平均场理论中的主方程

考虑与最优反馈^v（x，m，DU（x，m，t））相对应的条件概率密度过程，这是tm+（A*m级-βm+div（G（x，m，DU）m）dt+βD m.db（t）=0m（x，0）=m（x）。（3.13）集u（x，t）=u（x，m（t），t），我们得到-tu+（Au-βu） dt+βdiv^RnU（x，m，t）m（ξ）Dm（ξ）dξdt公司=H（x，m，Du（x））+^RnmH（ξ，m，Du（ξ））（x）m（ξ）dξdt+β^RnU（x，m，t）m（ξ）Dm（ξ）dξdb（t）u（x，t）=h（x，m）+^Rnh（ξ，m）m（x）m（ξ）dξ。（3.14）LetB（x，t）=^RnU（x，m，t）m（ξ）Dm（ξ）dξ，（3.15）我们可以将（3.13），（3.14）重写如下，通过注意u的I^o校正项，它涉及u w对m的二阶导数，-tu+（Au-βu） dt+βdivB（x，t）dt=H（x，m，Du（x））+^RnmH（ξ，m，Du（ξ））（x）m（ξ）dξdt+βB（x，t）db（t）u（x，t）=h（x，m）+^Rnh（ξ，m）m（x）m（ξ）dξ。tm+（A*m级-βm+d iv（G（x，m，Du）m））dt+βDmdb（t）=0m（x，0）=m（x）。（3.16）由于u的方程是一个后向随机偏微分方程（BSPDE），因此解由一对（u（x，t），B（x，t））表示，该对适用于过滤Bt.3.5。通过变量演算获得随机HJB-FP方程系统在本节中，我们将检查系统（3.16）是否也可以通过变量演算技术获得，而无需参考主方程。这类似于确定性情况下的方法，请参见【1】。我们回到公式（3.5），（3.6）。设^v（x，t）为最佳反馈（这是一个适应Bt的随机场）。