省一分钱就是赚一分钱：更便宜的零息债券

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英文标题：
《A Penny Saved is a Penny Earned: Less Expensive Zero Coupon Bonds》
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作者：
Alessandro Gnoatto, Martino Grasselli, Eckhard Platen
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this paper we show how to hedge a zero coupon bond with a smaller amount of initial capital than required by the classical risk neutral paradigm, whose (trivial) hedging strategy does not suggest to invest in the risky assets. Long dated zero coupon bonds we derive, invest first primarily in risky securities and when approaching more and more the maturity date they increase also more and more the fraction invested in fixed income. The conventional wisdom of financial planners suggesting investor to invest in risky securities when they are young and mostly in fixed income when they approach retirement, is here made rigorous. The paper provides a strong warning for life insurers, pension fund managers and long term investors to take the possibility of less expensive products seriously to avoid the adverse consequences of the low interest rate regimes that many developed economies face.
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中文摘要：
在本文中，我们展示了如何用比经典风险中性范式所要求的更少的初始资本对零息票债券进行套期保值，其（微不足道的）套期保值策略不建议投资风险资产。我们衍生的长期零息票债券，首先主要投资于风险证券，当到期日越来越近时，它们也会增加投资于固定收益的份额。理财规划师的传统智慧是，建议投资者在年轻时投资高风险证券，在临近退休时主要投资于固定收益证券，这一点在这里变得很严格。该文件向人寿保险公司、养老基金经理和长期投资者发出了强烈警告，他们应认真对待低价产品的可能性，以避免许多发达经济体面临的低利率制度的不利后果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> A_Penny_Saved_is_a_Penny_Earned:_Less_Expensive_Zero_Coupon_Bonds.pdf (777.97 KB)

2022-6-23 15:05:11 上传

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关键词：fixed income Quantitative Conventional Consequences Possibility

省一分钱就是赚一分钱：更便宜的零息债券销售Sandro Gnoatto*Martino Grasselli+Eckhard Platen2018年3月29日摘要在本文中，我们展示了如何用比经典风险中性范式要求的更少的初始资本对冲零息票债券，其（琐碎的）对冲策略不建议投资风险资产。我们衍生的长期零息票债券，首先主要投资于风险证券，当到期日越来越近时，它们在固定收益中的投资比例也越来越大。金融规划师们的传统智慧是，建议投资者在年轻时投资于风险证券，在退休前主要投资于固定收入证券，这一点非常严格。这篇论文为寿险公司、养老基金经理和长期投资者提供了一个强烈的警告，他们应该认真考虑降低产品成本的可能性，以避免许多发达国家面临的低利率制度的不利后果。关键词：外汇、基准法、基准风险最小化、随机波动性、长期证券。JEL分类：C6、C63、G1、G12、G131简介本文旨在提请人们注意一个比经典无套利金融范式下更普遍的建模世界。为了解释新方法并说明第一个重要的后果，本文将展示长期零息票债券的较低定价。根据基准方法，参见Platen和Heath（2010），许多报酬的生产成本可能低于当前理论和实践的建议。财务规划师的直观口头建议是，当投资者年轻时，投资于风险证券，当他/她接近疲劳时，投资于固定收入证券，这一建议非常严格。

我们衍生的长期零息票债券，首先主要投资于风险证券，当到期日越来越近时，它们也会增加投资于固定收益的比例。这些较便宜的零息票债券仅提供了第一个例子，表明新方法在比经典方法更广泛的建模世界中所带来的变化。从历史上看，Long（1990）是第一个观察到可以将风险中性定价公式改写为在真实世界概率测度下进行预期的定价公式的人，并将所谓的num'eraire投资组合（NP）用作num'eraire。基准方法仅假设*维罗纳大学经济系。Via Cantarane 24，37129维罗纳，意大利。给亚历山德罗发电子邮件。gnoatto@univr.it+意大利帕多瓦大学（Universit\'a degli Studi di Padova）和法国巴黎大学金融集团研究中心（ResearchCenter，Finance Group）Leonard de Vinci P^ole Universitaire，Dipartmento di Matematica，92 916 Paris La D'efense，France。电子邮件：grassell@math.unipd.it.2007年，澳大利亚新南威尔士州百老汇POBox 123号悉尼理工大学金融学科组和数学与物理科学学院，以及开普敦大学精算学系。给埃克哈德发电子邮件。platen@uts.edu.au.theNP的存在，不再是限制性很强的经典无套利假设，它等价于等价风险中性概率测度的存在。在这种极为疲弱的情况下，人们仍然可以执行估价和风险管理的所有基本任务。唯一的条件是，NP是长期路径最佳的投资组合，在限定时间内保持不变。显然，当一个模型违反了这一假设时，必然存在一些经济意义重大的套利行为，从而导致NP的候选对象爆炸。

在这种情况下，respectivemodel没有多少理论和实践意义。请注意，当存在有限NP时，市场上可能存在各种形式的经典套利；参见Loewenstein和Willard（2000）和Hestonet al.（2007）等关于泡沫的文献中的各种例子。本文通过关注最活跃的市场之一的货币市场，说明了基准方法与经典方法的差异。我们提出并校准了一个描述外汇（FX）利率向量和相关利率动态的混合模型。我们通过Grasselli（2017）提出的一般转换公式，扩展并统一了De Col et al.（2013）和Baldeaux et al.（2015b）的外汇多因素随机波动率模型。我们开发的最终通用模型允许同时存在多个随机波动性因素，包括平方根（见Heston（1993））和3/2型（见Heston（1997）和Platen（1997））。更明确地说，每个CIR因子的平方根出现在差异项的分子和分母中。根据Baldeaux等人（2015b），我们将该模型称为4/2模型。我们对波动性过程的规定涵盖了从3/2到赫斯顿模型的一大类动力学。这意味着我们可以让市场数据决定我们所考虑的两种随机波动效应的相对重要性。虽然4/2模型可能是一个复杂的选择，但我们将在第3.1小节中说明，它自然会出现，例如在一个简单的赫斯顿环境中，以选择合适的风险溢价。此外，这些CIR因素可以自由组合，以推动随机利率。

因此，该模型适用于长期外汇产品的估值，其中利率风险成为相关风险因素，参见Gnoatto和Grasselli（2014）中的讨论。我们提出的框架具有普遍性，对于适当的参数组合，我们的模型可能不承认某些经济体存在等效的风险中性概率测度。尽管有这一特点，定价和对冲未定权益的问题始终可以在Platen和Heath（2010）更通用的基准方法下解决：现实世界的定价公式（seePlaten和Heath（2010））和对冲的基准风险最小化（见Du和Platen（2016））将是我们用来解决这两个问题的工具。尽管我们的框架非常丰富，但通过基于傅立叶的技术可以有效地解决和实施普通工具的定价，参见Carr和Madan（1999）和Lewis（2001）。由于模型状态变量联合傅里叶变换的精确公式的可用性，可以计算欧洲外汇期权等产品的半解析闭式解，见格拉塞利（2017）。我们通过执行几个校准实验，在vanilla FX期权的真实数据集上测试我们的模型。我们的实证结果是双重的。一方面，我们证实了Baldeaux等人（2015b）关于违反风险中性定价范式的实证结果。这种违规行为的出现可能会随着时间和货币的变化而变化。事实上，我们的多重校准实验似乎表明，在标准风险中性和真实世界定价方法之间的外汇期权交易价格中存在制度转换。这种特性需要一个能够跨越基准方法提供的两种评估原则的建模框架。

另一方面，我们在一个简化但清晰的情况下量化了此类违规行为的影响，即在确定性利率设置下零息票债券的定价和对冲。我们发现，这种影响是显著的，主要是对长期债券，其中基准法的真实世界定价所给出的价格与假定（且被经验拒绝）风险中性范式所提供的价格之间的差异可能非常大（约为20年左右到期的30%）。这一令人惊讶的结果可以解释在财务规划中直观利用的效果，即利用风险证券的额外增长，在长期内积累更多财富，而在到期时几乎没有波动，而不是在整个时期内投资于固定收益，参见Gourinchas和Parker（2002）。降低目标长期薪酬的生产成本的可能性对养老金、人寿保险合同、养老金和许多其他长期合同具有重大的实际意义。本文的结构如下：在第2节中，我们介绍了通用多货币建模框架，并回顾了基准方法中的一些概念。第3节推动并正式介绍了4/2模型，作为CIR过程驱动的随机波动模型的统一框架，如De Col等人（2013年）基于Heston的模型和Baldeaux等人（2015b）基于3/2的模型。4/2模型扩展了赫斯顿模型，并考虑到风险中性范式失败的可能性。第4节展示了4/2模型的分析可跟踪性，这构成了第5节所述有效模型校准的先决条件。

第6节分析了校准的实际结果，我们在不完全市场环境中进行套期保值，而不存在风险中性概率度量。特别是，在缺乏风险中性概率度量的情况下，我们遵循Du和Platen（2016）的基准风险最小化概念。我们展示了如何对长期产品进行套期保值，其成本明显低于经典风险中性范式所允许的成本。2一般设置在本节中，我们介绍了外汇（FX）市场基准方法的一般建模框架。第2.1小节提供了由多维差异过程驱动的一般设置。2.1货币市场规范我们使用上标来表示不同的货币，并使用粗体字母表示向量，下标表示元素。除非有合适的上标，否则所有预期都会考虑现实世界的概率测度P。我们在概率空间上对货币市场进行建模(Ohm, F'T，P），其中'T<∞ 是一个有限的时间范围。在此空间中，我们引入过滤（Ft）0≤t型≤(R)t对信息的演变进行建模，满足通常的假设。上述过滤概率空间支持标准d维P-布朗运动Z={Z（t）=（Z（t），…，Zd（t）），0≤ t型≤\'T}用于建模交易的不确定性。常数N表示模型中的货币数量，而d表示我们采用的交易风险因素数量。在每一个经济体中，我们假设存在一个货币市场账户，即第i个货币市场账户，当以第i种货币单位计价时，根据关系Bi（t）=Bi（t）ri（t）dt，Bi（0）=1，0演变≤ t型≤(R)T；（2.1）使用R值、自适应的第i个短速率过程ri=ri（t），0≤ t型≤\'\'T. 我们用Si，j表示=Si，j（t），0≤ t型≤\'\'T货币i和j之间的连续汇率过程。

这里，Si，j（t）表示一种货币单位i的价格，单位为货币单位j，这意味着，例如，对于i=U SD和j=EU Rand Si，jt=0.92，根据标准FORDOM约定，在时间t时，一美元的价格为0.92欧元。让我们遵循Platen and Heath（2010）和Heath and Platen（2006），并引入一系列primarysecurity帐户流程viaBi，j（t）=Si，j（t）Bj（t），0≤ t型≤对于i 6=j。显然，对于i=j，我们有Bi，i（t）=Bi（t）。我们从上标i引用的通用货币的角度出发，介绍了Bi（t）形式的货币市场账户向量=Bi，1（t）。。。，Bi，N（t）, i=1。。。，N考虑到主要证券账户的这一矢量，投资者可以对其进行交易。这可以通过引入一系列可预测的双可积随机过程δ来表示=δ（t）=（δ（t）。。。，δN（t）），0≤ t型≤\'\'T对于i=1。。。，N、 称为策略。各δj（t）∈ R表示代理在时间t时在第j个主安全帐户中持有的单元数。让我们介绍过程Vi，δ=Vi，δ（t），0≤ t型≤\'\'T, 它描述了与投资组合策略δ相对应的第i种货币面额的价值过程，即Vi，δ（t）=NXj=1δj（t）Bi，j（t）。（2.2）策略δ被称为自我融资ifdVi，δ（t）=NXj=1δj（t）dBi，j（t）。（2.3）根据Platen and Heath（2010），我们对所有投资者承担有限责任。为此，我们引入V+作为形成严格积极投资组合的所有自我融资策略的集合。就我们的目的而言，我们将对一种特定的策略δ？∈ V+，产生增长最优投资组合（GOP），该投资组合可与num'eraire投资组合（NP）等效，定义如下：定义2.1。解决方案δ？关于最大化问题supδ∈V+E日志Vi，δ（T）Vi，δ（0）,对于所有i=1。

、N和0≤ T≤“T”被称为增长最优投资组合策略。Platen和Heath（2010）表明，GOP价值过程在不完全跳跃式差异市场环境中是独特的。我们在以下假设中总结了上述讨论。假设2.1。我们假设存在增长最优投资组合（GOP），并表示byDi=Di（t）∈ (0, +∞), 0≤ t型≤\'\'T, i=1。。。，N以第i种货币计价的GOP价值。GOP的动力学由ddi（t）Di（t）=ri（t）dt+hπi（t），πi（t）dt+dZ（t）i给出，对于t∈ [0，\'T]和i=1。N、 其中N，d∈ N、 可预测Rd值随机过程π的N维族=πi（t）=（πi（t），πid（t）），0≤ t型≤\'\'T代表与第i种货币面额相关的风险市场价格。假设过程π可积于d维标准布朗运动Z。GOP在许多方面都是表现最好的投资组合。特别是，从长远来看，其价值几乎肯定优于任何其他严格正投资组合。在这里，我们假设它在所有货币面额的固定时间内保持不变。如果我们考虑一个共和党在任何一种货币面额上爆炸的模型，那么该模型将允许一种明显的有经济意义的套利形式，因为人们可以在该货币面额上从有限的初始资本中产生无限时间的财富。鉴于GOP的独特性，所有汇率Si，j（t）都可以唯一确定为GOP不同面额各自货币的比率。假设2.2。汇率过程族Si，j=Si，j（t），0≤ t型≤\'\'T由0的比率j（t）=Di（t）Dj（t）（2.5）确定≤ t型≤\'T和i，j=1。

，N.假设2.2，通过直接应用it^o公式，立即计算所有汇率和所有货币面额的所有主要证券账户的动态。引理2.1。真实世界概率测度P下的汇率Si，j（t）根据动态Si，j（t）Si，j（t）=（ri（t）- rj（t））dt+hπi（t）- πj（t），πi（t）dt+dZ（t）i，Si，j（0）=Si，j>0，（2.6）和通用的第j个主要证券账户Bi，j，以第i种货币计价，在现实世界的概率度量P下，根据动态csdbi，j（t）Bi，j（t）=ri（t）dt+hπi（t）演化- πj（t），πi（t）dt+dZ（t）i，Bi，j（0）=Bi，j，（2.7）对于i，j=1，N和t∈ [0，\'T]。2.2基准法在本文件中，我们根据Platen和Heath（2010）的基准法评估或有债权。在这种方法下，以GOP命名的价格过程称为基准价格过程。更准确地说，对于i，j=1。N、 让我们介绍基准价格流程^Bj=^Bj（t）：=Bi，j（t）Di（t），0≤ t型≤\'\'T.我们称^bj为基准的第j个主要安全账户。请注意，^bj并不取决于我们开始使用的货币面额的指数i。给出（2.7）和（2.4），应用It^o公式后，可以立即得出结论，所有基准价格过程都是P-local鞅。更重要的是，它们是非负P-局部鞅。因此，由于Fatou引理，它们也是P-超鞅。类似地，我们也有基准非负投资组合值^Vδ（t）：=Vi，δ（t）/Di（t）形式的P-超鞅。除了排除经济上有意义的套利形式（相当于共和党的爆发）外，我们的模型中还可能存在根据经典无套利假设排除的经典套利形式，例如。