一般保险公司的期望指数效用最大化

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英文标题：
《Expected exponential utility maximization of insurers with a general
  diffusion factor model : The complete market case》
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作者：
Hiroaki Hata, Shuenn-Jyi Sheu, Li-Hsien Sun
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In this paper, we consider the problem of optimal investment by an insurer. The insurer invests in a market consisting of a bank account and $m$ risky assets. The mean returns and volatilities of the risky assets depend nonlinearly on economic factors that are formulated as the solutions of general stochastic differential equations. The wealth of the insurer is described by a Cram\\\'er--Lundberg process, and the insurer preferences are exponential. Adapting a dynamic programming approach, we derive Hamilton--Jacobi--Bellman (HJB) equation. And, we prove the unique solvability of HJB equation. In addition, the optimal strategy is also obtained using the coupled forward and backward stochastic differential equations (FBSDEs). Finally, proving the verification theorem, we construct the optimal strategy.
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中文摘要：
本文研究保险人的最优投资问题。保险公司投资于一个由银行账户和百万美元风险资产组成的市场。风险资产的平均收益率和波动率与经济因素呈非线性关系，这些经济因素被表示为一般随机微分方程的解。保险人的财富由克莱姆-伦德伯格过程描述，保险人的偏好是指数型的。采用动态规划方法，我们推导了Hamilton—Jacobi—Bellman（HJB）方程。证明了HJB方程的唯一可解性。此外，还利用耦合的前向和后向随机微分方程（FBSDE）获得了最优策略。最后，证明了验证定理，构造了最优策略。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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关键词：效用最大化 保险公司 最大化

一般扩散因子模型下保险人的预期指数效用最大化：完全市场情形。HIROAKI HATA、SHUENN-JYI SHEU和LI-HSIEN SUNAbstract。本文研究保险人的最优投资问题。保险公司投资于一个由银行账户和莫里斯基资产组成的市场。风险资产的平均收益率和波动率与经济因素呈非线性关系，这些经济因素被表述为一般s-tochastic微分方程的解。保险人的财富由克莱姆-伦德伯格过程描述，保险人的偏好呈指数级。采用动态规划方法，推导了哈密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程。证明了HJBequation的唯一可解性。此外，还利用向前和向后耦合的随机微分方程（FBSDE）获得了最优策略。最后，证明了验证定理，我们构造了最优策略。1、导言近年来，保险公司的优化问题已经被许多研究者所研究。这些工作大多是通过使用动态规划方法分析Hamilton–Jacobi–Bellman（HJB）方程来解决的。我们将在下面介绍这些研究。[1、5、12、25、26、44、45、46、51、52、59]研究了破产概率最小化问题。[1、5、12、25、26]研究了最优投资问题，[46、51、5、9]研究了最优再保险问题。而且，[44，45，52]考虑了投资和再保险问题。[7、18、23、61、64、65]研究了最大化预期指数效用的最优投资问题。[18、61、65]采用Black-Scholes模型。

而且，[7、8、23]采用了随机因素模型，预计可以弥补Black-Scholes模型的不足。[37，3，8，39，56，68]研究了均值方差保险人的最优投资再保险问题。[21]研究了最大化电力效用准则的最优投资再保险问题。[4、30、40、41、57、64、62、66、67]处理了指数效用准则最大化的最优投资再保险问题。此外，研究了最优投资和风险控制问题。另一方面，[63，69，70]使用基于等价鞅测度和鞅表示定理的鞅方法。Wang等人【63】2000年数学学科分类。93E20、60H30、91B28、91B30、49L20、90C40、60J70、62P05。关键词和短语。风险过程，随机控制，指数效用，

文献[24]讨论了非线性效用下的投资组合优化问题。Sekine【53】运用BSDEs方法讨论了指数对冲。沈增[56]采用BSDEs方法求解均值-方差最优投资再保险问题。文献[54]证明了具有Lips-chitz基因rators和平方可积终端条件的BSDE的存在性和唯一性。然而，基于Merton型问题的性质，得到了相应的具有二次增长的FBSDE。文献[34，58]讨论了具有有界终端条件的二次倒向随机微分方程（QBSDE）的存在性。特别是，Bahlali等人[2]和Briand and Hu[9，10]分别分析了具有无界端值和l端数据的QBSDE。Barrieu和El Karoui[3]研究了无界二次BSDE。Imkeller和Reis【31】讨论了具有截断二次增长的BSDE的路径正则性，Frei等人【20】，Cheridito和Nam【15】，Hu和Tang【29】，Jammneshan等人【32】考虑了多维倒向随机微分方程。一维超二次BSDE的结果如【14，17】所示。Peng和Wu[5 5]基于单调性条件提出了全耦合FBSDE的存在唯一性。Delarue【16】基于与偏微分方程拟线性抛物系统的联系，讨论了非退化情况下FB SDE的存在性和唯一性。[47]中使用解耦随机场分析了系数为一致Lipschitz的FBSDE的适定性。在[42，43]中，通过有界平均振荡（BMO）-鞅技术研究了具有四次增长的耦合FBSDE的可解性。Kupper等人。

[36]利用Malliavin演算和PDE技术分析了具有四次增长的多维耦合FBSDE的局部和全局存在唯一性结果。请注意，在前面的讨论中，耦合的FBSDE没有跳跃。由于部分积分微分方程（PIDE）的正则性所带来的挑战，使用PDEapproach很难验证带跳跃的耦合FBSDE的唯一性。此外，为了使用BMO方法显示BSDE的存在性和唯一性，需要跳跃ms有界，请参见【48】。由于保险人的索赔是无界的，因此该条件不适用于所提出的问题。在本文中，我们研究了由保险公司的优化组合表m激励的特定耦合FBSDEswith跳跃。利用theJensen不等式和鞅技巧可以得到相应的带跳FBSDE的唯一性。特别是，我们有tate Badaoui-Fe rn'andez【7】、Ba daoui et al【8】、Fern'andez et al【18】、Hata Yasuda【23】、Wang【61】、Yang Zhang【65】、Zhou【70】。这些方法处理了当效用函数为指数型时，保险公司的预期指数效用最大化3个最优投资问题。这些问题通常可以通过使用动态规划方法来解决。Browne【12】、Fern\'andez等人【18】、Wang【61】和Yang Zhang【65】考虑了Black-Scholes模型。在[12]中，风险过程遵循带漂移的布朗运动。在[18]中，采用经典的Cram'er–Lundberg模型作为r isk过程。在[61]中，索赔过程是一个纯粹的跳跃过程。在[65]中，风险过程是一个受标准布朗运动扰动的复合泊松过程。Badaoui Fern'andez【7】和Badaoui et al【8】将随机波动模型视为【18】的对应物。

注意，在[7]中，风险集和因子过程之间的相关性为零。[8] 允许风险资产和工厂流程相互关联。Ha ta Yasuda[23]处理了一个线性高斯随机因子模型，并构建了e-xplicit o-Optimal Strategy。并且，[41]用Ornstein-Uhlenbeck模型研究了最优投资和再保险问题。此外，Xu等人[64]研究了与[7]相对应的最优投资和再保险问题。我们的目标是将之前的工作扩展到一个更一般的随机因子模型，即无风险利率不是常数。事实上，我们认为一个市场由一个银行账户和m只高风险股票组成。假设银行账户过程和风险股票的价格过程S：=（S，···，Sm）*（这里是wedenote（·）*向量或矩阵的转置。）由以下等式控制：dSt=Str（Yt）dt，S=S，dSit=Sit（ui（Yt）dt+mXk=1σikp（Yt）dWkt），Si=Si，dYt=g（Yt）dt+σf（Yt）dWt，Y=Y∈ Rn，（1.1），其中（Wt）t≥0是在潜在概率空间上定义的m维标准布朗运动过程(Ohm, F、 P）。σpandσfare m×m，n×m矩阵值函数，u和g分别是Rm值函数和Rn值函数。考虑到一家保险公司在时间t投资的金额πi财富Xπtin i风险资产t的价格，i=1，m、 πt=（πt，…πmt）*被选中后，他在银行账户上的投资金额为xπt- π*t1=Xπt-mXi=1πit。此处1=（1，…，1）*. 那么，投资者的财富具有动态性：Xπt=X+ct- Jt+Zt（mXi=1πisdssis+（Xπs- π*s1）dSsSs）=x+Zt{c+π*s（u（Ys）- r（Ys）1）+r（Ys）Xπs}ds+Ztπ*sσp（Ys）dWs- Jt，（1.2），其中x是初始盈余，c>0是保险费率。

流程JT由JT定义：=ptXi=1Zi，4 HIROAKI HATA，SHUENN-JYI SHEU和LI-HSIEN Sunhere（pt）t≥0是一个泊松过程，其常数强度λ>0，且（Zi）i≥1，索赔额，是具有相同分布ν的独立非负随机变量序列。此外，我们假设zz>0zν（dz）<∞.（1.3）这给出了索赔规模的力矩条件，这将在本文后面引用。稍后将说明更大的力矩条件（见定理2.1中的（A6））。我们还假设（Wt）t≥0，（pt）t≥0和（Zi）i≥1相互独立。此外，对于每个t>0，过滤（Ft）t≥0由ft定义：=σ{Ws，ps，Zjj≤ps；s≤ t、 j≥ 1}.然后，我们将J的泊松随机测度写在[0，∞) × [0, ∞) as N（dt，dz）：N（[0，t]×U）：=X0≤s≤tU公司(Js）=ptXi=1U（Zi），用于孔l设置U [0, ∞), w he reJs：=Js- Js公司-. 我们有jt=ZtZz>0zN（ds，dz）。然后，我们还定义了补偿泊松随机测度N（dt，dz）：=N（dt，dz）- λν（dz）dt。为简单起见，我们总是假设r、u、g、σ和σ完全光滑。我们还假设以下条件：（A1）r，u，g，σ和σfare全局Lipschitz光滑，使得它们的一阶和二阶导数是线性增长的。（A2）σp（x）是不变的。（A3）存在常数u，u>0，因此对于x，η∈ Rn，ξ∈ Rm，uξ|≤ ξ*σp（x）σp（x）*ξ ≤ u|ξ|,u|η|≤ η*σf（x）σf（x）*η ≤ u|η|.（A4）r满意度0≤ r（y）≤ 其中，r是正常数。备注1.1。需要对系数进行平滑处理，以表明HJB方程的解是平滑的。特别是，在一些地方，我们将使用[35]第2章第9节定理10。

参见定理2.2的证明，其中我们还需要（A1）中的增长条件。在本文中，定义终端财富的预期效用：对于给定的常数T>0，J（T，x，y；π）：=E[U（xπT）]。（1.4）此处U:R→ R是指数型效用函数，即（A5）U（x）：=-e-αx，α>0。利用动态规划方法和FBSDE方法，我们考虑了以下问题：保险公司的期望指数效用最大化5（P）supπ∈ATJ（T，x，y；π）。此处位于( L2，T）是一组可接受的策略，其中L2，由2，T定义：=（πs）s∈[0，T]；π是一个Rm值Fs渐进可测随机过程，使得zt |πs | ds<∞, P- a、 s.）。本文后面将给出精确的定义。在第2节，应用动态规划方法，我们考虑问题（P）。为此，我们推导了一个HJB方程。在第2.1小节中，完全市场的性质将帮助我们获得HJB方程的解。在第2.2小节中，我们使用HJB方程及其解证明了验证定理。在第3节中，使用FBSDE方法，我们考虑问题（P）。首先，利用庞特里亚金极大值原理，我们推导出了EBSDE。在第3.1小节中，我们利用完全市场的性质得到了FBSDE的解。我们的贡献之一是研究解决方案的唯一性。我们的方法具有分析性和技术性，但这是一种在其他地方未见的不同寻常的方法。在第3.2节中，我们使用FBSDE及其解证明了验证。我们的方法是分析性的，并且很好地利用了我们环境的性质。这是我们的贡献之一。请注意，FBSDE方法中的容许策略与动态规划方法中的容许策略不同。这将源于彼此方法之间的差异。

最后，我们检验了动态规划方法和FBSDE方法的解、最优策略和最优值的一致性。动态规划在这一节中，我们推导了（P）的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程。我们准备动态版本：（P’）V（t，x，y）：=supπ∈At，TEU（Xπt，t）| Ft,式中，At是s速度对区间[t，t]和Xπt的限制，t：=Xπt/Xπt。根据标准参数（[19]，第四章），我们可以正式推导（P\'）的HJB方程，动力学（1.1）和（1.2）。HJB方程由supπ给出∈Rm五、t+π*σp（y）σp（y）*πVxx+tr（σf（y）σf（y）*Vyy）+π*σp（y）σf（y）*Vxy+{c+π*（u（y）- r1）+r（y）x}Vx+g（y）*Vy+λZz>0{V（t，x- z、 y）- V（t，x，y）}ν（dz）= 0，V（T，x，y）=U（x）。（2.1）此处Vx、Vy、Vxx、Vyy、Vxy是V相对于x、y的第一或第二部分竞争。如果我们假设V（t，x，y）：=-e-v（t，x，y），（2.2）6 HIROAKI HATA，SHUENN-JYI SHEU和LI-HSIEN Sun然后v s解出以下偏微分方程：supπ∈RmLπv（t，x，y）=0，v（t，x，y）=αx，（2.3），其中Lπv（t，x，y）由Lπv（t，x，y）定义：=vt+tr（σf（y）σf（y）*vyy）-v*yσf（y）σf（y）*vy+g（y）*vy+{c+r（y）x}vx+vxx- （vx）π*σp（y）σp（y）*π + π*{（u（y）- r（y）1）vx+σp（y）σf（y）*（vxy- vxvy）}- λZz>0e-v（t，x-z、 y）+v（t，x，y）- 1.ν（dz）。（2.4）Ifvxx- （vx）<0保持，我们看到最大化子是71π（t，x，y）：=-（σp（y）*)-1{θ（y）- σf（y）*vy}vx+σf（y）*vxyvxx- （vx）。设置θ（y）：=σp（y）-1（u（y）- r（y）1）。（2.5）然后，我们将（2.3）改写为vt+tr（σf（y）σf（y）*vyy）-v*yσf（y）σf（y）*vy+g（y）*vy+{c+r（y）x}vx-2{vxx- （vx）}|（θ（y）- σf（y）*vy）vx+σf（y）*vxy |。- λZz>0e-v（t，x-z、 y）+v（t，x，y）- 1.ν（dz）=0，v（T，x，y）=αx.（2.6）备注2.1。如果无风险利率如[7,2,3]中所示为常数，我们使用合适的换算。然后，我们将HJ B方程改写为不依赖于x的抛物型偏积分方程。我们可以求解该方程。

然而，如果无风险利率不是常数，则该方法无法获得HJB方程的解。在本文中，由于我们处理完整的市场模型，我们能够通过不同的方法获得解决方案。见第2.1节。然而，如果市场不完整，新方法将失败。解决HJB方程仍然是一个挑战。2.1. HJB方程的求解。通过直接计算，我们得到以下结果。定理2.1。假设（A1）~ （A5）。也假设（A6）Zz>0eαe'rTzν（dz）<∞.那么，\'v（t，x，y）：=a（t，y）x+b（t，y）（2.7）保险公司的预期指数效用最大化7是（2.6）的解。这里，a（t，y）和b（t，y）求解一t+tr（σf（y）σf（y）*Da）+{g（y）- σf（y）θ（y）}*Da公司-a（D a）*σf（y）σf（y）*Da+r（y）a=0，a（T，y）=α，（2.8）和bt+tr（σf（y）σf（y）*Db）+{g（y）- σf（y）θ（y）-σf（y）σf（y）*Daa公司*数据库+θ（y）+σf（y）*Daa公司+ 加利福尼亚州- λZz>0ea（t，y）z- 1.ν（dz）=0，b（T，y）=0。（2.9）在这里和其他地方，Df=（fy，fy，···，fyn）是f（y）的梯度。定理2.2。假设（A1）~ （A6）。然后，我们有以下内容。1.（2.8）有一个解：a（t，y）=αbEt，yhe-RTtr（bYs）dsi-1，（2.10）其中，[·]表示DBPDP确定的概率测量BP的预期FT=下注，（2.11），其中下注：=经验-Ztθ（Ys）*dWs公司-Zt |θ（Ys）| ds.（2.12）bYs是bYs=ng（bYs）的解- σf（bYs）θ（bYs）ods+σf（bYs）dcWs，s≥ t、 bYt=y，（2.13），其中cWs是一个布朗运动：cWs=Ws+Zstθ（Yu）du。2.