一般保险公司的期望指数效用最大化

（2.9）有一个解决方案：b（t，y）=Et，y“ZTtθ（\'Ys）+σf（\'Ys）*Da（s，\'Ys）a（s，\'Ys）-1.（2.14）+约- λZz>0ea（s，(R)Ys）z- 1.ν（dz）ds公司,8 HIROAKI HATA、SHUENN-JYI SHEU和LI-HSIEN Sun其中“E[·]”表示对概率测量“P denedbyd”PdP的预期FT=\'ET，（2.15），其中\'ET:=exp-Zt公司θ（Ys）+σf（(R)Ys）*Da（s，\'Ys）a（s，\'Ys）-1.*载重吨（2.16）-Zt公司θ（Ys）+σf（(R)Ys）*Da（s，\'Ys）a（s，\'Ys）-1.ds公司.以及分析DYS的解决方案=g（(R)Ys）- σf（\'Ys）θ（\'Ys）- σf（\'Ys）σf（\'Ys）*Da（s，\'Ys）a（s，\'Ys）-1.ds+σf（\'Ys）d'Ws，s≥ t、 “Yt=y，（2.17），其中“Wt”是“P”下的布朗运动：”“Wt=Wt+Ztθ（\'Ys）+σf（\'Ys）*Da（s，\'Ys）a（s，\'Ys）-1.ds。在证明这个定理之前，我们先准备下面的引理。引理2。（引理4.1.1/6）使用（1.1）。对于给定的连续函数H（t，y）满足| H（t，y）|≤ C（1+| y |）我们定义ρt：=exp-ZtH（s，Ys）*dWs公司-Zt | H（s，Ys）| ds.那么，t的e[ρt]=1∈ [0，T]。定理2.2的证明。设置^a（t，y）=a（t，y）-1，则^a求解^at+tr（σf（y）σf（y）*D^a）+{g（y）- σf（y）θ（y）}*D^a- r（y）^a=0，^a（T，y）=α-1.（2.18）从引理2.1中，我们可以看到BP是一个概率度量。因此，使用[35]第2章第9节第10条定理，我们得到了^a（t，y）=α-1bEt，yhe-RTtr（bYs）dsi。（2.19）因此得到（2.10）。另一方面，从（A4）我们有0<a（t，y）≤ αe'rT。根据下面的引理2.2，C>0，使得| Da（t，y）| a（t，y）-1.≤ C（1+| y |）。（2.20）因此，使用引理2.1 ag ain，我们可以看到“P”定义良好。我们可以检查（2.17）的可解性。再次使用【35】第2章第9节第10条，我们获得（2.14）。保险公司的预期指数效用最大化9引理2。2、假设（A1）~ （A5）。然后，存在C>0和C>0，因此（2.20）是令人满意的证明。

设置Д（t，y）：=日志a（t，y），我们有φt+tr（σf（y）σf（y）*D^1）-（D^1）*σf（y）σf（y）*DД+{g（y）- σf（y）θ（y）}*DД+r（y）=0，Д（T，y）=对数α。（2.21）在其余部分，我们可以使用Krylov[35]中的结果（第2章第9节定理10）。注意到一t<0成立，我们看到φt<0保持不变。使用φt<0根据[22]的引理3.5或[49]的定理2.1的论点，我们可以看到| Dν（t，y）|- κφt（t，y）≤ C′|D（σfσ*f） | 2r+|σfσ*f | 2r+| g- σfθ| 2r+| D（g- σfθ）| 2r+| r | 2r+| Dr | 2r+1, y∈ Br，t∈ [0，T]，（2.22）其中C′是独立于r和T的正常数，κ是有效的大常数，a和|·······································∞（B2r）。因此，存在C>0，使得| DД（t，y）|≤[0，T]×Rn上的C（1+| y |）。2.2. 验证定理。在本节中，我们展示了（P）的验证定理。定义AT定义的可接受策略集：=（πt）t∈[0，T]∈ L2，T；E[ET（π）]=1,其中Et（π）由Et（π）定义：=exp-Zth（s，Xπs，Ys，πs）*dWs公司-Zt | h（s，Xπs，Ys，πs）| ds· ex p公司ZtZz>0a（s，Ys）zN（ds，dz）+λZtZz>01.- ea（s，Ys）zν（dz）ds.这里，h（t，x，y，π）由h（t，x，y，π）定义：=σf（y）*{Da（t，y）x+Db（t，y）}+σp（y）*πa（t，y）。然后，我们有以下内容。定理2.3。假设（A1）~ （A6）。也假设（A7）Zz>0eαe2'rTzν（dz）<∞.定义∧π（t，x，y）：=a（t，y）-1（σp（y）*)-1.σf（y）*Da（t，y）-x+a（t，y）-1.+θ（y）- σf（y）*Db（t，y）]。（2.23）那么，策略∏t∈ 由▄πt定义的At：=▄π（t，X▄πt，Yt）（2.24）是（P）的最佳值。此外，我们还有V（0，x，y）=V（0，x，y），（2.25）10 HIROAKI HATA，SHUENN-JYI SHEU，和LI-HSIEN Sun，其中V（t，x，y）由V（t，x，y）定义：=-e-a（t，y）x-b（t，y）。（2.26）这里，a（t，y）和b（t，y）分别由（2.10）和（2.14）定义。证据我们写▄v（t，x，y）=a（t，y）x+b（t，y）。

对于任意π∈ 在，使用（1.1）和（1.2），我们得到了dv（t，Xπt，Yt）=~Lπ▄v（t，Xπt，Yt）dt+h（t，Xπt，Yt，πt）*载重吨- a（t，Yt）Zz>0zN（dt，dz）,其中，Lπv（t，x，y）由Lπv（t，x，y）定义=vt+tr（σf（y）σf（y）*vyy）+g（y）*vy+{c+（u（y））- r（y）1）*π} vx+π*σp（y）σp（y）*π▄vxx+π*σp（y）σf（y）*vxy。这可以在asd中重写{-~v（t，Xπt，Yt）}=-LπИv（t，Xπt，Yt）dt+d log Et（π）。式中，（2.4）中给出了LπОv（t，x，y）。因此，使用Ata的定义和Lπ▄v（t，x，y）的事实≤ 0保持（t，x，y）∈ [0，T]×R×Rn，我们有j（T，x，y；π）=~V（0，x，y）Ehe-RTLπИv（t，Xπt，Yt）dtET（π）i≤V（0，x，y）E[ET（π）]=(R)V（0，x，y）。（2.27）取π=~π。然后，在附录A中，我们观察到e[ET（|π）]=1。（2.28）即|π∈ 位于。请注意，L▄π▄v（t，x，y）=0表示（t，x，y）∈ [0，T]×R×Rn。那么，我们有j（T，x，y；π）=V（0，x，y）Ehe-RTL▄π▄v（t，X▄πt，Yt）dtET（▄π）i=▄v（0，X，y）E[ET（▄π）]=▄v（0，X，y）。(2.29)3.FBSDE在这一部分中，我们研究了基于财富过程的耦合FBSDE的最优策略，该财富过程写为：asXπt=x+Zt{r（Ys）xπs+π*s（u（Ys）- r（Ys）1）+c}ds+Ztπ*sσp（Ys）dWs-ZtZz>0zN（dz，ds），（3.1），其中系数Y由（1.1）给出。回想一下我们的问题，即（▄P）supπ∈§ATJ（T，x，y；π），保险公司的预期指数效用最大化11，其中J由（1.4）给出。

此处▄位于( L2，T）是稍后描述的可接受策略集。我们进一步假设r、u、b、σp和σf满足条件（A1）~ （A6）。在[27，28]中研究了使用FBSDE方法的相关优化投资组合问题。遵循[27]的思想，给定x=U（x）=-e-αx，将It^o公式应用于▄xπt=U（xπt），以及usingU-1（￠x）=-α对数(-x），U（U-1（▄x））=▄x，xU（（U-1（￠x））=-αОx，xxU（（U-1（▄x））=α▄x.and d▄xπt=xU（U-1（￠Xπt））r（Yt）U-1（~Xπt）+π*t（u（Yt）- r（Yt）1）+cdt公司+xxU（U-1（￠Xπt））π*tσp（Yt）σ*p（Yt）πtdt+xU（U-1（￠Xπt））π*tσp（Yt）dWt+~Xπt-Zz>0（eαz- 1） N（dt，dz）=- α▄Xπt-r（Yt）α对数(-~Xπt）+π*t（u（Yt）- r（Yt）1）+cdt+αИXπtπ*tσp（Yt）σ*p（Yt）πtdt+~XπtZz>0（eαz- 1） λν（dz）dt- αИXπtπ*tσp（Yt）dWt+~Xπt-Zz>0（eαz- 1） ~N（dt，dz），~X=U（X）。（3.2）此处，~N（dt，dz）=N（dt，dz）- λν（dz）dt。Pontryagin极大值原理导致相应的哈密顿书面灰（t，π，~x，y，p，q，q）：=- α▄x(-rα对数(-x）+π*(u - r1）+c）+αxπ*σpσ*pπ+~xZz>0（eαz- 1） λν（dz）p- x（απ*σpq）+▄xZz>0（eαz- 1） q（z）λν（dz），（3.3），其中我们在该显示中省略了r，u，σp，σfon y的相关性。最新订单条件Hπ（π）=0给出π=α（σpσ*p）-1σpθ+qp.表示^πt=α（σp（Yt）σp（Yt）*)-1σp（Yt）θ（Yt）+qtpt,通过滥用符号。在下文中，我们还使用了无定数▄Xt=▄X^πand Xt=X^πt。这里我们不假设σpi在此时是可逆的。如果σp12 HIROAKI HATA、SHUENN-JYI SHEU和LI-HSIEN Sun是可逆的，则市场是完整的。我们将得到（3.4）^π=α（σ*p）-1.θ+qp,和（3.5）^πt=α（σp（Yt）*)-1.θ（Yt）+qtpt,然后（3.2）变为（3.6）dXt=DpH（πt）dt+DqH（πt）dWt+Zz>0DqH（π；z）~N（dt，dz），~X=X，其中DpH（πt）、DqH（πt）、DqH（π；z）是DpH（πt）、Xt、pt、qt、qt（z））的短版本Xt，pt，qt，qt（z）），DqH（πt，~Xt，pt，qt，qt（z））。H依赖于Yt。

此外，Pt满足（3.7）dpt=-DxH（^πt）dt+q*tdWt+Zz>0qt（z）~N（dt，dz），pT=1，其中DxH（πt）又是DxH（πt，Xt，pT，qt，qt（z））的短版本。注意，（3.6）是一个提出初始条件的for ward方程，（3.7）是一个提出终端条件的abackwa rd方程，（3.6）和（3.7）一起被称为一对FBSDE（前向-后向随机微分方程）a解决方案由▄Xt、pt、qt和qt（z）给出。在美国，随着对{Ft}的重新描述，过程▄Xt、pt和qt逐渐可测量，而qt（z）在[0，s]×[0，∞) × Ohm 可根据Bs给出的产品σ-字段进行测量 B（[0，∞))  Fs。当我们在方程（3.6）和（3.7）中插入（3.4）时，FBSDEs是具有复杂非线性的pairof方程。实际上，我们得到了相应的fbsde，写为asdX^πt=-X^πtαc- r（Yt）对数(-X^πt）+θ（Yt）*σp（Yt）*（σp（Yt）σp（Yt））-1σp（Yt）θ（Yt）-qtpt公司*σp（Yt）*（σp（Yt）σp（Yt）*)-1σp（Yt）qtptdt+~X^πt-Zz>0（eαz- 1） N（dt，dz）-X^πtθ（Yt）+qtpt*σp（Yt）*（σp（Yt）σp（Yt）*)-1σp（Yt）dWt，（3.8）dpt=αc- r（Yt）（对数(-X^πt）+1）-Zz>0（eαz- 1） λν（dz）+θ（Yt）+qtpt*σp（Yt）*（σp（Yt）σp（Yt）*)-1σp（Yt）θ（Yt）+qtptptdt-Zz>0（eαz- 1） qt（z）λν（dz）dt+q*tdWt+Zz>0qt（z）~N（dt，dz），（3.9）保险公司13的预期指数效用最大化，X=U（X），pT=1。

使用x选择▄q=qp和▄q=qp和=-α对数(-~x）和▄p=对数p，我们有dx^πt=r（Yt）X^πt+c+α（θ（Yt）+qt）*σp（Yt）*（σp（Yt）σp（Yt）*)-1σp（Yt）θ（Yt）dt（3.10）+α（θ（Yt）+qt）*σp（Yt）*（σp（Yt）σp（Yt）*)-1σp（Yt）dWt-Zz>0zN（dt，dz），dpt=αc+r（Yt）（αX^πt- 1） （3.11）+（θ（Yt）+qt）*σp（Yt）*（σp（Yt）σp（Yt）*)-1σp（Yt）（θ（Yt）+qt）-|qt|dt公司- λZz>0{eαz（~qt（z）+1）- 1} ν（dz）dt+~q*tdWt+Zz>0log（1+～qt（z））N（dt，dz），初始条件X=X，终端条件～pT=0。在完全市场的情况下，即风险集合的数量和布朗运动的数量是相同的，σp（y）对于任何y都是可逆的。那么σp（y）*（σp（y）σp（y）*)-1σp（y）=I。方程式可简化如下。dX^πt=r（Yt）X^πt+c+α|θ（Yt）|+θ（Yt）*qtdt+α（θ（Yt）+qt）*载重吨-Zz>0zN（dt，dz），（3.12）dpt=αc+r（Yt）（αX^πt- 1） +|θ（Yt）|+θ（Yt）*qtdt公司- λZz>0{eht（z）+αz- 1} ν（dz）dt+~q*tdWt+Zz>0ht（z）N（dt，dz），（3.13），初始条件X=X且▄pT=0。这里，ht（z）：=log（1+~qt（z））。3.1. FBSDE的解决方案。在本小节中，我们将获得BSDES（3.12）-（3.13）的解。现在，我们定义以下空间：Sp：=（Xs）s∈[0，T]；XS是一个R值Fs渐进可测随机过程，使得E“supt∈[0，T]| Xs |#<∞.),有限合伙人：=（Xs）s∈[0，T]；Xs是一个Rm值Fs渐进可测随机过程，使得E“ZT | Xs | pds#<∞.),LpN：=（Xs）s∈[0，T]；Xs:[0，T]×R+→ R是一个Fs渐进可测随机过程，使得E“ZTZz>0 | Xs | pν（dz）ds#<∞.).14 HIROAKI HATA、SHUENN-JYI SHEU和LI-HSIEN Sun然后，我们有以下引理来解耦合的FBSDE。引理3。1.

定义（X^πt，~pt，~qt，ht（z））asX^πt：=α- η（t，Yt）{（α- η（0，y））x+φ（t，Yt）- φ（0，y）}（3.14）+α- η（t，Yt）Ztr（Ys）ds+Ztθ（Ys）*dWs+Zt |θ（Ys）| ds-ZtZz>0{α- η（s，Ys）}zN（ds，dz）+λZtZz>0e{α-η（s，Ys}z- 1.ν（dz）ds,~pt：=η（t，Yt）X^πt+φ（t，Yt），（3.15）ht（z）：=-η（t，Yt）z，（3.16）~qt：=α- η（t，Yt）X^πtσf（Yt）*Dη（t，Yt）+σf（Yt）*Dφ（t，Yt）+αη（t，Yt）θ（Yt）,（3.17）式中，η（t，y）和φ（t，y）必须满足ηt+tr（σf（y）σf（y）*Dη）+{g（y）- σf（y）θ（y）}*Dη-η - α（Dη）*σf（y）σf（y）*Dη- r（y）（α- η） =0，η（T，y）=0，（3.18）和φt+tr（σf（y）σf（y）*Dφ）+{g（y）- σf（y）θ（y）+α- ησf（y）σf（y）*Dη*Dφ+α- η（Dη）*σf（y）θ（y）-|θ（y）|+r（y）- c（α- η） +Zz>0e（α-η） z- 1.λν（dz）=0，φ（T，y）=0。（3.19）那么，FBSDEs（3.12）-（3.13）有一个溶液（X^πt，~pt，~qt，~qt）∈ S×S×L×L满足C＞0，使得HT（z）≤ 捷克。（3.20）证明。附录B中给出了证明。在引理3.1中，我们有（3.21）pt=exp（η（t，Yt）Xt+φ（t，Yt））。我们可以看到α-η（t，y）和a（t，y）具有相同的方程式（见（2.8））。此外，从（2.21）中给出的方程Д（t，y）=log a（t，y），我们可以看到Д（t，y）- φ（t，y）和b（t，y）具有相同的方程式（见（2.9）），但具有不同的终端条件，由φ（t，y）给出- φ（T，y）=对数α，b（T，y）=0。保险公司的预期指数效用最大化15我们可以得出η（t，y）=α- a（t，y），φ（t，y）=对数a（t，y）- 对数α- b（t，y）。我们得到以下结果。定理3.1。假设（A1）~ （A6）。那么，（3.18）有一个解：η（t，y）=α- a（t，y），（3.22），其中a（t，y）由（2.10）给出。（3.19）有一个解φ（t，y）=对数a（t，y）-对数α- b（t，y），其表达式为：φ（t，y）=Et，yZTt公司- a（s，’s）-1（日、年）*σf（\'Ys）θ（\'Ys）- ca（s，\'Ys）+r（Ys）-|θ（(R)Ys）|+Zz>0ea（s，(R)Ys）z- 1.λν（dz）ds公司,（3.23）其中（2.1.7）给出了分析。证据设|η=α-η、 我们得到了满足（3.24）的￠η ~ηt（t，y）+（g（y）*- θ（y）σf（y））Dη（t，y）+tr（σf（y）σf（y）*Dη（t，y））-r（y）×η（t，y）=0，终端条件×η（t，y）=α。

然后，（3.24）符合（2.18）。因此，我们有（3.25）~η（t，y）=α-1bEt，yhe-RTtr（bYs）dsi，其中bYs由（2.13）给出。考虑ξ（t，y）：=对数（α- η（t，y））。然后，观察(α-η)t型≤ 0和ξt型≤ 根据ξ的偏微分方程引理2.2的参数，我们可以看到| Dη（t，y）|α- η（t，y）=Dξ（t，y）|≤ C（1+| y |）。因此，使用条件（A1）~ （A6）和定理10，第9节，第2章，在【35】中，我们得到（3.23）。定理3。2、假设（A1）~ （A6）。那么，FBSDEs（3.12）-（3.13）有一个唯一的解（X^πt，￠pt，￠qt，ht（z））∈ S×S×L×L满足（3.20）。附录C.3.2中给出了证明。验证定理。在本小节中，我们展示了验证定理。确定可预测性度量^PNasd^PNdPFT=^ENT，（3.26），其中^ENtis由^ENT定义：=bEt·expZtZz>0{α- η（s，Ys）}zN（ds，dz）+λZtZz>01.- e{α-η（s，Ys）}zν（dz）ds,（3.27）16 HIROAKI HATA、SHUENN-JYI SHEU和LI-HSIEN Sun，见（2.12）。根据附录A和引理2.1的论点，我们得到E[^ENT]=1。因此，对^PNis进行了很好的定义。注意，在概率度量^PN下，Ytis由dyt={g（Yt）给出- σf（Yt）θ（Yt）}dt+σf（Yt）d^WNt，（3.28），其中^WNt：=Wt+Ztθ（Ys）ds（3.29）是^PN下的布朗运动。在以下位置确定一组可接受的策略：=（πt）t∈[0，T]∈ L2，T；^ENZT |πt | dt< ∞..（3.30）定理3.3。假设（A1）~ （A7）。定义^π（t，x，y）：=α- η（t，y）（σp（y）*)-1.θ（y）+σf（y）*{Dη（t，y）x+Dφ（t，y）}.（3.31）那么，策略^πt∈由^πt定义的At：=^π（t，X^πt，Yt）（3.32）是^（P）的最佳值。此外，我们还有supπ∈ATE[U（XπT）]=EU（X^πT）= -αα - η（0，y）e-{α-η（0，y）}x+φ（0，y）。（3.33）证明。为了证明（3.33），我们考虑∧Xπtpt。

我们使用关系式，~Xπtpt=- exp（▄pt- αXπt）。我们有dxπt={r（Yt）Xπt+π*t（u（Yt）- r（Yt）1）+c}dt+π*tσp（Yt）dWt-Zz>0zN（dt，dz），（3.34）和by（3.13）和（3.16），dpt=αc+αr（Yt）X^πt- r（Yt）+θ（Yt）+θ（Yt）*qt- λZz>0（e{α-η（t，Yt）}z- 1） ν（dz）dt+~q*tdWt公司- η（t，Yt）Zz>0zN（dt，dz）。然后（▄pt- αXπt）=αr（Yt）（X^πt- Xπt）- r（Yt）- απ*t（u（Yt）- r（Yt）1）+θ（Yt）+θ（Yt）*qtdt公司- λZz>0（e{α-η（t，Yt）}z- 1） ν（dz）dt+（▄qt- ασp（Yt）*πt）*dWt+Zz>0（α- η（t，Yt））zN（dt，dz）。（3.35）从（3.5）中，我们得到了qt=-θ（Yt）+ασP（Yt）*^πt.保险公司的预期指数效用最大化17从这个和（2.5），我们有θ（Yt）*qt- α（u（Yt）- r（Yt）1）*πt=θ（Yt）*（▄qt- ασp（Yt）*πt）=θ（Yt）*(-θ（Yt）+ασp（Yt）*^πt- ασp（Yt）*πt）=- |θ（Yt）|+αθ（Yt）*σp（Yt）*（^πt- πt）。（3.36）到（3.35），（3.36），我们已经- αXπt）=αr（Yt）（X^πt- Xπt）- r（Yt）-|θ（Yt）|+αθ（Yt）*σp（Yt）*（^πt- πt）dt+(-θ（Yt）+ασp（Yt）*（^πt- πt））*载重吨- λZz>0（e（α-η（t，Yt））z- 1） ν（dz）dt+Zz>0（α- η（t，Yt））zN（dt，dz）。（3.37）使用（3.34），我们得到了（X^πt- Xπt）={r（Yt）（X^πt- Xπt）+θ（Yt）*σp（Yt）（^πt- πt）}dt+（^πt- πt）*σp（Yt）dWt=r（Yt）（X^πt- Xπt）dt+（^πt- πt）*σp（Yt）d^WNt，（3.38），其中^WNt由（3.29）给出。从（3.37）和（3.38）中，我们得到了pT- αXπT=~p- αx+α（x^πT- XπT）-ZTr（Yt）dt-ZTθ（Yt）*载重吨-ZT |θ（Yt）| dt- λZTZz>0（e（α-η（t，Yt））z- 1） ν（dz）dt+ZTZz>0（α- η（t，Yt））zN（dt，dz）=p- αx+α（x^πT- XπT）-ZTr（Ys）ds+log^ENT，其中^ENTis在（3.27）中给出。因此，~XπTpT=U（X）peα（X^πT-XπT）-RTr（Yt）dt·。ThenE[~XπTpT]=U（X）pEheα（X^πT-XπT）-RTr（Yt）dt^ENTi=U（x）p^ENheα（x^πT-XπT）-RTr（Yt）dti，（3.39），其中^EN[·]是对应于^PN的期望值。

从（3.38）开始，我们有-RTr（Yt）dt（X^πT- XπT）=中兴通讯-Rtr（Ys）ds（^πt- πt）*σp（Yt）d^WNt。18 HIROAKI HATA、SHUENN-JYI SHEU和LI-xien Sun利用这个和Jensen不等式，我们得到了^ENhe-RTr（Yt）dti^ENhe-RTr（Yt）dteα（X^πT-XπT）i≥ 经验值^ENhe-RTr（Yt）dti^ENhe-RTr（Yt）dtα（X^πT- XπT）i= 经验值^ENhe-RTr（Yt）dti^EN“中兴通讯-Rtr（Ys）ds（^πt- πt）*σp（Yt）d^WNt#=1，if^π∈§AT，见（3.30）。因此，使用（3.39），我们得到了e【~XπTpT】=U（X）p^ENheα（X^πT-XπT）-RTr（Yt）dti≤U（x）p^ENhe-RTr（Yt）dti=E[XπTpT]。因此，我们看到，如果^π∈ATholds。^π∈§A附录d中对公式进行了验证。我们计算了E[~X^πTpT]。由于我们还观察到“bYtgiven in（2.13）underbP”=法则“Yt在（3.28）中给出，在^PN下”，我们看到从m（3.22）^ENhe-RTr（Yt）dti=bEhe-RTr（bYt）dti=αα- η（0，y）。因此，回顾▄X^π=-e-αX和p=eη（0，y）X^π+φ（0，y），我们有ehX^πTpTi=-e-{α-η（0，y）}x+φ（0，y）~Ehe-RTr（Yt）dti=-e-{α-η（0，y）}x+φ（0，y）αα- η（0，y）。推论3.1。通过比较（2.8-2.9）和（3.18-3.19），我们验证了基于η（t，y）=α关系的PDE方法和FBSDE方法的解的一致性- a（t，y），φ（t，y）=loga（t，y）α- b（t，y），使得通过FBSDE方法得到的最优策略（3.31）和最优值（3.33）与最优策略濾π（t，X濾πt，Yt）=a（t，Yt）相同-1（σp（Yt）*)-1·{θ（Yt）- σf（Yt）*（D a（t，Yt）x+Db（t，Yt）- Da（t，Yt）a（t，Yt）-1） }，期望保险公司的指数效用最大化19，最优值为给定nv（0，x，y）=-e-a（0，y）x-b（0，y），使用HJB方法。附录A.证明（2.28）。回想一下h（s，X▄πs，Ys，▄πs）=σf（Ys）*Da（s，Ys）a（s，Ys）-1+θ（Ys）。（A.1）我们认为ztzz>0a（s，Ys）zN（ds，dz）=ptXi=1a（Ti，YTi）Zi，其中Z，Z，···是分布为ν（·）的iid，Ti=s+s+··+Si，s，s，···是具有参数λ的指数分布的iid。