基于均方误差和条件均方误差的最优阈值分割

例如，选择^m=（0，…，0），εnews求解方程：ε+2（n- 1)-2^σ√h类√2πεe-ε2^σh+^σh√2πZε^σ√h类-ε^σ√他-x/2dx- 2nh^σ=0。（14） 很容易看出，在这种情况下，εNEWis的形式为vn^σ√h、 其中vn是方程的唯一解：vn+4（n- 1)-越南√2πe-越南+√2πZvne-x/2dx- 2n=0。（15） 图1显示，当n从100到10000.0 2000 4000 6000 8000 100003.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0n，观测次数v（n）图1：方程（15）的解vnof作为n.3的函数。一旦我们得到了ε的初始估计值，我们就可以使用：^σNEW：=TnXi=1更新σ和m的估计值(九）{|九|≤εNEW}，^m：=((nX）1{|nX |>εNEW}，(nnX）1{|nnX |>εNEW}）（16）4。我们迭代地继续这个过程：εNEW，0：=εNEW，σNEW，1：=σNEW，k≥ 1查找εNEW，ks。t、 F（εNEW，k；^σNEW，k，^mk）=0，（17）set^σNEW，k+1：=TnXi=1(九）{|九|≤εNEW，k}，（18）^mk+1：=((nX）1{|nX |>εNEW，k}，(nnX）1{|nnX |>εNEW，k}）。（19） 当估计序列^σNEW，k稳定时（例如，当^σNEW，k+1- ^σNEW，k |/^σNEW，k≤ tol，对于一些期望的小公差tol）。前面的程序类似于【10】中介绍的程序，该程序基于选择阈值ε，以最小化未分类的预期跳跃次数：损失（ε）：=E“nXi=1{|niX |>ε，niN=0}+1{|尼克斯|≤ε,niN>0}#. （20） 其中证明了，对于具有FA跳跃的L'evy过程，最优阈值（下文中表示为ε3mc）是与top3σh ln（1/h）辛等价的，即h→ 利用这一信息，提出了一种迭代方法，其中，给定初始估计σ3mc，σ的0，我们为k设置≥ 1，ε3mc，k-1： =r3^σ3mc，k-1h lnh，^σ3mc，k：=TnXi=1(九）{|九|≤ε3mc，k-1}.

（21）因为，如第4节所证明的，对于给定h，使cMSE最小化的最佳阈值ε具有渐近行为2σh ln（1/h），如h→ 0，自然考虑以下迭代方法来估计ε：给定一个初始猜测σ2mc，0对于σ，我们设置ε2mc，k-1： =r2^σ2mc，k-1h lnh，^σ2mc，k：=TnXi=1(九）{|九|≤ε2mc，k-1} ，k≥ 1.（22）我们可以更进一步，考虑如下推论3所示，εh=σwh形式的阈值√2h，wh如（13）所示。这导致我们考虑迭代方法：εmc，k-1： =whq2^σmc，k-1h，σmc，k：=TnXi=1(九）{|九|≤εmc，k-1} ，k≥ 1.（23）可以证明，如果取σ3mc，0，σ2mc，0，和σmc，等于σRVin（21），（22），和（23），那么得到的估计序列{σ2mc，k}k≥0，{σ3mc，k}k≥0，{σmc，k}k≥0是非递增的，因此，它们最终会达到恒定的极限值。因此，对于这两个估计量，我们可以（并且将）将公差tol设置为0。偶数渐近wh~pln（1/h），在有限样本中存在一些差异。例如，对于我们模拟中使用的5分钟跨度（h=252×6.5×12），我们得到了wh=2.98，而Ln（1/h）=3.14，这意味着εmc，kw将小于ε2mc，k.5.1模拟性能：有限活性跳跃和恒定挥发度。我们现在开始评估本文介绍的方法，并将其与其他流行的替代方法进行比较。我们采用以下形式的默顿对数正态模型：Xt=σWt+NtXj=1γj，（24），其中N是强度为λ和{γi}i的泊松过程≥1是独立正态分布随机变量的独立序列，分别具有均值和标准差uJmp和σJmp。我们考虑以下估计量：1。已实现的二次方差估计：^σRV：=T-1Pni=1(尼克斯）；2.