具有循环传染风险的动态投资组合优化

左面板和中面板分别是投资于股票S和P的财富比例。很明显，随着违约强度的增加，对股票S和P的投资都会减少，而对储蓄账户B的投资也会增加，这在直觉上被认为是一只股票的违约概率会增加，那么人们就会减少对股票S和P的持有，以减少系统确实发生故障时的损失风险。在这种情况下，股票S和P的最佳投资策略都是短期抛售，这是所选参数和违约的组合效应。我们使用依赖于S，P的违约强度h（St，Pt）来模拟股票价格S和P的10000条路径。在所有这些路径中，大约有1/5（确切地说是1752条路径）包含S或P的默认值。终端财富由两种策略产生：一种是基于h（St，Pt）全信息的最优策略，另一种是基于恒定强度0.1的最优策略。右面板显示了这两种策略的最终财富直方图。

很明显，它们的分布相似，但在尾部有一些细微的差异，即在S、P依赖强度下，表现过度的概率较高，表现不足的概率较低。这些直方图似乎表明，对于对数效用，S、P相关最优策略和常数策略的总体性能相似，而S、P相关最优策略在极值情况下表现更好。平均标准偏差2.3%分位数97.7%分位数所有样本+h（S，P）107.78 22.60 84.08 171.82所有样本+常数h 107.59 19.27 78.60 157.80默认值+h（S，P）134.81 36.04 83.80 225.20默认值+常数h 134.68 21.50 95.29 178.04无默认值+h（S，P）102.17 12.82 84.11 134.68无默认值+常数h 101.96 12.99 78.13 130.48表1：样本平均值、标准偏差和分位数值。表1包含S、P依赖强度和恒定强度0.1的低端（2.3%）和高端（97.7%）的样本均值、样本标准偏差和分位数值。很明显，S，P依赖最优策略的总体样本均值（略）高于恒定强度最优策略，因为前者是真正的最优控制，然而，S，P依赖最优策略的样本标准差也更高，这意味着S，P依赖最优策略可能具有波动性和风险性，而常数最优策略更为保守。然而，如果我们检查分布的分位数（这是一个不同的风险度量），我们会发现，S，P依赖的最优策略总体上产生了较高的2.3%分位数（较少的损失）和较高的97.7%分位数（更多的收益），而S，P依赖的最优策略在极端情况下优于常数策略。

请注意，上分位数的表现优于卖空（预计股价非常低时会出现违约）。备注3.3。到目前为止，得出的结论依赖于基准参数值，在这种情况下，两支股票的最优控制在大多数情况下都是卖空。我们在另外两个参数集上重复相同的比较测试（如果没有规定，参数值与基准情况相同）。o参数集1。σS=0.2，σP=0.3，LS=0.1，LP=0.2，ρ=0.4，h=5.0，hm=0.01参数集2。r=0.01，uS=0.15，uP=0.2，LS=0.05，LP=0.1，ρ=0.7，h=5.0，hm=0.01。在大多数情况下，参数集1的策略是卖空股票S和期望股票P，参数集2的策略是期望股票S和P。依赖于S，P的最优策略的总体性能与恒定强度的最优策略非常相似。总体样本均值与S、P依赖的最优策略相比（略）高于恒定强度的最优策略，而与S、P依赖的最优策略相比，样本标准差也更高，这意味着尾部分布的差异，并且S、P依赖的最优策略可能更不稳定。3.3模型参数的稳健检验（3.7）给出了假设强度函数h，并在此基础上生成了股票价格S和P。即使知道强度函数的精确形式，也很难精确校准参数。我们对参数k、k、α、hm、hm、h进行了一些稳健测试，即我们比较了两个投资者的最优表现，一个使用基准参数值，另一个使用不正确的估计值。

我们仅在每次测试中更改一个参数，而将所有其他参数固定在基准值上。平均标准偏差2.3%分位数97.7%分位数基准107.78 22.60 84.08 171.82k=0.5，k=0.5 107.69（-0.09%）22.85（1.10%）83.00（-1.29%）173.82（1.16%）k=0.3，k=0.7 107.69（-0.09%）23.15（2.44%）80.95（-3.73%）174.67（1.66%）α=0.8 111.59（3.53%）53.15（135.20%）53.18（-36.75%）。0.58（52.82%）α=1.2 105.17（-2.42%）、9.43（-58.26%）、84.52（0.53%）、122.93（-28.45%）hm=0.01，hM=1.5 107.77（-0.01%）、22.60（0.01%）、84.08（0.00%）、171.82（0.00%）hM=0.07，hM=0.5 107.76（-0.02%）、22.62（0.07%）、83.91（-0.20%）、171.82（0.00%）、h=5 105.36（-2.25%）、9.52（-57.86%）、85.24（1.39%）、124.36（-27.62%）、h=15 109.76（1.84%）、37.64（66.55%）、70.59（-16.04%）、221.49（28.91%）。表2：强度参数稳定2的稳健测试表明，样本均值在广泛的模型参数范围内基本相同。主要差异是样本标准偏差。基准值的百分比变化列于附件中。状态相关强度策略的性能对某些参数（包括权重k、k、最小强度水平hM和最大强度水平hM）具有鲁棒性。这些参数的变化不会显著改变样本标准偏差和低端和高端的分位数值。另一方面，对参数α和hto进行正确估计似乎很重要，以避免标准偏差发生较大变化。这些参数对估计的强度水平有很大影响。例如，如果一个人高估了初始默认强度（h=15，而不是正确值h=10），那么样本标准偏差会大大增加，在低端分位数值处会有很大损失。接下来，我们进行一些稳健测试，以查看模型参数变化对最优终端财富分布的影响，包括漂移u、波动率σ、相关性ρ和损失百分比LS。

我们将漂移和波动率参数更改为基准值的20%，并将相关性和损失百分比参数更改为一些较大的偏差。平均标准偏差2.3%分位数97.7%分位数本分位数107.78 22.60 84.08 171.82uS=0.12 107.05（-0.68%）、17.54（-22.39%）、91.98（9.39%）、158.13（-7.97%）、uS=0.08 108.55（0.71%）、28.35（25.44%）、75.99（-9.62%）、187.88（9.35%）uP=0.18 107.53（-0.23%）、21.78（-3.61%）、80.93（-3.75%）、165.05（-3.94%）uP=0.18 107.53 0.12 108.08（0.28%）、25.58（13.17%）、83.68（0.48%）、182.54（6.24%）σS=0.36 107.28（0.46%）、18.87（16.49%）88.04（4.71%）、161.89（5.78%）、σS=0.24 108.47（0.64%）、27.88（23.37%）、78.37（6.79%）、188.35（9.62%）、σP=0.48 107.74（0.04%）、21.94（2.92%）、84.12（0.04%）、169.01（1.63%）、σP=0.32 107.86（0.07%）、23.56（4.24%）、83.84（0.29%）、175.82（2.33%）ρ=-0.3 108.21（0.40%）、25.50（12.83%）、83.45（0.75%）、183.56（6.83%）、ρ=0.3 107.57（0.20%）、21.83（3.39%）、82.74（1.59%）、167.26（2.65%）、LS=0.1 107.49（0.26%）、20.49（9.33%）、87.32（3.85%）、166.49（3.10%）、LS=0.4 108.24（0.43%）、26.45（17.05%）、77.52（7.80%）、181.95（5.90%）LP=0.15 107.70（-0.07%）、21.94（-2.91%）、83.26（-0.97%）、169.43（-1.39%）、LP=0.6 107.88（-0.10%）、23.90（5.74%）、84.69（0.73%）177.53（3.32%）表3：模型参数稳健检验表3列出了参数变化对分布敏感性的统计结果。很明显，所有参数的样本均值基本相同，但样本标准差对漂移、波动性、相关性和损失百分比的变化很敏感，这将显著影响最优终端财富的总体分布。这需要对这些参数进行良好的估计，以获得正确的分布。众所周知，很容易估计波动性，但很难估计漂移（见Rogers（2013）），损失百分比信息很少可用。

由于最优交易策略和最优财富分布受到这些参数的极大影响，这些参数很难正确估计，因此在使用状态依赖强度来建模和解决最优投资问题时需要谨慎。使用次优但保守且稳健的交易策略，而不是基于不可观测参数和强度的最优策略，可能更明智，风险更低。3.4不同初始股价稳定1的绩效比较表明，无论使用强度hiz（s，p）还是恒定强度0.1作为近似值，最终财富的总体分布都是相似的。这可能是因为S和Pare的初始价格均为100，这导致初始强度hiz（S，p）等于恒定强度。值0.1来自仅依赖历史数据的校准，而h（s，p）是一个前瞻性函数，取决于未来股价。表1表示校准窗口中的默认概率接近投资窗口中的默认概率的正常情况。然而，如果初始强度hiz（s，p）与校准窗口估计值中的0.1有很大差异（例如，校准窗口刚好在金融危机之前，而投资开始于金融危机时期），则最终财富的分布可能会有显著差异。我们用一个数值例子来说明这一点。为了简单起见，让强度函数由hiz（s，p）=20/（s+p）给出。这意味着在P默认值之后，S的默认强度从20/（St+Pt）跳到20/S。S违约的情况也是如此。

假设S和P的初始价格分别为S=10，P=10，则初始强度为hS（0,0）（S，P）=hP（0,0）（S，P）=1，这使得股票违约的可能性比恒定强度h=0.1（从校准窗口）建议的可能性高十倍。这将导致人们采取不同的控制策略（当n=10，p=10时，卖空更多），并将对下表所示的终端财富分布产生重大影响。平均标准偏差2.3%分位数97.7%分位数所有样本和h（S，P；S=10，P=10）179.74 63.21 58.63 316.08所有样本和h≡ 0.1 66.26 22.87 44.62 138.28违约与健康（S，P；S=10，P=10）195.90 52.78 99.20 318.65违约与健康≡ 0.1 57.70 7.16 44.23 73.82无违约&高（S，P；S=10，P=10）88.18 31.46 50.36 172.72无违约&高≡ 0.1 114.78 20.69 78.99 157.11表4：样本统计。数据：x=100，S=10，P=10，T=1表4显示了终端财富的统计数据，其中10000个模拟场景产生了8542个默认场景，反映了高初始违约强度hiz（S，P）=1。当股价很低时，可违约的股票很可能违约。在S，P依赖强度的情况下，最优控制是卖空更多的股票，这会导致平均值（195.90）比恒定强度的平均值（57.70）大得多H≡ 0.1如果股票S或P确实违约（预期）。然而，如果股票没有违约（非预期），则会出现相反的结果。这一数值测试表明，依赖于S，P的控制策略可能会优于或低于S，P独立的控制策略，这取决于预期的市场事件（股票违约）是否发生。备注3.4。我们对备注3.3中定义的其他两个参数集重复相同的测试。

数值结果显示出与表4中相似的模式，因此本节得出的结论是可靠的。3.5功率利用率的数值方法对于功率利用率U（x）=（1/γ）xγ，0<γ<1，默认后的情况是众所周知的，最优控制πS=（uS- r） /（（σS）（1- γ） ）和πP=0）以及后默认值函数v（t，x）=（1/γ）xγg（t），其中g（t）=表达式γ+γ2（1- γ)uS- rσS!（T- t） ！。我们推测预设值函数的形式为w（t，x，s，p）=xγγf（t，s，p）。（3.8）将（3.8）代入（2.3），我们得到f的半线性PDE：-ft型-Tr公司σσT（s，p）Df- supπ∈A.bT（s，p，π）Df- β（s，p，π）f+g（t，s，p，π）= 0，（3.9），终端条件f（T，s，p）=1，其中b（s，p，π）：=uS+γmTπσSsuP+γnTπσPp, Df：=fsfp, σ（s，p）：=σSs 0ρσPpp1- ρσPp！，Df：=fssfspfspfpp,和β（s，p，π）：=-rγ+h（s，p）- γθTπ+（γ- 1） πT∑π,g（t，s，p，π）：=h（s，p）g（t）（1- LTπ）γ。方程（3.9）是一个具有两个状态变量的非线性偏微分方程，如果不是不可能的话，也不太可能找到闭合形式的解f。然而，根据Pham（2009）（备注3.4.2），方程（3.9）是以下最优控制问题的值函数v的HJB方程：v（t，y）=supπ∈AE“ZTtΓ（t，u）g（u，Yu，πu）du+Γ（t，t）Yt=y#，（3.10），其中Yu：=（Su，Pu）T，T≤ u≤ T是一个受控的马尔可夫状态过程，满足以下SDE：dYu=b（Yu，πu）du+σ（Yu）dWu，T≤ u≤ T、 （3.11）初始条件Yt=y：=（s，p）T，W是二维标准布朗运动，且Γ（T，u）：=exp-Rutβ（Yl，πl）dl是一个折扣系数。根据我们的理论结果，我们认为值函数v（t，y）是HJBequation（3.9）的唯一粘度解。此外，如果HJB方程（3.9）有一个经典解，那么它就是值函数v（t，y）。换句话说，我们可以通过解一个随机最优控制问题（3.10）来找到方程（3.9）的解f（t，s，p）。

由于SDE（3.11）的扩散系数不包含控制变量π，我们可以使用Kushner和Dupuis（2001）的数值方法来找到（3.10）中的最优值函数，这将为我们提供方程（3.9）的解f（t，s，p）的数值近似值。接下来我们给出一些细节。根据Kushner和Dupius（2001），过程Y可以用马尔可夫链过程来近似，马尔可夫链过程将时间t的一个点Yt=（s，p）转换为九个点Yt中的一个+t在时间t+t、 即，（s，p），（s±δ，p），（s，p±δ），（s+δ，p±δ），（s- δ、 p±δ），具有以下跃迁概率：aδ，t（（s，p），（s，p）|π）：=1-tδ（| b |+| b |）-tδ（σSs）+（σPp）- |ρ|σSσPspaδ，t（（s，p），（s±δ，p）|π）：=tδb±+t2δ（σSs）-t2δ|ρ|σSσPspaδ，t（（s，p），（s，p±δ）|π）：=tδb±+t2δ（σPp）-t2δ|ρ|σSσPspaδ，t（（s，p），（s+δ，p±δ）|π）：=t2δρ±σSσPspaδ，t（（s，p），（s- δ、 p δ) | π) :=t2Δρ±σSσPsp，其中δ是空间的步长，t：=（t- t） /N是带N的时间步长≥ 1一个整数，b：=（uS+γmTπσS）S，b：=（uP+γnTπσP）P和x+：=max{x，0}，x-:= 最大值{-x、 0}。数值格式基于以下离散化动态规划原理：v（kt、 Sk公司t、 主键t）≈ supπk∈A.g（kt、 Sk公司t、 主键t、 πk）t+经验-β（SNk、PNk、πk）t型Ev（k+1）t、 SNk+1，PNk+1对于k=N-1.1，0，其中πkis是分段常数控制，期望值是利用上述马尔可夫链转移概率计算的。终端条件由v（N）给出t、 序号t、 PN编号t） =1。我们比较了在电力设施设置下的被动投资和主动投资。power utility案例中使用的大多数参数值与log utility benchmark案例相同，除了空间步长δ=5，时间步长t=0.1，控制参数集为aS=aP=-1.0，bS=bP=1.0。

表5列出了数值结果，包括下端和上端的平均值、方差和分位数。很明显，正如人们所期望的那样，其性能类似于日志实用程序。我们还对OG公用事业范围进行了其他测试，并为电力公用事业投资者得出了类似的结论。平均标准偏差2.3%分位数97.7%分位数所有样本+h（S，P）106.38 17.45 77.30 148.20所有样本+h 105.99 14.90 79.92 139.08默认值+h（S，P）106.70 21.00 71.67 158.63默认值+h 106.18 15.78 78.50 140.40无默认值+h（S，P）106.35 17.06 77.83 146.52无默认值+h 105.97 14.80.03 138.945表5：样本平均值、标准偏差和分位数值。方程（3.9）的解f（t，s，p）有一个倒向随机微分方程（BSDE）表示。因此，从理论上讲，如果可以解决高度非线性的BSDE，则可能会发现f，这在本论文中没有涉及，详情请参见Cheridito et al.（2007）。4证明4.1定理2.5证明。我们分四步证明该定理：1）vis在x中连续，在t、s、p中一致，2）vis在ins中连续，在t、p中一致，3）vis在p中连续，在t、s中一致，4）vis在t中连续。将这四步结合起来，给出了vin t、x、s、p的连续性。步骤1。对于任意x，x∈ [0, ∞) 和t，s，p∈ [0，T]×（0，∞), 使用假设2.3，我们有| v（t，x，s，p）- v（t，x，s，p）|=supπ∈AEU（Xt，x，s，p，πT）- supπ∈AEU（Xt，x，s，p，πT）≤ supπ∈AEU（Xt，x，s，p，πT）- U（Xt，x，s，p，πT）≤ K supπ∈AEh公司Xt，x，s，p，πT- Xt，x，s，p，πTγi≤ K | x- x |γ。根据（2.2）。因此，vis在x中连续，在t、s、p中均匀。步骤2。固定0<s<s<∞ 和t，x，p∈ [0，T]×[0，∞) × (0, ∞).