）、h+（wi）+ （w）- f eei（wi）- peni（wi））（5.21），其中x+、g+、h+、f和peni的定义如（5.13）-（5.17）所示。同样在这种情况下，需要插值，我们再次使用三线性插值。5.4算法示意图我们给出了近似初始公平合同值V（0，r，P，P，P）和U（0，r，P，P）的算法示意图。1.

设置终端值“V”-T（y、x、g、h）和U-T（y，x，g，h）根据等式（5.6）和（5.19）在g.2中的前驱点（y，x，g，h）。对于所有i=T- 1.1（a）通过求解方程（5.8）和方程（5.20），计算g中每个点（y，x，g，h）的V+i（y，x，g，h）和U+i（y，x，g，h）；（b） 计算“V”-i（y，x，g，h），通过求解g中每个点（y，x，g，h）的方程（5.10）；（c） 计算“U”-i（y，x，g，h），通过求解g中每个点（y，x，g，h）的方程（5.21）；3、通过求解方程（5.8）和（5.20），计算“V+（0，P，P，P）和“U+（0，P，P，P）”。值V+（0，P，P，P）和U+（0，P，P，P）分别约等于V（0，r，P，P，P）和U（0，r，P，P，P）。我们指出，该算法是完全并行的：事实上，G中每个点的计算是相互独立的。VAs环境中的一种常见做法（例如，请参见Forsyth和Vetzal[9]）包括计算空中策略co stИ*在中，这是保险人保单的初始价值u（0，r，P，P，P）等于净保费P的特定值。为此，可将算法插入secantmethod中，以求解方程U（0，r，P，P，P）（Д）=P。6数值结果在本节中，我们报告了一些数值试验的结果。表1、2、3报告了分析中使用的参数。此外，为了估计死亡率和生存概率q和p，我们采用2007年美国社会保障区人口周期生命表[3 0]。最后，我们强调，除了利率过程的参数外，这些参数与Moenigand Bauer采用的参数相同【19】。6.1计算公平费率我们从计算公平费率开始*根据保险人的主观估价。

特别是，我们考虑了一些具有不同初始利率r值、利率波动率ω和基础基金波动率σ的测试案例。数值结果见表4。通过比较表4的两行，我们观察到，在所有考虑的情况下，包括税收减少了减少a c计数值的费用，即政策成本。我们可以推测，reasonDescription参数VALUAGE在期初x 55保费P 100年至到期T 15年担保金额gWExcess提款费为8%，7%，1%, 0%, 0%, . . .费率^1将由所得税税率τ0%或30%资本利得税率κ0%或23%提前支取罚款sg10%确定。表1：PH和合同规范的参数选择。说明参数值初始基金价值基金波动率σ0.1，0.3初始利率r0.03，0.05利率均值反转速度k 1利率均值θt利率波动率ω0。05，0.1相关性ρ0.2表2：Bla-ck-Scholes-Hull-White模型的参数选择。说明参数值每年的时间步长GxNx中的NTPoints GhNh中的GGNg中的Points退出步长表3：数值方法的参数选择。因为这取决于退出策略：如果采用税收，从PH的角度来看，最佳退出策略（即根据其主观观点实现价值最大化的策略）与保险人角度来看的最差策略（即最大化其责任的策略）并不一致。此外，我们观察到，利率波动率越高，政策成本越大。这可能是因为，通过增加利率波动率，可以更容易观察到非常低（或负）的利率，这使得复制政策非常有意义。

因此，税收和利率建模对政策评估都有敏感的影响。6.2比较保单初始值我们现在计算PH的初始主观保单值V（0，r，P，P，P），并将其与Дequa l toД进行比较*在中，这是盈亏平衡费，如表4所示：这是PH自己复制该政策所需的金额。数值结果见表5。我们观察到，如果不征税，PH的主观估价等同于保险人的主观估价，合同对两者都是公平的，分别为=0.03、σ=0.16 r=0.05、σ=0.19ω=0.05ω=0.1ω=0.05ω=0.1无税69.35 94.81 41.91 56.97和税43.18 60.31 23.96 33.58表4：公平费用率*根据保险人的主观评估，改变r、σ和ω的值。r=0.03，σ=0.16 r=0.05，σ=0.19ω=0.05ω=0.1ω=0.05ω=0.1无税100.00 100.00 100.00 100.00含税110.13 110.69 114.97 115.91表5：根据PH的主观估值，考虑到Д=Д，公平初始期权价值V（0，r，P，P，P）*表4中的INas，改变r、σ和ω的值。两名特工。相反，当实施税收时，根据PH的主观估价，合同价值会增加，因为适用于政策的税收制度，这与适用于政策外投资的税收制度相比是有利的，因此在复制投资组合中也是有利的。现在让我们考虑χ=3%作为保险费率。在这样的保费税率下，保险人要求对所有成本收取的总保费P为103.09，因此净保费P为100，合同对保险人来说是公平的。根据表5，在所有考虑的情况下，客户愿意支付远高于103.90的费用来购买保单：例如，如果r=0.03，σ=0.16，ω=0.05，则PH对保单的主观价值为110.1 3。

因此，如果保险人将销售价格设定在103.09和110.13之间，则销售对PH和保险人都有利。所考虑的模型允许我们重新创建一个框架，使VAs对客户特别感兴趣：虽然对政策收益征税，但税制对这类产品特别有利。因此，GMWB政策对客户具有吸引力，对保险人具有吸引力。6.3比较含税和不含税的PH提取我们提出的最后一个数值测试包括在考虑或不考虑税收的情况下比较PH执行的最佳提取。特别是，我们考虑了r=0.03、σ=0.16和ω=0.05的情况（其他参数组合的结果相似）。此外，^1的价值被设定为与税收的收支平衡费，即*IN=43.18个基点。图6.1、6.2和6.3中报告了不同周年纪念日的最佳提款。第一列代表外汇的最佳金额-tiand rti，通过考虑G和H的不同值以及零税率，而在第二列中，通过同时考虑正收入税率和正资本利得税率。颜色越深的区域表示提取率越高。最后，在第三列中，无税和有税的最佳金额之间的差异。在这里，绿色区域表示无税提款较高，而红色区域（不可见）表示有税提款较高。我们可以观察到，最佳量取决于所有考虑的参数。特别是，提款策略可能会根据实际利率发生重大变化，如图6.3所示，Gt=Ht=100。

就税收对退出策略的影响而言，我们发现了Moenig和Bauer观察到的相同影响【19】：当实施税收时，PH值的退出小于不考虑税收时的退出。事实上，对于所有考虑的数字情况，图6.1、6.2和6.3中的最后几列仅显示正值，这意味着无税提取的金额较高。如【19】所述，在没有税收的情况下，随着账户价值越来越大，PH会被激励提取资金，而不是将其留在政策中，在政策中由费用减少。相反，如果适用税收，提款将作为普通收入征税，如果投资于其他产品，则需缴纳资本利得税。因此，PH不取款更方便，让其在=100、H=100（不含税）下增长71010100 50 100 150 200账户价值X00.020.040.06利率rG=100、H=100（含税）7101010100 50 100 150 200账户价值X00.020.040.06利率rG=100和H=100770 50 100 150 200账户价值X00.020.040.06利率rG=50，H=100，不含税70 50 100 150 200账户价值X00.020.040.06利率rG=50，H=100，含税70 50 100 150 200账户价值X00.020.040.06利率rG=50，H=100770 50 100 150 200账户价值X00.020.040.06利率rG=50，不含税70 50 100 150 200账户价值X00.020.040.06利率rG=50，H=50，含税70 50 100 150 200账户价值X00.020.040.06利率rG=50，H=50770 50 100 150 200账户价值X00.020.040.06利率rFigure 6.1：在前两列中，关于X的等高线图-（x轴）和r（y轴）的最佳提款时间t=4，不征税或征税。在第三列中，前两列中报告了无征税和有征税的最佳提款之间的差异。

绿色区域记录正值。政策。