随机网格法在CVA有效逼近中的应用

设Y（t）=g（t，X（t，X*)), 0.5 t 5 t.LetLt=t+V+dXi=1Vi。根据It^o公式，Y（t）’m（m（t））=Y（s）’m（m（s））+ZtsY（r）Иm（r））dM（r）+ZtsY（r）Иm（m（r））dhMi（r）+Zts’Иm（r））dY（r）+ZtsdhY，’m（m）i（r。注意，M（t）=M（s）+dXj=1ZtsVj（PT-rF）（X（r，X*))dBj（r），hMi（t）=hMi（s）+dXj=1Zts（Vj（PT-rF）（X（r，X*)))dr，Y（t）=Y（s）+dXj=1Zts（Vjg）（X（r，X*))dBj（r）+Zts（Ltg）（X（r，X*))dr，andhY，(R)m（m）i（t）=hY，(R)m（m）i（s）+dXj=1Zts（Vjg）（X（r，X*))（Vj（PT-rF））（X（r，X*))dr.So我们有eu[| Y（t）(R)m（t））- Y（s）(R)m（m（s））|]=dXj=1ZtsEu[| Y（r）Дm（（PT-rF）（X（r，X*))) （Vj（PT-rF）（X（r，X*)))|]dr+ZtsEu[|um（m（r））（Ltg）（X（r，X*))|]dr+dXj=1ZtsEu[|（Vjg）（Vj（PT-rF））（X（r，X*))|]dr.现在，根据Дmand g的定义，我们得到了，ZtsEu[|μm（m（r））（Ltg）（X（r，X*))|]dr 5ZtsEu[| M（r）|]1/2Eu[|（Ltg）（X（r，X*))|]1/2月5日支持∈[0，T]Eu[|（Ltg）（X（r，X*))|]1/2ZtsEu[| M（r）|]1/2dr。根据伯克霍尔德不等式，ZtsEu[| M（r）|]1/2dr 5 Eu[hMit]1/2（t- s） 5 supr∈（s，t）kVj（PT-rF）k∞（t- s） 。另一方面，我们有，dXj=1ZtsEu[|（Vjg）（X（r，X*))（Vj（PT-rF））（X（r，X*))|]dr5 kVj（PT-rF）k∞dXj=1ZtsEu[|（Vjg）（X（r，X*))|]drdXj=1supr∈（s，t）kVj（PT-rF）k∞（t- s） ，对于任何F∈ C∞b（RN）和任何0<s<t<t。另一方面，μm（（PT-rF）（x*)) （Vj（PT-rF）（x*))= （Vj（Иmo （PT-rF））（x*) （Vj（PT-rF））（x*)= Vj（μmo （PT-rF）（x*)Vj（PT-rF）（x*)) - ^1mo （PT-rF）（x*)Vj（PT-rF）（x*).注意，μm=0，我们有eu[| Y（r）μm（（PT-rF）（X（r，X*))) （Vj（PT-rF）（X（r，X*)))|]= Eu[| Y（r）|Иm（（PT-rF）（X（r，X*))) （Vj（PT-rF）（X（r，X*)))]= I1，j（r，f）- I2，j（r，f），其中i1，j（r，f）=Eu[| g（r，X（r，X*))|Vj（μmo （PT-rF）Vj（PT-rF））（X（r，X*))],I2，j（r，F）=Eu[| g（r，X（r，X*))|^1mo （PT-rF）（X（r，X*))Vj（PT-rF）（X（r，X*))].设Φg（r，x）=g（r，x（r，x*))|. 然后通过引理6，Φg∈ 数据处理设Φg，i（r，x），i=1，由引理5的公式确定。

那么我们有i1，j（r，F）=r-1/2Eu[Φg，j（r，x）umo （PT-rF）（X（r，X*))Vj（PT-rF）（X（r，X*))],和支持∈[0，T]，x∈RNEu[|Φg，i（t，x）| p]<∞.然后存在一个常数C>0，使得| I1，j（r，F）| 5 Cr-1/2kVj（PT-rF）k∞.我们还有| I2，j（r，F）| 5 CEu[| g（r，X（r，X*))|]kVj（PT-rF）k∞,对于任何F∈ C∞b（RN）和任何0<r<T。让向量场Vjbe表示为Vj=PNi=1vij（x）xi然后我们有vj（PT-rF）（x）=NXi=1NXk=1vij（x）（TΦk，i（T- r）Fxi）（x），其中Φk，i（t，x）=Xk（t，x）xind（TΦk，i（T）F）（x）=Eu[Φk，i（T，x）F（x（T，x））]。此外，我们有VJ（PT-rF）（x）=NXi=1NXk=1（Vjvij（x）（TΦk，i（T- r）Fxi）（x）+vij（x）（VjTΦk，i（T- r）Fxi）（x））。然后根据[7]的推论9，由于Φk，i∈ k存在一个常数C>0，这样kvj（PT-rF）k∞5 CkF k∞,andkVj（PT-rF）k∞5 C（T- r）-1/2公里F k∞,对于任何F∈ C∞b（RN），j=1，d、 和任何0<r<T。所以我们有e[| g（t，X）（t，X*)) ^1m（（磅-tF）（X（t，X）））- g（s，X）（s，X*)) ^1m（（磅-sF）（X（s，X）））|]5 CkF k∞Zts（r-1/2+（T- r）-1/2）dr.Letting m→ ∞, 我们有自己的主张。推论8让T>0。存在一个常数C>0，使得e[| g（t，X（t，X*))（PT-tF）（X（t，X*)) ∨ 0- g（s，X）（s，X*))（PT-sF）（X（s，X*)) ∨ 0 |]5 CkF kLipZts（r-1/2+（T- r）-1/2）dr，适用于任何F∈ Lip（RN）和任何0<s<t<t。证据对于F∈ Lip（RN），存在Fm∈ C∞b（RN），m=1，2，···，这样kFmk 5kF kLipand Fm（x）→ F（x），对于任何x∈ 注册护士。所以我们从引理7得到了结果。引理9设m=1，M、 T>0。存在一个常数C>0，使得Eu[| g（t，X（t，X*))（P（m）T-th）（X（m）（t，~X*m） （）- h（￠X（m）（t，￠X*m） ）|]5C（k香港∞+ k香港∞)（T- t） ，（15）andEu[| g（t，X（t，X））（P（m）t-t（h∨ 0））（￠X（m）（t，￠X*m） （）- （h）∨ 0）（￠X（m）（t，￠X*m） ）|]5C（k香港∞+ k香港∞)（T- t） 。（16） 对于任何h∈ C∞b（RNm），t∈ [0，T）。证明。（15）遵循It^o的公式。因此，我们显示（16）。设(R)k，k=1，…，如（14）所定义。

设▄Lm=▄V（m）+dXi=1（▄V（m）i）。根据It^o的公式(R)k（h（|X（m）（T，|X*m） （）- (R)К（h（￠X（m）（t，￠X*m） ）=ZTtДk（h（X（m）（s，X*m） ）（▄V（m）ih）（▄X（m）（s，▄X*m） ）dBm，i（s）+ZTtДk（h（￠X（m）（s，￠X*m） ）（▄Lmh）（▄X（m）（s，▄X*m） ）ds+ZTtДk（h（￠X（m）（s，￠X*m） ）～dmXi=1（～V（m）ih）（～X（m）（s，～X*m） ）因此，我们有eu[(R)k（h（￠X（m）（T，￠X*m） ）| F（m）t]- (R)К（h（￠X（m）（t，￠X*m） ）=ZTtEu[Дk（h（～X（m）（s，～X*m） ）（▄Lmh）（▄X（m）（s，▄X*m） ）| F（m）t]ds+dmXi=1ZTtE[Дk（h（X（m）（s，X*m） ）（（V（m）ih）（~X（m）（s，~X*m） ））|F（m）t]ds注意，φk=0，那么我们有e[| g（t，X（t，X*))Eu[(R)k（h（X（m）（T，X*m） ）| F（m）t]- (R)К（h（￠X（m）（t，￠X*m） ）|]5 E[| g（t，X（t，X*))|]kLmhk∞（T- t） +~dmXi=1ZTtE[| g（t，X（t，X*))|^1k（h（X（m）（s，X*m） ）（▄V（m）ih（▄X（m）（s，▄X*m） ））]ds。另一方面，我们有νk（h（≈x*m） ）（▄V（m）ih（▄x*m） ）=V（m）i（Дko h） （▄x*m）V（m）ih（▄x*m） =▄V（m）i（^1ko h） （▄x*m） V（m）ih（▄x*m）- （^1ko h） （▄x*m） （▄V（m）i）h（▄x*m） 。设Φg（t，x）=g（t，x（t，x*))| 和Φg，i（t，x），i=1，N由表5的公式定义。然后得出keu[Φg（t，x）~V（m）i（^1ko h（￠X（m）（s，￠X*m） ）））~V（m）ih（~X（m）（s，~X*m） ））]k∞5厘米-1/2Eu[|Φg，1（t，x）|]k（Дko h） V（m）ihk∞5厘米-1/2千伏（米）ihk∞,和keu[Φg（t，x）（φko h） （▄X（m）（s，▄X*m） ）（▄V（m）i）h（▄X（m）（s，▄X*m） ）]k∞5 Ck（~V（m）i）hk∞.所以我们有▄dmXi=1ZTtE[g（t，X（t，X）]k（h（▄X（m）（s，▄X*m） ）（▄V（m）ih（▄X（m）（s，▄X*m） ））]dsZTtC（k香港∞+ k香港∞)（1+s-1/2）ds5 C（k香港∞+ k香港∞)（T- t） （1+（T1/2+T1/2）-1).让k→ ∞, 我们有这个断言。推论10设m=1，M、 T>0和F∈ M（RNm）。存在大于0的常数，使得eu[| g（t，X（t，X*))（P（m）T-tF）（πmX（t，x*)) - F（πmX（t，x*))|] 5 C（T-t） ，（17）对于任何t∈ [0，T）.证明.注意πmX（T，x）=x（m）（T，x*m） 引理9对h有效∈^D（RNm）。另一方面，对于F∈ M（RNm），我们有f=KFXk=1ak（fk）的表达式∨ gk）=KFXk=1ak（（fk- gk）∨ 0+gk），ak∈ R、 fk，gk∈^D（RNm），k=1，KF。

所以我们的断言来自引理9.4离散化let c,  ∈ π，由C给出=n-1Xi=0（ti+1- ti）Eu[g（ti，X（ti，X*)){MXm=1KXk；Tk=ti+1（P（m）Tk-tiFm，k）（πmX（ti，x*)))} ∨ 0].设i（k），k=1，K、 使Tk=ti（K）。那么我们有c如下所示。c=KXk=1i（k）-1Xi=i（k-1） （ti+1- ti）Eu[g（ti，X（ti，X*)){MXm=1KXk=k（P（m）Tk-tiFm，k）（πmX（ti，x*))} ∨ 0]让F(∞)t、 t=0，是F的次σ-代数，由F给出(∞)t=σ{X`（s）；s∈ [0，t]，`=1，2，…}。命题11存在一个常数C>0，这样| C- c| 5摄氏度||,  ∈ Π.证据设Fk（x）=MXm=1KXk=k（P（m）Tk-TkFm，k）（πmx），k=1，K、 然后通过引理7，有一个常数C>0，这样| C- c|KXk=1i（k）-1Xi=i（k-1） Zti+1ti | Eu[g（t，X（t，X*))（PTk-tFk）（X（t，X*)) ∨ 0]-Eu[g（ti，X（ti，X*))（PTk-tiFk）（X（ti，X*)) ∨ 0]| dt5CKXk=1i（k）-1Xi=i（k-1） Zti+1tidtZtti（r-1/2+（Tk- r）-1/2）dr5C||KXk=1i（k）-1Xi=i（k-1） Zti+1ti（r-1/2+（Tk- r）-1/2）dr.So我们有| c- c| 5摄氏度||KXk=1ZTkTk-1（右-1/2+（Tk- r）-1/2）So博士的断言如下。5随机网格算子的性质为了估计随机网格算子，我们使用[9]的命题8得到的传递核p（m）（t，~xm，x）的以下估计。命题12设δ（m）为δ（m）=（3Nm（supx∈R▄NmdXi=1▄V（m）i（x）▄）-1，则对于任何T>0且m=1，M、 有一个C>0，使得P（M）（t，x，y）5 Ct-（▄纳米+1）`/2hm（x）-2（▄Nm+1）`exp(-2δ（m）t | y-x |），t∈ （0，T），x，y∈ Em、andp（m）（t、x、y）5 Ct-（~Nm+1）`/2hm（y）-2（▄Nm+1）`exp(-2δ（m）t | y-x |），t∈ （0，T），x，y∈ Em.特别是，对于任何T>0，m=1，M、 q=1，有一个C>0，使得P（M）（t，x，y）5 Ct-（▄纳米+1）`/2hm（x）-2（~Nm+1）`（1+| x |）q（1+| y |）-q、 t型∈ （0，T），x，y∈ Em.Letν（m）t（dx）=p（m）（t，~x*m、 x）dx。根据[9]的第13、21和15（1）号提案，我们有以下内容。命题13设t>0，f∈ L（Em；dν（m）t）和t>s=0。

那么我们有ep[（Q（m，L，ω）s，tf）（x）| F(∞)s] =（P（m）s，tf（x），ν（m）s- a、 e.x公司∈ Em.andEP[|（Q（m，L，ω）s，tf）（x）- （P（m）s，tf）（x）| | F(∞)s] 5LZEmp（m）（t- s、 x，y）| f（y）| q（m，L，ω）s，t（y）dy.命题14 Letδ∈ （0，1）则存在一个C>0，使得llx`=1EP[（Q（m）t，Tk，εf）（πm（X`（t）））- （P（m）t，Tkf）（πm（X`（t））|]！1/25 CL-(1-δ） /2（塔卡- t）-（1+δ）（~N+1）`/4（ZEmf（y）（1+| y |）-Nmdy）1/2。对于任意ε>0，任意m=1，M、 和任何f∈ 边缘（RNm）。命题15 LetZ（m，k）L（t；δ）=supy∈RNm | q（m，L，ω）t，Tk（y）- p（m）（Tk，~x*, y） |（L-1/(1-δ） +p（m）（Tk，~x*, y） ）（1-δ） /2，~Z（m，k）L（t；δ）=sups∈[0，t]Z（m，k）L（s；δ）。那么我们有以下内容。（1） 对于任何δ∈ （0，1），且p>1，存在Cp，δ>0，使得Ep[（L（1-δ） /2Z（m，k）L（Tk- ε; δ） ）p]1/p5 Cp，Δε-5\'L-pδ/2+1/p对于任何ε∈ （0，Tk），k=1，…，k，L=1。（2）设δ∈ （0，1），t∈ （0，Tk）和ε∈ （0，T）。如果L（1-δ） /2▄Z（m，k）L（t；δ）5 1/4，p（m）（Tk，x，y）=L-(1-δ） ，thenq（m，L，ω）t，Tk（y）p（m）（Tk，~x*, y） 5 2，对于任何t∈ （0，Tk- ε] ，k=1，K、 L=1。现在我们介绍以下集合和函数。设B（m，k）（t，δ，L）∈ F、 ^1m，k，L，m=1，M、 k=1，K、 由b（m，K）（t，δ，L）={ω∈ Ohm; L（1-δ） /2￠Z（m，k）L（t；δ）5 1/4}，且Дm，k，L（y）=1{y∈相对长度单位；p（m）（Tk，x，y）>L-(1-δ)}.设d（m，k）i，ε，L:[0，T]×E×Ohm → [0, ∞), i=1，2，3，是由d（m，k）1，ε，L（t，x）=|（Q（m，L，ω）t，Tk，ε（1）给出的可测函数- νm，k，L）Fm，k）（πm（x））- （P（m）Tk-t（1- νm，k，L）Fm，k）（πm（x））| 1[0，Tk-ε） （t），d（m，k）2，ε，L（t，x）=1B（m，k）（Tk-ε、 δ，L）|（Q（m，L，ω）t，Tk，εИkFm，k）（πm（x））- （P（m）Tk-tИm，k，LFm，k）（πm（x））| 1[0，Tk-ε） （t），d（m，k）3，ε，L（t，x）=|（Q（m，L，ω）t，Tk，εFm，k）（πm（x））- （P（m）Tk-tFm，k）（πm（x））| 1[Tk-ε、 Tk）（t）=Fm，k（πm（X）（Tk，X*))) - （P（m）Tk-tFm，k）（πm（x））| 1[Tk-ε、 设p（t，x，dy）为x（t，x）的转移核。命题16 Letδ∈ (0, 1).

然后存在一个常数C>0，使得zeep[d（m，k）1，ε，L（t，x）]| g（t，x）| p（t，x*, dx）5 CL-(1-δ） [0，Tk-ε） （t），（18）（ZEmEP[d（m，k）2，ε，L（t，x）]p（t，x*, dx）1/25CL-(1-δ） /2（塔卡- t）-（1+δ）（~N+1）`/4[0，Tk-ε） （t），（19）和zemd（m，k）3，ε，L（t，x）| g（t，x）| p（t，x*, dx）5 C（Tk- t） 1[塔克-ε、 Tk）（t）。（20） 对于任何ε∈ （0，ε），t∈ （0，Tk），L=1，m=1，…，m，k=1，…，k。证明。等式（20）来自引理9。所以我们将显示（18）和（19）。注意，ift=Tk-ε、 两侧为0 in（18）和（19）。因此，我们将考虑t<Tk的情况-ε. 通过命题13，我们得到了zeep[d（m，k）1，ε，L（t，πm（x））]g（t，x）| p（t，x*, dx）=ZEEP[|（Q（m）t，Tk，ε（1- ^1m，k，L）Fm，k）（x）- （P（m）Tk-t（1- νm，k，L）Fm，k）（πm（x））|]| g（t，x）| p（t，x）*, dx）ZE（EP[（Q（m）t，Tk，ε|（1- νm，k，L）Fm，k |）（πm（x））]+（P（m）Tk-t |（1- νm，k，L）Fm，k |）（πm（x）））| g（t，x）| p（t，x）*, dx）ZE（P（m）Tk-t（1- Иm，k，L）| Fm，k |）（πm（x））g（t，x）p（t，x*, dx）。对p=δ，q=1使用H¨older不等式-δ、 ZE（P（m）Tk-t（1- Дm，k，L）| Fm，k |）（πm（x））| g（t，x）| p（t，x*, dx）5{ZE（P（m）Tk-t（1- Дm，k，L）| Fm，k |）（πm（x））1/（1-δ） p（t，x*, dx）}1-δ×{ZE | g（t，x）| 1/δp（t，x*, dx）}δ5{ZEm（1）- ^1m，k，L（ym））1/（1-δ） | Fm，k（~ym）| 1/（1）-δ） p（m）（Tk，πm（x*), ~ym）d ~ym}1-δ×{ZE | g（t，x）| 1/δp（t，x*, dx）}δ5 L-(1-δ） {ZEm | Fm，k（πm（y））| 1/（1）-δ） p（m）（Tk，πm（x*), ym）δd▄ym}1-δ×{ZE | g（t，x）| 1/δp（t，x*, dx）}δ。我们使用了（1- ^1m，k，L（ym））1/（1-δ） p（m）（Tk，πm（x*), ym）（1-δ） 5升-(1-δ） 在最后一个不等式中。我们有等式（18）。接下来我们将展示等式（19）。注意到从B（m，k）（Tk-ε、 δ，L） B（m，k）（t，δ，L），t∈[0，Tk- ε） ，k=1，K、 L=1，d（m，K）2，ε，L（t，x）5 1B（m，K）（t，δ，L）|（Q（m）t，Tk，ενm，K，LFm，K）（πm（x））- （P（m）Tk-tхm，k，LFm，k）（πm（x））|。自位置15起，1B（m，k）（t，δ，L）q（m，L，ω）t，Tk（￠ym）-15 2p（m）（Tk，πm（x*), ym）-1.

根据命题13，我们有b（m，k）（t，δ，L）EP[|（Q（m）t，Tk，εИm，k，LFm，k）（~xm）- （P（m）Tk-tДm，k，LFm，k）（xm）| Ft]B（m，k）（t，δ，L）LZEm |Иm，k，LFm，k（ym）| p（m）（Tk- t、 ~xm，~ym）q（m，L，ω）t，Tk（~ym）d▄ymLZEm▄m，k，LFm，k（~ym）▄p（m）（Tk，πm（x*), ym）p（m）（Tk- t、 那么我们有（ZEEP[d（m，k）2，ε，L（t，x）]p（t，x*, dx）1/25（ZEEP[1B（m，k）（t，δ，L）EP[|（Q（m）t，Tk，εИm，k，LFm，k）（x）- （P（m）Tk-tИm，k，LFm，k）（x）| | Ft]]p（t，x*, dx）1/25（LZEm |Иm，k，LFm，k（y）| p（m）（Tk，πm（x*), ym）（ZEp（m）（Tk- t、 ~xm，~ym）（1-δ） +（1+δ）p（t，x*, dx）d？ym）1/25（LZEm |Иm，k，LFm，k（y）| p（m）（Tk，πm（x*), ym）δ（ZEmp（m）（t，πm（x*), xm）p（m）（Tk- t、 ~xm，~ym）（1+δ）/δdxm）δdym）1/2。设q=~N。从引理12，存在一个常数C>0，使得p（m）（Tk- t、 xm，▄ym）5 C（Tk- t）-（▄Nm+1）`/2hm（▄xm）-（▄Nm+1）`（1+▄▄xm▄）q（1+▄▄▄ym▄）-q、 我们设置CasC=supt∈[0，T]最大值=1，。。。，M、 k=1，。。。，K（泽姆（x）-（▄Nm+1）`（1+δ）/δ（1+x |）q（1+δ）/δp（m）（t，▄x*m、 x）dx）δ/2×（ZE | g（t，x）| dx）1/2。Cis以[9]的命题3为界。然后，由于φm，k，L（y）p（m）（Tk，~x*m、 y）-δ5 Lδ，wehaveZEEP[d（m，k）2，ε，L（t，x）]1/2 | g（t，x）| p（t，x*, dx）CLZEmp（m）（Tk，~x*m、 ym）-δ|Иm，k，LFm，k（ym）|（1+| ym |）-q（1+δ）dym（Tk- t）-（1+δ）（N+1）`/2,5CL-(1-δ） （塔卡- t）-（1+δ）（~Nm+1）l/2ZEm | Fm，k（~ym）|（1+| | ym |）-q（1+δ）d▄ym。由于q=~N，且Fm，kis-Lipschitz连续，ZRNm | Fm，k（~ym）|（1+~ym |）-q（1+δ）d▄ym<∞.所以我们有了这个断言。设a，b，α，β=0，和ai，bi，αi，βi=0，i=1，2。设φ（k）（t，ε；a，α，b，β）和^e（ε，γ），t∈[0，Tk）beφ（k）（t，ε；a，α，b，β）=a（Tk- t）-α[0，Tk-ε） （t）+b（Tk- t） β[Tk-ε、 Tk）（t），^e（ε，γ）=ε-(γ-1） ），γ>1，对数ε，γ=1,1，0 5γ<1。命题17存在一个常数C>0，使得n-1Xi=0（ti+1- ti）Xk；Tk=ti+1φ（k）（ti，ε；a，α，b，β）5 C（a^e（ε，α）+bεβ+1），（21）和，n-1Xi=0（ti+1- ti）（Xk；Tk=ti+1φ（k）（ti，ε；a，α，b，β））（Xk；Tk=ti+1φ（k）（ti，ε；a，α，b，β））5Caa^e（ε，α+α）+abεβ2+1+abεβ+1+bbεβ+β2+1（22）对于任何ε>0。证据假设i（k）为ti（k）=Tk，k=1，K

如果ti∈ [Tk-1，Tk]和k>k然后Tk- ti>ε。所以请注意，[Tk-ε、 Tk）（ti）=0，对于i（k-1） 5 i 5 i（k）- 1，k>k.（23）所以我们没有-1Xi=0（ti+1- ti）Xk；Tk=ti+1φ（k）（ti，ε；a，α，b，β）=KXk=1i（k）-1Xi=i（k-1） （ti+1- ti）KXk=kφ（k）（ti，ε；a，α，b，β）=KXk=1i（k）-1Xi=i（k-1） （ti+1- ti）KXk=ka（Tk- ti）-α[0，Tk-ε） （ti）+b（Tk- ti）β[Tk-ε、 Tk）（ti）KXk=1KXk=kZTk-εTk-1a（Tk- t）-αdt+i（k）-1Xi=i（k-1） b1[塔克-ε、 Tk）（ti）（ti+1- ti）（Tk- ti）β,因为（Tk- ti）-α5（Tk- t）-α表示ti5 t 5 ti+1。另一方面，KXk=1KXk=kZTk-εTk-1（Tk- t）-αdt 5 K^e（ε，α），kxk=1i（K）-1Xi=i（k-1） [Tk-ε、 Tk）（ti）（ti+1- ti）（Tk- ti）5 Kε，所以我们有方程（21）。接下来，我们展示等式（22）。n-1Xi=0（ti+1- ti）（Xk；Tk=ti+1φ（k）（ti，ε；a，α，b，β））（Xk；Tk=ti+1φ（k）（ti，ε；a，α，b，β））KXk=1i（k）-1Xi=i（k-1） （ti+1- ti）Xj=1I（k）i，j，其中i（k）i，1=KXk，k=kaa（Tk- ti）-α（Tk- ti）-α[0，Tk-ε） （ti）1[0，Tk-ε） （ti），I（k）I，2=KXk，k=kab（Tk- ti）-α（Tk- ti）β[0，Tk-ε） （ti）1[Tk-ε、 Tk）（ti），I（k）I，3=KXk，k=kab（Tk- ti）-α（Tk- ti）β[0，Tk-ε） （ti）1[Tk-ε、 Tk）（ti），I（k）I，4=KXk，k=kbb（Tk- ti）β（Tk- ti）β[Tk-ε、 Tk）（ti）1[Tk-ε、 Tk）（ti）。注意，（23）和[0，Tk-ε） （ti）1[Tk-ε、 Tk）（ti）=（0，k5 k[Tk-ε、 Tk）（ti），k>k，我们有∈ {i（k-1), . . .

，i（k）-1} ，I（k）I，2=KXk=k+1ab（Tk- ti）-α（Tk- ti）β[Tk-ε、 Tk）（ti）5 K（Tk+1- Tk）-αab（Tk- ti）β[Tk-ε、 Tk）（ti）。我们有以下类似的内容。n-1Xi=0（ti+1- ti）I（k）I，15 aaKXk，k=kZti（k）-1.∧（塔卡∧Tk公司-ε） ti（k-1)∧（塔卡∧Tk公司-ε） （塔卡∧ Tk公司- t）-（α+α）dt，n-1Xi=0（ti+1- ti）I（k）I，25 Cabεβ+1，n-1Xi=0（ti+1- ti）I（k）I，35 Cabεβ+1，n-1Xi=0（ti+1- ti）I（k）I，45 bbεβ+β+1。所以我们得到（22）。定理1和定理2的证明定理18存在一个常数C>0，使得EP[|^C（εL，, L）- c|] 5摄氏度L-(1-δ） /2^eε、 （1+δ）（~N+1）`/4+ ε, L=1。证据EP[|^c（εL，, L）- c|]LLX`=1n-1Xi=0（ti+1- ti）MXm=1Xk：Tk=ti+1 | EP[g（ti，X（ti，X））（（Q（m，L，ω）ti，Tk，εFm，k）（πk（X`（ti））- （P（k）Tk-tiFm，k）（πk（X`（ti）））]|。然后通过Schwartz不等式，LLX`=1 | EP[g（ti，X（ti，X））（Q（m，L，ω）ti，Tk，εFm，k）（πk（X`（ti））- （P（k）Tk-tiFm，k）（πk（X`（ti））]| LLX`=1EP[| g（ti，X（ti，X））| |（Q（m，L，ω）ti，Tk，εFm，k）（πk（X`（t））- （P（k）Tk-tiFm，k）（πk（X`（t））| 1[0，Tk-ε） ]+C（Tk- t） 1[塔克-ε、 Tk）LLX`=1EP[|（Q（m，L，ω）ti，Tk，εFm，k）（πk（X`（t））- （P（k）Tk-tiFm，k）（πk（X`（t））|]！1/2[0，Tk-ε） ×E[g（ti，X（ti，X））]1/2+C（Tk- t） 1[塔克-ε、 Tk）根据命题14EP[|^c（εL，, L）- c|]5中国大陆-1Xi=0（ti+1- ti）Xk：Tk=ti+1φ（k）（ti，ε；L-(1-δ） /2，（1+δ）（~N+1）`/4，1，1）。根据命题17，我们得到了断言。引理19 Let a，b∈ R和c，θ>0。然后我们有c | a | 1{b=0}- 1{a=0}| 5 c | b- a | 1{| b-a |=θ}+cθ1{| a |<θ}证明。如果| a |>a- b |，然后{b=0}- 1{a=0}=0。所以我们看到| a |（| 1{b=0}- 1{a=0}| 5 | a | 1{| a | 5 | a-b |}5 | a- b | 1{| a-b |=θ}+| a | 1{| a |<θ}。定理20 Letδ∈ （0，1），p＞1。假设有γ∈ （0，1）和Cγ>0，以使SUPn-1Xi=0（ti+1- ti）u（| MXm=1Xk：Tk=ti+1（P（m）Tk-tiFm，k）（πmX（ti，x*)))| 5θ）5 Cγθγ，θ∈ (0, 1).然后存在一个常数C>0，~Ohm（L，ε）∈ F、 这样的话Ohm（L，ε）c）5 cL-(1-δ)/2L-(1-δ） /2^eε, (1 - δ） （▄N+1）`/2+ ε3(1-δ)/2δ(1+γ)2+γ!,和▄Ohm（L，ε）|^c（εL，, L）- c|5摄氏度L-(1-δ)/2L-(1-δ） /2^eε, (1 - δ） （▄N+1）`/2+ ε3(1-δ)/2(1-δ） （1+γ）2+γ，对于L=1。证据

在这个证明中，我们表示X（t，X*) X（t）为简单起见。