线性信用风险模型

然而，对于合理的参数值，当默认强度小于平均回复水平λ<`时，漂移函数看起来相似。另一方面，在大型强子对撞机模型中，当λ>`时，向`漂移的力较小且呈凹形。对于a ffine模型，扩散函数是严格递增和凹形的，而在LHC模型中，扩散函数是凹半椭圆形状。扩散函数在[0，γ/2]上具有相同的形状，但在参数σ中通常不具有等效的比例。注意，参数γ总是可以设置得非常大，因此λ超过γ/2的可能性可以任意小。3.2期权价格近似我们在第2.5节和第2.6节中看到，CDS期权、CDIS期权或UCVA的定价归结为计算形式为Φ（f；t，tM）=E[f（YtM，XtM）| Ft]的Ft条件期望，对于E上的某些连续函数f（y，x）。我们现在展示如何通过f（y，x）的多项式近似来近似Φ（f；t，tM）包含形式。下文介绍的方法适用于任何线性信用风险模型，该模型具有紧凑的状态空间E，并且可计算（YtM，XtM）的Ft条件矩。为此，我们首先回顾t的Ft条件矩（YtM，XtM）是如何≤ 可按照（Filipovi\'c和Larsson 2016）中所述的封闭形式获取。用Poln（E）表示E上n次或以下的多项式集p（y，x）。很容易看出，（Y，X），Gf（Y，X）的发生器=- γ> x（βy+Bx）>f（y，x）（31）+mXi=1f（y，x）xiσixi（y- xi），（32）是多项式，即gpoln（E） Poln（E）表示任意n∈ N、 让Nn=n+1+mn表示Poln（E）的维数，并用多项式基{h，…，hNn}表示Poln（E）。我们定义了（y，x）Hn（y，x）=（h（y，x），hNn（y，x））>值以RNn为单位。

对于这个多项式基，G | Poln（E）存在一个唯一的矩阵表示，使得对于任何p∈ Poln（E）我们可以将p（y，x）=Hn（y，x）>Gnp表示p的坐标。这意味着力矩公式[p（YtM，XtM）| Ft]=Hn（Yt，Xt）>eGn（tM-t） ~p（33）表示任何t≤ tMwe有，见（Filipovi\'c和Larsson 2016，定理（3.1））。备注3.4 Poln（E）的基Hn（y，x）的选择是任意的，可以简单地考虑单项式基Hn（y，x）={1，y，x，…，xm，y，yx，x，…，xnm}，其中Gnis是块对角的。有一些有效的算法可以计算矩阵指数gn（tM-t） ，参见示例（Higham 2008）。注意，只需要矩阵指数的作用，即eGn（tM-t） ~p换一些p∈ Poln（E），也存在特定算法，请参见示例（Al Mohy和Higham 2011）和（Sidje 1998）以及其中的参考文献。现在让我们 > 根据Stone Weierstrass近似定理（Rudin 1974，定理5.8），存在多项式p∈ Poln（E）对于某些n，例如sup（y，x）∈E | f（y，x）- p（y，x）|≤ . （34）结合（33）和（34），我们得到Φ（f；t，t）的期望近似值。定理3.5设p∈ Poln（E）如（34）所示。然后Φ（f；t，tM）由SUPT一致逼近≤tM公司Φ（f；t，tM）- Hn（Yt，Xt）>eGn（tM-t） ~pL∞≤ . （35）（34）中的近似多项式p需要逐案找到。我们在第4.2节为CDS期权和第4.3节为同质投资组合上的CDIS期权说明了这一点。备注3.6在状态空间的严格子集上近似Payoff函数f（y，x），足以近似期权价格。事实上，任何时候t≤ u≤ 这是一个过程≤u≤赌注价值（y，x）∈ E：Yt≥ y≥ e-γ> 1（s）-t） 年初至今 E、 可以预期E的紧致子集上的多项式近似更精确，因此可以产生更精确的价格近似。

有关实现示例，请参见第4.2节。4案例研究我们表明，LHC模型可以再现复杂的期限结构动力学，期权价格可以精确近似，同质投资组合上的衍生品价格也可以类似地计算。首先，我们对CDS数据进行了简化的LHC模型规范，并讨论了估计的参数和因素。然后，我们精确地估计了不同货币条件下CDS期权的价格。最后，对于同质投资组合，我们推导出了CDIS期权支付函数和部分价格的闭式表达式。4.1 CDS校准我们将大型强子对撞机模型校准给一家高产企业庞巴迪公司，以及一家投资级企业沃尔特·迪士尼公司，以表明该模型能够灵活地适应不同的传播水平和动态。我们还提出了一种针对特定toLHC模型的快速过滤和校准方法。数据描述。实证分析基于Markit的复合CDS利差数据，这些数据基本上是主要做市商提供的平均报价。样本开始于2005年1月1日，结束于2015年1月1日。该数据集包含552项每周观察，总计3620项观察到的每家公司的CDS利差。在每个日期，我们都会将可用条款与修改后的重组条款一起纳入到期日为1年、2年、3年、4年、5年、7年和10年的合同中。图3显示了1年期、5年期和10年期CDS利差的时间序列，以及5年期和1年期CDS利差的相对变化。CDSspreads的两项结构表现出其水平、坡度和曲率的重要变化。时间序列可以分为三个时段。次贷危机前的第一个时期，表现出低利差和低波动性。

第二个时期，即次贷危机期间，表现出高度的波动性，短期内的溢价利差飙升。这场危机对高收益企业产生了重大影响，其利差已翻了两番多。第三个周期的特点是连续波动剧烈，波动剧烈。图3还显示，CDS价差变化在各到期日之间具有很强的相关性。汇总统计数据见表1。型号规格。每个生存过程的风险中性动力学由第3节的LHC模型给出，包含两个和三个因素。我们设置γ=γe，对于某些γ≥ 0，并考虑公式dxit=κi（θiX（i+1）t的重叠结构- Xit）dt+σipXit（Yt- Xit）对于i=1，…，dWit（36），m级-1和dxmt=κm（θmYt- Xmt）dt+σmpXmt（Yt- Xmt）dWmt（37），对于某些参数κ、θ、σ∈ Rm+满足θi≤ 1.-γκi（38），对于i=1，m、 我们有βii=-κi，βi，i+i=κiθi，否则βij=0，否则bm=κmθmandbi=0。它直接跟在0后面≤ bi公司-Xj6=iβ-ij={i=m}κmθm={i=m}βm，对于i=1，m0级≥ γi+βii+bi+Xj6=i（γj+βij）+=γ- κi+κiθi=γ+βii+{i6=m}βi，i+1+{i=m}bm。这表明参数条件（24）-（25）是满足的。请注意，（24）-（25）可以归结为标准线性参数约束，用β和b表示。因此，它们可以与高效的优化算法兼容。此规范允许默认强度值在延长的时间段内持续接近零。它还允许节省使用多维模型，因为自由参数的数量等于3m+1，而对于一般的LHC模型，它等于3m+M。然后，默认强度与第一个因子成比例，由λ=γX/Y给出。我们分别用LHCC（2）和LHCC（3）表示二因子和三因子线性超立方体级联模型。

此外，我们估计了一个三因素模型，表示为LHCC（3）*, 其中，参数γ是一个外生固定参数。该参数值是固定的，因此大约与LHCC（3）模型估计的γ一样大。我们估计约束模型，以确定默认强度上界的选择是否对实验结果至关重要。我们将无风险利率设定为样本的平均5年无风险收益率，r=2.52%。我们通常假设回收率等于δ=40%。我们还使用引理2.8有效地计算了CDS利差，其结果如下所示。引理4.1假设r>0，那么矩阵A*= A.- 对于（36）–（37）中定义的级联LHCC模型，如（5）中所示的r Id是可逆的，且γ=γe。备注4.2归一化过程的漂移Z=X/Y允许通过方程组|ut|ut=(-1） m级-i+1mYj=iκjθj？u1tγ- κj，i=1，m（39）如附录A所示。事实上，\'u1t表示i=2，…，的\'uits值，m、 λ漂移的稳定点由γ′u1t给出。过滤和校准。我们提出了一种有效的方法来过滤CDS利差中的因素。我们记得，CDS价差CDS（t，t，tM）是指使CDS合约的初始值等于零的履约价差。因此，我们得到了方程ψcds（t，t，tM，cds（t，t，tM））>Zt公司= 0（40），条件是τ>t，且归一化过程Z=X/Y∈ [0，1]m。因此，理论上，我们可以通过观察至少m个不同到期日的利差来提取Zt值。例如，可以通过应用Euler模式来计算生存过程值，然后重新缩放伪因子Zt，Yti=Yti来推断时间t的因子值（St，Xt-1.- γ> Xti公司-1.t和Xti=所有观测日期的YtiZti（41），且Yt=1。

实际上，可能没有一个值Ztsuchthat（40）可以满足所有观察到的市场利差。因此，我们考虑所有可观测读数并最小化以下加权均方误差minznixk=1ψcds（ti，ti，tkM，cds（ti，ti，tkM））>zψprem（ti，ti，tkM）>Zti公司-1.!s、 t.0≤ zi公司≤ 1，i=1，m（42），其中tM，tNIobserved利差到期日为ti，且ti-1是之前的观察日期。用CDS价格误差除以CDS溢价legvalue的近似值，可以准确地近似出Zti时的CDS价差误差≈ Zti公司-1、上述极小化问题是一个线性约束二次优化问题，可以用数值方法实时求解。对于任何参数集，我们都可以通过递归求解（42）和应用（41）提取每个日期的可观测因子过程。通过参数和因子过程值，我们可以计算模型与市场CDS利差之间的差异。因此，我们通过使用无梯度Nelder-Mead算法和惩罚项来强制参数约束，并从几个随机初始参数集开始，数值搜索使聚合CDS扩展均方根误差（RMSE）最小化的参数集。注意，我们没有校准波动率参数σifor i=1，m因为CDS利差不依赖于线性信用风险模型的鞅分量，而且因子过程可以直接从CDS利差中观察到。此外，我们仅确定CDS利差所隐含的风险中性漂移参数κ和θ。LHCC（2）、LHCC（3）和LHCC（3）的参数总数*因此，模型分别等于5、7和6。

配备快速过滤器和低维参数空间，校准程序快速。备注4.3或者，可以通过执行准最大似然估计或更高级的广义矩估计方法来估计参数。如果风险规格的市场价格保持了因子的多项式性质，那么这可以通过LHC模型直接实现，因为（Y，X）的真实世界条件矩以闭合形式给出，见附录B。条件矩的可用性还可以直接使用无迹卡尔曼滤波器来恢复每个日期的因子值。然而，如果我们只对市场价格感兴趣，这种方法的代价是更多的参数和可能更严格的条件，以及不必要的计算成本。参数、固定息差和因素。表2中报告了已安装的参数。一个重要的观察结果是，（38）中的参数约束对所有拟合模型中的每个维度都有约束力。不同规格的校准参数值相似，令人欣慰，校准的违约强度上限似乎足够大，足以覆盖次贷危机期间观察到的高价差值。从校准中提取的拟合因子用作计算拟合利差的输入。利用固定利差，我们计算每个日期和到期日的固定误差。毫不奇怪，更灵活的规格LHCC（3）表现最好。估计默认强度上限γ而不是设置任意大的值可以改进校准。表3按成熟度报告了错误的汇总统计。LHCC（3）模型的每种自然度的RMSE最小。特别是，其总体RMSE是双因素模型的一半。

LHCC（3）*该模型在复制长期利差方面面临困难，例如，对于两家公司的10年期到期利差，其RMSE是无约束LHCC（3）的两倍。图4显示了固定息差和RMSE时间序列。再次，LHCC（3）似乎随着时间的推移，误差水平最小。另外两个模型在金融危机前的低息差时期和最近的动荡时期表现不佳。总体而言，fittedmodels似乎能较好地再现观察到的CDS价差值。图5显示了估计的因素。它们在不同的规格中非常相似。金融危机期间，违约强度激增，生存过程迅速减少。第m个因子控制长期默认强度级别。第二个因素控制LHCC（3）和LHCC（3）中信用风险期限结构的中期行为*模型。LHCC（2）模型要求违约强度几乎等于零，以捕获样本期结束时期限结构的短期连续性，甚至低于金融危机之前。这似乎与事实相反，说明了LHCC（2）模型在捕捉变化动态方面的局限性。第m个因子访问了其支持度[0，Yt]的下半部分，这三种模型在该区域似乎趋于稳定。4.2 CDS期权定价我们描述了一种准确有效的CDS期权定价方法，该方法基于第3.2节所述的Payoff近似方法，并用数值示例加以说明。

用于数值说明的模型是第3.1节中的单因素LHC模型，具有样式化但实际参数γ=0.25、`=0.05、`=1、σ=0.75、X=0.2和r=0。从第2.5节中，我们知道，履约价差为k的time-t CDS期权价格的形式为VCDSO（t，t，tM，k）={τ>t}E[f（Z（t，tM，k））| Ft]，支付函数为f（Z）=E-r（t-t） z+/Ytand，其中随机变量z（t，tM，k）由z（t，tM，k）=ψcds（t，t，tM，k）>YtXt公司（43）ψcds（t，t，tM，k）如（20）所示。此外，随机变量Z（t，tM，k）取LHC模型的区间值[bmin，bmax]，该区间值由bmin=m+1Xi=1min（0，ψcds（t，t，tM，k）i）和bmax=m+1Xi=1max（0，ψcds（t，t，tM，k）i）给出。现在，我们展示了如何通过截断其FourierLegendre级数来用多项式近似Payoff函数f，然后如何从（Yt，Xt）的条件矩递归计算Z（t，tM，k）的条件矩。设Len（x）表示取值于闭区间[bmin，bmax]的广义勒让德多项式，且由Len（x）=r1+2n2σLen给出x个- uσ式中u=（bmax+bmin）/2，σ=（bmax）- bmin）/2和标准勒让德多项式Len（x）on[-1，1]由en+1（x）=2n+1n+1x Len（x）递归定义-nn+1Len-1（x），其中Le=1，Le（x）=x。广义Legendre多项式在[bmin，bmax]上形成一个完整的正交系统，即任何分段连续函数f（x）的Fourier Legendre级数近似f（n）（x）的均方误差，由f（n）（x）=nXk=0fnLen（x）定义，其中fn=zbmaxinf（x）Len（x）dx，（44）收敛到零，limn→∞Zbmaxbminf（x）- f（n）（x）dx=0。CDS期权支付系数以闭合形式给出，fn={τ>t}e-r（t-t） 因为被积函数是多项式函数。

请注意，（Ackerer、Filipovi'c和Pulido 2018）中采用了类似的方法，对无界区间R采用高斯权重函数。Z（t，tM，k）的Ft条件矩可以从（Yt，Xt）的条件矩递归计算。设π：E 7→ {1，…，Nn}是总阶数小于或等于n的指数集的枚举，即=α ∈ N1+m：1+mXi=1αi≤ n.定义多项式Hπ（α）（s，x）=sαmYi=1xα1+ii，构成Poln（E）的基础。用1表示1的（1+m）维向量，用i坐标等于1的（1+m）维向量表示，否则为零。引理4.4适用于所有n≥ 2我们有[Z（t，tM，k）n | Ft]=Xα>1=ncπ（α）Ehπ（α）（Yt，Xt）英尺其中，系数cπ（α）由cπ（α）=1+mXi=1{αi递归给出-1.≥0}cπ（α-ei）ψcds（t，t，tM，k）i。我们现在报告主要的数值结果。我们取t=1，tM=t+5，三个参考打击扩散k∈ {250、300、350}个基点，表示货币内、货币内和货币外CDS选项。图6中的第一行显示了（44）中多项式阶n的Payoff近似值f（n）（z）∈ {1，5，30}然后罢工蔓延到k∈ {250, 300, 350}. 通过增加阶数n，特别是扭结周围的阶数n，可以自然获得曲棍球杆Payoff函数的更精确近似值。支撑宽度【bmin，bmax】随着走向扩展k的增加而增加，因此，对于资金不足的选项，统一误差界限应该更大。图6第二行证实了这一点，该行显示了误差界（35）作为上述傅立叶-勒让德方法近似阶数n的函数。它还显示了通过切比雪夫多项式插值CDS选项支付函数时的误差范围，详情见附录C。