具有循环传染风险的动态投资组合优化

注意，ρij是布朗运动wi和Wj之间的相关性。因为A是有界集，1-PNi=1Lijπi≥ Afor公司j∈ {1，…，N}，我们有| Nt |<K，与t无关，并且Mt是指数鞅，因此E[Mt]=1，这给出了（2.2）。我们的目标是最大化终端财富的预期效用，即supπ∈AE【U（XπT）】，其中U是【0】中定义的效用函数，∞) 并满足以下假设。假设2.3。效用函数U是连续的、非递减的、凹的，且满足U（0）>-∞ 和| U（x）|≤ K（1+xγ）表示所有x∈ [0, ∞), 其中K>0和0<γ<1是常数。根据默认情况，值函数由Vz（t，x，s）=supπ定义∈（T，X，s）的AE[U（XπT）| Xt=X，St=s，Ht=z]∈ [0，T]×（0，∞)新西兰+1和z∈ 一、 注意，如果h独立于s，则值函数vzis仅为t，x的函数。备注2.4。结合假设2.3和备注2.2，我们得到了| vz（t，x，s）|≤ K（1+xγ）。对于例2.1中定义的单边传染模型，问题可以自然地分为违约前和违约后两种情况。后者是一个标准的效用最大化问题，因为股票P消失，违约后价值函数仅与时间t和财富x有关，见Pham（2009）。对于预设值函数v，我们有以下连续性结果。定理2.5。对于单侧传染模型（例2.1），进一步假设h在p中是非递增的，在s中是单调的，在s、p和U中是Lipschitz连续的| U（x）- U（x）|≤ K | x- x |γ表示所有x，x∈ [0, ∞). 然后，预设值函数在（t，x，s，p）中连续∈ [0，T]×[0，∞) × (0, ∞).备注2.6。我们假设h在p中不增加，因为从直觉上看，一家公司的违约概率不会随着其自身股价的增加而增加。

我们还假设h在s中是单调的，因为我们认为s和P在某种意义上是强相关的，即股票P的违约概率受到股票s的正向或负向影响。单边传染模型违约前价值函数的连续性依赖于一种特殊结构，即该位置只有一个违约过程。对于一般的循环传染模型，由于多次跳跃的顺序是随机的，很难获得值函数的连续性。应用DPP，可以表明值函数满足以下HJB方程：- supπ∈ALπwz（t，x，s）=0（2.3）（t，x，s）∈ [0，T）×（0，∞)新西兰+1和z∈ I终端条件wz（T，x，s）=U（x），其中Lπ在过程s，H和x的微元发生器内，控制π，给定byLπwz（T，x，s）=wz公司t+（r+θtπ）xwz公司x+Xi∈Izuisiwz公司si+πT∑πxwz公司x+Xi∈Izσisiwz公司si+Xi，j∈Iz，i<jρijσiσjsisjwz公司硅sj+Xi∈IzρTiσπσixsiwz公司x个si+Xi∈伊兹兹（s）wzi公司t、 x个1.-NXj=1Ljiπj, 硅- wz公司, （2.4）其中si：=（s（1- L1i），sj（1- Lji），序号（1- LNi））t用于j∈ Iziandρi：=（ρi1，…，ρij，…，ρiN）Tforj∈ Iz。请注意，Si的尺寸为Nzi，其等于Nz- 1因为我们已经删除了第i个defaultedstock。接下来，我们给出了值函数的验证定理。定理2.7。假设函数元组w：=（wz）z∈我在哪里wz∈ C[0，T]×（0，∞)新西兰+1∩C1,2，。。。，2.[0，T）×（0，∞)新西兰+1对于任何z∈ 我用终端条件wz（T，x，s）=U（x）求解（2.3），wz满足增长条件| wz（T，x，s）|≤ K（1+xγ），当0<γ<1时，在A中的bπ（t，x，s，z）处达到（2.3）中哈密顿量的最大值，并且SDE（2.1）允许一个唯一的强解Xbπ，控制bπ。然后，以值函数vzand和bπ为最优控制过程的wzcoincides。备注2.8。对于对数效用U（x）=ln x，假设U（0）>-∞ 不满意。

然而，可以假设值函数的形式为wz（t，x，s）=lnx+fz（t，s），其中f是线性偏微分方程的解，见（3.1）。如果我们假设fz∈ C[0，T]×（0，∞)新西兰+1∩ C1,2，。。。，2.[0，T）×（0，∞)新西兰+1并且是有界的，那么我们可以用与定理2.7相同的证明来证明wzis确实是值函数，除了一个变化：而不是使用| wz（t，x，s）|≤ K（1+xγ），不适用于对数效用，使用| wz（t，x，s）|≤ K（1+| ln x |）。Sinceln Xu=ln x+Zutr+πT'uD'uθ-πT'uD'u∑D'uπ'ud'u+ZutπT'uD'uσdW'u+NXj=1Zutln1-NXi=1Lijπi'u-!dHj？ufor u∈ [t，t]，我们有呃| ln Xu | i≤ K（1+（lnx）），它在证明中提供了所需的一致可积性。验证定理假设存在HJB方程（2.3）的经典解，这对于值函数vz可能不是真的。接下来，我们展示值函数{vz}z∈II是PDE系统的独特粘度溶液，其特征为（2.3），基于以下定义。为了便于讨论粘度溶液，我们通过FZ定义F函数t、 x、s、w、，（t，x，s）wz，（x，s）wz= - supπ∈ALπwz（t，x，s），其中（t、x、s）wz∈ RNz+2是Wz相对于（t，x，s）的梯度向量，和（x，s）wz∈ R（Nz+1）×（Nz+1）是关于（x，s）的wz的海森矩阵。Wzan及其衍生物在（t，x，s）处进行评估。HJBequation（2.3）与FZ相同t、 x、s、v、，（t，x，s）vz，（x，s）vz= 0用于z∈ 一、 定义2.9。

（i） w：=（wz）z∈在[0，T）×（0，∞)N+1FF'z\'t，\'x，\'s，Д，（t，x，s）Д′z，（x，s）Д′z≤ 0表示所有'z∈ 一、 （\'t，\'x，\'s）∈ [0，T）×（0，∞)N'z+1和测试功能Д：=（Дz）z∈我∈ C1,2，。。。，2.[0，T）×（0，∞)新西兰+1使（w'z）*（\'t，\'x，\'s）=Д'z（\'t，\'x，\'s）和（wz）*≤ ^1zforz∈ I在[0，T）×（0，∞)Nz+1，其中（wz）*是wz的上半连续包络，定义为（wz）*（\'t，\'x，\'s）=lim sup（t，x，s）→（\'t，\'x，\'s）wz（t，x，s）。（ii）w：=（wz）z∈{0,1}是PDE系统（2.3）在[0，T）×（0，∞)N+1FF'z\'t，\'x，\'s，Д，（t，x，s）Д′z，（x，s）Д′z≥ 0表示所有'z∈ 一、 （\'t，\'x，\'s）∈ [0，T）×（0，∞)N'z+1和测试功能Д：=（Дz）z∈我∈ C1,2，。。。，2.[0，T）×（0，∞)新西兰+1使（w'z）*（\'t，\'x，\'s）=Д'z（\'t，\'x，\'s）和（wz）*≥ ^1zforz∈ I在[0，T）×（0，∞)Nz+1，其中（wz）*是wz的下半连续包络，定义为（wz）*（\'t，\'x，\'s）=lim inf（t，x，s）→（\'t，\'x，\'s）wz（t，x，s）。（iii）我们说w是PDE系统（2.3）在[0，T）×（0）上的粘度溶液，∞)N+1如果它同时是（2.3）的鸟瞰性下解和上解。基于上述定义，我们对值函数具有以下粘度溶液性质。定理2.10。值函数v=（vz）z∈Iis在[0，T）×（0，∞)N+1，满足生长条件| vz（t，x，s）|≤ K（1+xγ），对于某些常数0<γ<1。为了证明粘性解的唯一性，我们需要在模型上引入一个结构条件。假设2.11。以下不等式成立：Jz（π）≤K|x个- x |+Xi∈Iz | s1i- s2i |！，π ∈ A、 z∈ 一、 式中，jz（π）：=πT∑πxQ1,1- xQ1,1+xi∈Izσis1iQki，ki- s2iQki，ki+Xi，j∈Iz，i<jρijσiσjs1is1jQki，千焦- s2is2jQki，千焦+xi∈IzρTiσπσixs1iQ1，ki- xs2iQ1，ki和矩阵Q和Qsatisfy问题00-Q≤INz+1-INz+1-英寸+1英寸+1英寸.备注2.12。矩阵Q和秦定理2.14的维数为Nz+1。

我们使用kito表示矩阵的rightindex，它对应于siwhere i∈ Iz。kiis的引入解决了sindex和矩阵索引之间的差距。我们用一个简单的例子来说明ki的定义。例如，Iz:={3,4,6}。在这种情况下，市场上有三只幸存的股票，即s、s、s。矩阵Q和QIS的维数为4（包括3只幸存的股票和财富过程x）。然后k=2，k=3，k=4。备注2.13。对于市场上只有两种可违约股票的最简单情况，例如示例2.1和示例2.2，假设2.11适用于ρ ∈ (-1，1），因为Jz（π）可以写成Jz（π）=ξT问题00-Qξ +(1 - ρ） （σP）πPx，0，p，πPx，0，p问题00-QπPx，0，p，πPx，0，pT、 式中ξ=mTπx，σSs，ρσPp，mTπx，σSs，ρσPpT、 m=（σS，ρσP）T，n=（ρσS，σP）andπ：=（πS，πP）T。利用矩阵不等式和简单的代数计算，可以证明jz（π）≤2.（mTπ）| x-x |+（σS）| S-s |+ρ（σP）| P-p|+2.(1-ρ） （σP）（πP）| x- x |+| p- p|.根据控制集A的有界性，假设2.11适用于所有ρ∈ (-1, 1).下一个结果说明了粘度解的唯一性。定理2.14。假设2.11成立。假设值函数v=（vz）z∈Iz，满足终端条件vz（T-, x、 s）=U（x）和边界条件（vz）*（t，x，s）=（vz）*（t，x，s）表示[0]边界上的（x，s），∞)新西兰+1。那么v是PDE系统（2.3）在[0，T）×（0，∞)N+1。备注2.15。条件（vz）*（t，x，s）=（vz）*边界上（x，s）的（t，x，s）等价于值函数vzat边界点极限的存在性。

当（x，s）变量的域为（0，∞)新西兰+1，非(-∞, ∞)Nz+1，在这种情况下，可以对vz施加一些多项式增长条件，有关这一点的进一步讨论，请参见Pham（2009），备注4.4.8。3数值测试在本节中，我们对log和power实用程序执行一些统计和稳健测试。我们假设市场上有两支可违约股票和一个无风险银行账户（示例2.2）。3.1对数效用的最佳策略对于U（x）=ln x，违约后情况z=（1，1）是投资于无风险银行账户，因此πS=πP=0，v（1，1）（t，x）=ln x+r（t- t） 。我们推测，预设值函数v（0,0）（t，x，s，p）取mv（0,0）（t，x，s，p）=ln x+f（0,0）（t，s，p），（3.1），值函数v（1,0）（t，x，p），v（0,1）（t，x，s）分别取sv（1,0）（t，x，p）=ln x+f（1,0）（t，p），v（0,1）（t，x，s）=ln x+f（0,1）（t，s）。

（3.2）将（3.1）和（3.2）代入（2.3），我们得到f（0,0）的线性PDE，取决于f（1,0）和f（0,1）的值：f（0,0）t+bT（s，p）Df（0,0）+TrσσT（s，p）Df（0,0）-hS（0,0）（s，p）+hP（0,0）（s，p）f（0,0）（t，s，p）+hS（0,0）（s，p）f（1,0）（t，p（1- LP））+hP（0,0）（s，p）f（0,1）（t，s（1- LS））+r+supπ∈AG（0,0）（s，p，π）=0（3.3），终端条件f（0,0）（T，s，p）=0，其中G（0,0）由G（0,0）（s，p，π）定义：=-πT∑π+θTπ+hS（0,0）（s，p）ln（1- πS- LPπP）+hP（0,0）（s，P）ln（1）- LSπS- πP），其他符号由b（s，P）给出：=uSsuPp, Df（0,0）：=f（0,0）sf（0,0）pσ（s，p）：=σSs 0ρσPpp1- ρσPp！，Df（0,0）：=f（0,0）sf（0,0）spf（0,0）spf（0,0）p.通过相同的参数，我们得到f（1,0）的线性偏微分方程：f（1,0）t+uPpf（1,0）p+（σp）pf（1,0）p- hP（1,0）（p）f（1,0）（t，p）+r+hP（1,0）（p）r（t- t） +supπ∈AG（1,0）（p，π）=0，终端条件f（1,0）（T，p）=0，其中G（1,0）由G（1,0）（p，π）定义：=-（σP）（πP）+（uP- r） πP+hP（1,0）（P）ln（1- πP）。可以类似地获得与f（0,1）相关的PDE。假设控制约束集A由A给出：=π| aS≤ πS≤ B和aP≤ πP≤ 英国石油公司,其中aS、bS、aP、bP∈ R的选择应确保1- LTπ≥ Afor公司π ∈ A、 我们需要解决一个约束优化问题：maxπ∈AG（0,0）（s，p，π）。由于A是紧的，G（0,0）是连续的，因此存在一个满足Kuhn-Tuckeropimality条件的最优解uS- r- （σS）πS- ρσSσPπP-hS（0,0）（s，p）1-πS-LPπP-LShP（0,0）（s，p）1-LSπS-πP+u- u=0uP- r- （σP）πP- ρσSσPπS-LPhS（0,0）（s，p）1-πS-LPπP-hP（0,0）（s，p）1-LSπS-πP+u- u=0（3.4）和互补松弛条件u（πS- aS）=0，u（bS- πS）=0，u（πP- aP）=0，u（bP- πP）=0，（3.5），其中ui≥ 0，i=1，4是拉格朗日乘数。

由于π扫描只取区间内[aS，bS]或两个端点中的一个，这同样适用于πP，我们有九种可能的组合。如果两个π和π都是内部点，那么对于i=1，…，ui=0，4自（3.5）。假设存在唯一的解决方案（πS）*（0,0），（πP）*(0,0)（3.4）的，使得（πS）*(0,0)∈ （aS，bS）和（πP）*(0,0)∈ （aP、bP），然后（πS）*（0,0），（πP）*(0,0)是最优控制。我们可以逐一讨论其他案例。例如，if（πS）*（0,0）=aSand（πP）*(0,0)∈ （aP，bP），然后u=u=u=0，从（3.5）和（πP）*（0,0）和u是方程式（3.4）的溶液。如果解不满足（πP）*(0,0)∈ （aP、bP）和u≥ 0，则此情况不可能发生。备注3.1。将Kuhn-Tucker最优性条件应用于G（1,0）（p，π），得到了z=（1，0）as（πS）的显式最优控制*（1,0）=0，（πP）*（1,0）=uP- r+（σP）-q（uP- r- （σP））+4（σP）hP（1,0）（P）2（σP），提供（πP）*(1,0)∈ （aP，bP），否则，（πP）*（1,0）等于aPor bP。备注3.2。Capponi和Frei（2017）得出了对数效用投资者的明确最优交易策略，当这些股票有N支股票和N个CDS时。将伊藤公式应用于对数财富过程和TakingExpection，他们得到了e【ln XT】=ln x+ZTE【αt】dt，（3.6），其中αt：=r+f（(R)x）+Pn∈Izhngn（yn）和'x是维数nz的向量，因此每个分量都是Nzcontrolsπ到stock和Nzcontrolsψ到CDSs的线性组合，以及yn，n∈ Iz的定义类似。为了最大化αtover控制π和ψ，Capponi和Frei（2017）使用了一种巧妙的技巧，即分别最大化f（(R)x）和gn（yn），并推导出一个在π和ψ中包含2Nzequations和2Nzvariables的线性方程组。

明确的最优控制来自于方程系统的求解，见卡波尼和弗雷（2017）电子伴侣论文中的方程（B.3）。在Capponi和Frei（2017）中找到显式最优控制的成功关键取决于模型中是否存在相同数量的CDS。当投资组合中没有CDS（如我们的情况）时，分别最大化f（(R)x）和gn（yn）将导致2Nzequations与Nzvariables不兼容的系统。因此，在我们的循环传染模型中，应用Capponi和Frei的技术不可能得到对数效用投资者的闭式最优控制。事实上，将伊藤公式应用于记录财富过程，并在我们的模型中取期望值，我们得到e[lnxt]=lnx+ZTE[eαt]dt，其中eαt：=r+πTtDtθ-πTtDt∑Dtπt+Pj∈Izhjz（s）ln1.-圆周率∈IzLijπit-. 取eαtwith对π的导数将得到与（3.4）中相同的方程组。3.2状态相关和恒定强度的性能比较我们现在进行一些统计分析。使用的数据与基准案例相同：T=1，S=100，P=100，x=100。假设强度函数h由h（x，y）=minnmaxnh（kx+ky）给出-α、 hmo，hmo（3.7），最小强度hm=0.05，最大强度hm=1.0，参数α=1。关于每个股票和默认状态的默认强度函数由hS（0,0）（s，p）=h（s，p），hP（0,0）（s，p）=h（p，s），hS（0,1）（s）=h（s，0），hP（1,0）（p）=h（p，0）给出。请注意，h控制初始强度和权重k，k控制强度h对股价S和p的敏感性。我们设置h=10.0，使初始强度为0.1，k=0.7，k=0.3，这意味着一只股票的默认强度对其自身股价略为敏感。

此外，当一只股票违约时，另一只股票的违约强度会上升，这体现了相互作用的违约强度模型的优点，seeBo和Capponi（2013）。图1：股票价格、违约强度和财富的样本路径图1显示了两种不同交易策略下的股票价格、违约强度和最佳财富的样本路径。左侧面板显示S和P的股价路径。在这种情况下，只有股票是默认的。在违约时，股价S降到零，股价P跳下来，然后继续。中间的面板显示了违约强度过程hSz（St，Pt）和hPz（St，Pt），它们是股价St，Pt的函数。股票的强度S在默认情况下变为零，而默认强度hP（0,0）（St，Pt）跳升至hP（1,0）（Pt）。右侧面板显示了当使用的最优控制策略基于S、P依赖强度和恒定强度（值等于0.1）时的财富路径示例。当违约发生时，具有S、P依赖强度和恒定强度的财富路径都会上升，然后两条财富路径以相同的模式移动。与恒定强度相比，S、P依赖的财富路径跳跃更多。这并不奇怪，因为在违约时，强度为h（St，Pt）的策略卖空S和P的股票比强度不变的策略卖空更多，这意味着收益更多，见图2。当然，这是因为在违约时，S和P的默认强度都高于0.1。当违约时的强度hP（St，Pt）大于恒定强度0.1时，就会出现相反的现象。图2：最优控制和终端财富分配。图2显示了与图1中的股票路径和时间T时财富的统计分布相关的最优控制π和π。