基于均方误差和条件均方误差的最优阈值分割

为简洁起见，我们有时忽略了ai（ε）和bi（ε）对ε的依赖关系。对于函数f（ε），我们有时使用f(+∞) 对于limε→+∞f（ε）。对于趋向于0的非负变量x的两个函数f（x），g（x）（分别为+∞), 按f g、 我们的意思是f=o（g）作为x→ 0（分别为x→ +∞), 按f 我们的意思是f=O（g）和g=O（f）asx→ 0（分别为x→ +∞), 而f~ 我们的意思是f（x）/g（x）→ 1作为x→ 0（分别为x→ +∞).我们表示φ（x）=e-x个√2π，(R)Φ（x）=R+∞xφ（s）ds。h、 o.t表示高阶项标记1。在A1和MSE中各项的期望值的完整性下，我们得到MSE（0）=E[IV]>0，对于小h，limε→+∞MSE（ε）>0。下一个推论说明了最优阈值的存在性（见附录中的证明）。推论1。在定理1的相同假设下，存在一个最优阈值，并且是方程g（ε）=0的解。找到最佳阈值ε？为了估计σ，我们需要找到G的零，而G又取决于σ。此外，G取决于跳跃过程的增量m=（m，…，mn），我们不知道。当处理第4节中引入的条件MSE的最小化时，会出现类似的问题，其中最佳阈值ε必须满足方程式F（ε）=0，其中F（ε）：=ai（ε）（ε+2Pnj6=ibj（ε）- 2IV）。然而，当我们将我们的理论应用于常数σ和有限活动跳跃的情况时，正如第5节中所精确解释的，我们可以通过迭代估计σ、m和ε来继续。另一种尚未实现ε的方法？是研究ε的完全渐近行为吗？处于σ的稳定或确定性状态。在某些情况下，ε？将仅依赖于σ的平稳分布或路径的一些汇总度量，可以单独或与IV联合估计。备注2。

原则上，M SE（ε）甚至可以有许多点ε，其中绝对最小值MSE为MSEon[0+∞) 已到达；此外，MSE可能有一定数量的局部非绝对最小值。要确定G（ε）=0的解的数目，我们需要研究G（ε）的符号（对应于MSE（ε）的凸性），但这并不容易。定义（ε）：=ε+2Xj6=ibj- 2IV，因此g（ε）=XiE[ai（ε）gi（ε）]。我们可以很容易地研究函数gi，因为我们知道gi（0）=-2IV<0，limε→+∞gi（ε）=+∞ 对于所有ε>0的情况，gi（ε）=2ε（1+εPj6=iai）>0。然而，在联合函数G（ε）中，术语ai（ε）的存在甚至很难知道（aigi）是否为正。2.1当X为L'evyLet us assumeA2时。X是一个L'evy过程。现在，σ>0是常数第九条？是i.i.d.，因此表征MSE（ε）=0的方程更容易分析。实际上，从（4）中可以看出，由于在aiPj6=ibj中，aif的mio与mjofbj无关，因此我们有mse（ε）=εG（ε）=εnE[a（ε）]ε+2（n-1） E[b（ε）]- 2IV.下一个结果建立了A2下最优阈值的唯一性。证据见附录。定理2。如果X是L'evy，方程ε+2（n-1） E[b（ε）]- 2IV=0（5）有唯一的解ε？因此，存在唯一的最佳阈值，即ε？。（5）中的方程没有显式解，但是我们可以给出一些重要的指示来近似ε？。2.2第2节其余部分E（bi（ε））的渐近行为，以强调ε？在h上，我们写ε：=ε（h）=εh。我们仍然在A2下，所以记得e[bi（ε）]=Eh |σniW+niJ |{|σniW公司+日本国立卫生研究院|≤ε} i在i中是常数。请注意，对于任何L'evy过程J，E[bi（ε）]都是有限的，无论J是否具有有界的初始时刻。我们考虑两种情况：一种是J是一个有限跳跃活动过程，另一种是它是一个对称的严格稳定过程。

第2.3小节将使用E[bi（ε）]的渐近特性来推导最优阈值ε？在h中的渐近行为？。我们预计，在第2.3小节中，我们还将看到最佳阈值ε？在h时必须趋向于0→ 0以这样的方式ε？√h类→ +∞.2.2.1有限跳跃活动L'evy过程在J有有限活动跳跃的情况下，E[bi（ε）]的渐近特征在以下定理中给出。其证明见附录。定理3。设X为跳跃大小密度为f，跳跃强度为λ的有限跳跃活动L'evy过程。假设f对（0，∞) 以及(-∞, 0）允许在[0，∞) 以及(-∞, 分别为0%。然后，对于任何ε=ε（h），使得ε→ 0和ε√h、 作为h→ 0，我们有e[b（ε）]=σh-√2πσε√他-ε2σh+λhεC（f）+Oh类+ oε√他-ε2σh+ ohε,其中，高于C（f）：=f（0++f（0-).2.2.2严格稳定对称L'evy跳跃过程让我们从注意e[b（ε）]=Eh（σWh+Jh）{|σWh+Jh开始|≤ε} i=σEWh{|σWh+Jh|≤ε}+ 2σEWhJh{|σWh+Jh|≤ε}+ EJh{|σWh+Jh|≤ε}=: Ch（ε）+Dh（ε）+Eh（ε）。上述第一项可以写成asCh（ε）=σh- σEWh{|σWh+Jh |>ε}= σh- σhC+h（ε）+C-h（ε）,式中，C+h（ε）=EW{W+σ-1小时-1/2Jh>σ-1小时-1/2ε}, C-h（ε）=EW{W+σ-1小时-1/2小时<-σ-1小时-1/2ε}.通过对J进行条件化，并使用E[W{W>x}]=xφ（x）+Φ（x）这一事实，对于所有x∈ R、 我们有c±h（ε）=Eεσ√h类Jhσ√h类φεσ√h类Jhσ√h类+Φεσ√h类Jhσ√h类.下面的引理说明了在假设ε√h、 他们的证据在附录中。引理1。假设{Jt}t≥0是具有Y的对称Y稳定过程∈ (0, 2). 然后，存在constantsK<0和Ksuch，即：Eφεσ√h类-Jhσ√h类=√2πe-ε2σh- Kε-1.-Yh+h.o.t.（6）EJhφε√h类-Jh公司√h类= Khε1-Y+h.o.t。。（7） 引理2。假设{Jt}t≥0是具有L'evy测度C | x的对称严格稳定过程|-Y-1dx。

然后，以下渐近成立：EΦεσ√h类-Jhσ√h类=CYhε-Y+Oε-2Yh+ OEφεσ√h类-Jhσ√h类, （8） E类Jh{|σWh+Jh|≤ε}=2C2- Yhε2-Y+Ohε2-2年+ Oh4级-Y+ OhY公司. （9） 因此，以下定理明确说明了E[b（ε）]的渐近行为。附录中有证据。定理4。设Xt=σWt+Jt，其中W是维纳过程，J是对称严格稳定的L'evy过程，L'evy测度为C'x|-Y-那么，对于任何ε=ε（h），ε→ 0和ε√h、 作为h→ 0，我们有e[b（ε）]=σh-2σ√2π√hεe-ε2σh+2C2- Yhε2-Y+h.o.t。。2.3ε？我们现在假设3。支持任何跳跃大小Jtis R。我们首先看到一个最佳阈值ε？=ε?（h） 在h时必须趋向于0→ 0，以这样的方式ε？√h类→ +∞.然后我们将展示ε？更详细。备注3。注意，在A3下，如果ε？（h） 最小均方误差，则必须ε？（h）→ 0作为h→ 事实上，iflim infh→0ε?（h） =c>0，然后在序列ε？（h） 收敛到c，我们将得到^IVn- 四、→聚苯乙烯≤TJsI公司|Js公司|≤cinprobability，而非^IVn- 四、→ 0; 自P{Ps≤TJsI公司|Js公司|≤c> 0}>0，无法最小化MSE。引理3。假设Xt=σWt+Jt，其中W是布朗运动，J是有界变差的纯跳跃L'evy过程，或者更一般地，对于某些Y∈ （0，2），h-1/YnJhnP→对于实值随机变量J，那么ε？n个/√hn公司→ ∞, 作为n→ ∞.评论如果J有FA跳跃，漂移d，Jt=dt+PNtk=1γk，那么我们有h-1JhP→ 因此，引理3中的假设满足Y=1。如果J是具有Blumenthal-Getoor索引Y的L'evy过程，那么Y∈ （0，2）和对于任何η∈ （Y，2）我们有h-1/ηnJhna。s→ 0，假设再次得到满足。我们现在准备更精确地显示ε？的渐近行为？。命题1涉及FA跳跃的情况，而命题2涉及对称严格稳定跳跃的情况。他们的证明推迟到附录中。提案1。

设J有FA跳并满足定理3的假设，设ε？=ε?（h） 成为最佳阈值。那么，ε？~r2σh lnh，作为h→ 0、提案2。在定理4的条件下，最优阈值ε？=ε?（h） 是ε吗？~r（2- Y）σh lnh，作为h→ 如引言所述，比例常数√2.- 先前结果的Y表示，如果我们想要丢弃跳跃所代表的较高噪声并捕获有关IV的信息，跳跃活动越高，最佳阈值就必须越低。3一致性当εh=q2Mh对数在[17]所述的框架下，在等间距观测的情况下，阈值标准允许^IVn的收敛：=nXi=1(iX）I{(九）≤r（σti-1，h）}到IVT=RTσsds，当所有i=1，n、 我们有r（σti-1，h）=r（h），r（h）是hs的确定函数。t、 r（h）→ 0，r（h）h对数→ ∞, 作为h→ 在这里，我们表明，在有限的活动跳跃下，在任何]ti的情况下，相同的估计值也是一致的-1，ti]我们考虑一个不同的截断水平ri（σ，h）=2Mih logh，以及适当选择的随机变量Mi。具体而言，假设如下A4。LetdXt=atdt+σtdWt+dJt，（10），其中Jt=PNti=1γifor对于非爆炸性计数过程N和实值随机变量γj，a，σ是c\'adl\'agand a.s.σ：=infs∈[0，T]σs>0。回想一下，a.s.和σ的路径在[0，T]上有界。定义'σ：=sups∈[0，T]σs，那么，下面的命题和推论成立。他们的证据在附录中。提案3。在A4下，如果我们选择ri（h）=2Mih logh，任何Mi（ω）都可以使Mi（ω）∈ [信息∈[技术信息-1，ti]σs（ω），‘σ’，我们有：a.s。η>0，对于非常小的h：i=1，n、 我{(九）≤（1+η）ri（h）}=I{iN=0}。推论2。对于所有η>0，我们有pni=1(iX）I{(九）≤（1+η）ri（h）}P→ 四、 作为h→ 0.4条件均方误差：FA跳跃情况我们现在将自己置于A1之下。

此处我们感兴趣的数量，cMSE（ε）。=E[（四）- IV）|σ，J]，即ω、 cMSE（0）=IVand cM SE(+∞) > 0，因为^IVε→+∞→ QV。此外，根据定理1的证明，我们有cmse（ε）=εF（ε），其中F（ε）=nXi=1aigi，gi=ε+2Xj6=ibj- 2IV。（11） 我们分析F（ε）的符号：对于n，h固定，σi和mi也固定，我们得到F（0）=-2IVPni=1ai<0，因为bj（0）=0。此外，我们还有F(+∞) = 0+：要看到这一点，首先注意，从bi（ε）的表达式来看，bi(+∞) = mi+σi，然后是gi（ε）~ ε+2Pj6=imj- 2σi~ ε、 asε→ +∞. 此外，每个ai~ 2(2π)-1/2σ-1经验-ε2σi, 因此，对于足够大的ε，F=Pni=1是n个正项aigi的有限和≤ K（2π）-1/2σ-1iεexp-ε2σi对于某些常数K和固定σi，so F（ε）→ 0+，作为ε→ +∞. 由于F是连续的，因此存在一个最佳阈值并求解F（ε）=0。我们现在也假设A3。备注4。在A3下，如备注3所示，如果ε=ε（h）使cMSE最小，则ε必须为真→ 0，作为h→ 0.在下面的命题4中，我们再次发现，在下面的A4“那么必然”ε（h）下√h类→ +∞.A4’。我们假设A4带有≡ 0，常数σ>0，nh=1。考虑h时，在FA跳跃下→ 0，我们假设有一个非常小的h，因此a.s.在]ti期间发生的跳跃数-1，ti]最多为1；注意，对于任何t，我们都有mi→ Jt，当选择i=i（t）这样的ti时-1<t≤ ti。因此，当考虑跳跃时间t时，我们假设h非常小，因此mi（t）的符号与Jt，特别是如果Jt6=0，则接近它的增量Mi为非零。4.1 bi（ε）、ai（ε）和Ft的渐近行为如下结果确保，如前所述，最佳阈值必须趋于0，因为h→ 0，但速率低于√h、 其证明见附录。提案4。

在A1、A3、A4’下，如果‘ε=’ε（h）解F（ε）=0和‘ε=’ε（h）→ 0，然后是ε（h）√h类→ +∞.我们现在考虑满足命题4条件的序列ε=ε（h）=εh的F（εh）的渐近行为。提案5。A4’以下，若εh→ 0作为h→ 0，ε（h）√h类→ +∞ 那么F（εh）=F（εh）+h.o.t.，其中F（εh）：=2εhh√他-εh2σhεh-e-εh2σh√h4σ√2πσ√2π.带符号vh：=εh√手动sh：=√2πe-vh2σ，我们可以写F（εh）=σεhshhvh公司- 4σshn. 请注意，vh n、 但是sh→ 0，因此vh和NSH之间的前导项取决于vh的选择。我们还注意到，F=0的解‘’ε不一定是F（‘’ε）=0，但是如果序列εhis是F（εh）→ 0然后是整个F（εh）→ 0，所以εhis与F=0的其中一个解‘’ε接近（以稍后明确的方式）。备注5。在存在非零漂移过程{at}t的情况下，命题5中所述F（ε）的渐近行为也成立≥0几乎肯定有局部有界路径（回想一下，任何c'adl'ag过程都满足这样的要求），并且独立于W。附录中显示了这一点。4.2ε的渐近行为我们在此表明，任何cMSE最优阈值ε都具有与MSE最优阈值ε？相同的渐近行为？。附录中给出了以下结果的证明。推论3。在A1、A3、A4下，我们得到了ε~r2σh lnh，作为h→ 0.之前的结果表明，最佳ε的近似值为：εh=σwh√2h，wh=pln（1/h）。很自然，人们会对wh的其他选择感到疑惑。直观地说，我们的目标应该是使F（εh）尽快收敛到0：鉴于推论3的证明中的（49），唯一可能的方法是将vh和nsh在F（ε）内的顺序相同，因此我们选择wh1）wh→ +∞,2） 世界卫生组织√h类→ 0,3）e-whwhh→√π、 （12）作为h→ 0

例如，wh=qlnh类型的函数-ln lnh- ln yh，具有任何连续函数yhtendingto√π为h→ 0，满足上述三个条件。然而，通过选择满足以下三个限制性条件的函数wh，F到0的最快收敛速度将达到，如h→ 0.1）wh→ +∞2） 世界卫生组织√h类→ 03’’e-whwhh≡√π、 （13）其中条件3’）表示F（εh）≡ 事实上，这样的情况是存在的，因为下面的说法是正确的。定理5。存在唯一的确定性函数wh：（0，1）→ (0, +∞) 从而满足上述三个条件1）、2）和3’。这样的wh结果是可区分的，并且也满足ODE wh=whh1+2wh，这意味着wh≤ w+√日志。根据以下结果，我们最终得出了最佳阈值ε的唯一性，其证明见附录。我们注意到，推论3中描述的ε的渐近行为是在（40）之前证明它必须满足εh后得到的~ 4σsh√h、 作为h→ 0、提案6。F的第一个导数dεF（ε）是这样的，当在满足εh的函数εhof h处进行计算时→ 0，εh√h类→ +∞, εh=4σsh√h+h.o.t.，然后，作为h→ 0，F（εh）=F（εh）+h.o.t.，作为h→ 0，其中F（εh）=σπe-εhσhεhh。备注6。ε的唯一性。因为对于任何εh，F（εh）>0，所以对于足够小的h，我们在上述命题中ε的任何序列上都有dεF（εh）>0。这意味着对于任何足够小的h，cMSE最优‘ε是唯一的。事实上，如果存在两个最佳的ε（1）h<ε（2）h，我们必然会得到该ε（i）h→ 0，ε（i）h√h类→ +∞,ε（i）h=4σ\'sh√h+h.o.t.，但对于小h，在这样的序列上F（(R)ε（i）h）>0，这是一个矛盾，因为为了达到最优，两个序列都必须满足F（(R)ε（i）h）=0。我们感谢Andrey Sarychev提供了如此好的例子。我们感谢萨尔瓦多·费德里科提供了如此好的结果。

证据可根据要求提供。备注7。cMSE最优阈值ε=ε（h）的渐近行为与MSE最优阈值ε的渐近行为相同？FA跳下是由于ε解F=0，ε？解G=0，F=F+h.o.t.，G=G+h.o.t.，F中的前导项是mi=0的项，它们不依赖于ω，因此它们与G相同。因此，在L'evy FA跳跃的情况下，我们有F=F+h.o.t.=E[F]+h.o.t.=G+h.o.t。。此外，另一种启发式调整是，我们期望F（ε）=Pni=1初始值~ nE【aigi】，因此ε？满足G=nE[aigi]=0与满足F（ε）=0的任何ε相同。备注8。与[10]中的结果进行比较。在[10]中，考虑了具有FA跳跃的过程X，要么是具有满足给定条件的分布密度的跳跃大小的L'evytype，要么是具有确定性的绝对连续局部特征的^o SM类型（加法过程）。估计量^Jn=nXi=1iXI公司{|iX |>εh}，^Nn=nXi=1I{|iX |>εh}被考虑，并且，作为h→ 0，首先显示条件εh√h类→ +∞ 对于两个MSE（^IVn）的收敛到0是必要且有效的- IV）（更强的条件意味着^IVn）和MSE（^Jn）的一致性- JT）。其次，作者证明了MSE（^Nn- NT）→ 0<=>e-εh2σh√hεh→ 0，意味着为了(Ohm, P）估计误差^Nn收敛到0-NTa需要εhis上的更强条件，意味着εh√h类→ ∞. 第三，最优阈值ˇε（h）最小化e[|^IVn]的存在唯一性- IV |+| Nn- 得到了固定h的NT |]，且ˋε（h）在h中的渐近展开式具有前导项q3σh logh。

“ε”和“ε”的前导项的因子3比因子2高：这是因为ε（h）的最小化准则也包括NT上的误差，这要求ε（h）√his高于ε√h、 因此，ˇε（h）>ˇε（h）是必要的。5一种新方法在本节中，我们提出了一种新方法，用于调整第（2）节中引入的TRV的阈值参数ε：=pr（σ，h）。这是基于条件均方误差cMSE（ε）=E[（^IV-IV）σ，J]在第4节中研究。Weillustrate方法用于具有常数波动率σ的无漂移FA过程。如其中所证明的，最佳阈值ε为：f（ε）=nXi=1ai（ε）gi（ε）=0，gi（ε）=ε+2Xj6=ibj（ε）- 2nhσ，其中ai（ε）和bi（ε）在此重写以便于参考：ai（ε）：=a（ε，mi，σ）：=e-(ε-mi）2σh+e-（ε+mi）2σhσ√2πh，bi（ε）：=b（ε，mi，σ）：=-σ√h类√2πe-(ε-mi）2σh（ε+mi）+e-（ε+mi）2σh（ε- mi）+mi+σh√2πZmi+εσ√人机界面-εσ√他-x/2dx。可以方便地设置m=（m，…，mn）和f（ε；σ，m）：=nXi=1a（ε，mi，σ）ε+2Xj6=ib（ε，mj，σ）- 2nhσ.最佳阈值ε的主要问题在于，这取决于σ和跳跃过程的增量m=（m，…，mn），我们不知道。还要注意的是，对于足够小的h，每个mim将是进程的另一个0或一个跳跃，并且实际上是mimi的一个好代理(尼克斯）1{|niX |>(R)ε}。然后，想法是迭代估算ε、σ和m，如下所示：1。从σ和m的一些初始“猜测”开始，我们称之为σ和m。这些初始值有不同的可能性，例如σRV（在第5.1节第1项中定义）或σBV（在第5.1节第2项中定义）或截断的σT RV（在第5.1节第12项中定义），对于σ，阈值为p2σBVh log（1/h），对于m.2，σm=（0，…，0）（无跳跃）。使用^σ和^m，通过求解F（ε；^σ，^m）=0，我们找到表示εNEW的最佳ε的初始估计。