改进模型不确定性下的风险价值预测

对于给定的正则概率空间(Ohm, F、 P），Ohm = C（[0，T]），布朗运动{Bt}0≤t型≤T、 我们将概率度量Pθ定义如下。对于∈ F、 Pθ（A）=Po Y-1θ（A）=P（Yθ∈ A） ，式中yθ（·）=ZθsdBs，θ∈ Θ=LF(Ohm ×[0，T]，[σ，σ]，其中Θ是所有逐步可测过程的集合，取[σ，σ]的值。Pθs的集合表示为{Pθ}θ∈Θ. 设平均值u为0，{Xt}0的分布≤t型≤Tunder Pθ等于Fθ。因此，这个有限的随机过程分布族{Fθ}θ∈选择Θ作为管理数据集{Xt}0的族≤t型≤T、 在本文中，我们使用所谓的G-正态分布N（0，[σ，σ]）来表示族{Fθ}θ∈Θ.准确地说，数据{Xt}0的期望值≤t型≤Tunder{Pθ}θ∈ΘareEθ[φ（Xt）]=ZRφ（x）dFθ（x），（3.1），其中φ∈ Cl.Lip（R，R）是一个测试函数，描述我们感兴趣的数据XT的统计信息。考虑到VaR预测，我们将分析重点放在xUnder{Pθ}θ的最坏情况期望上∈Θ，即E[φ（Xt）]=supθ∈ΘEθ[φ（Xt）]。（3.2）一般来说，很难确定最坏情况下的期望值E[φ（Xt）]。然而，有一种情况可以明确确定，如下所示。假设3.1。假设{Xt}0<t<t是以下随机微分方程，dXt=θtdBt，X=X，在Pθ，θ下∈ Θ=LF(Ohm ×【0，T】，【σ，σ】）。对于给定的φ，我们可以证明u（t，x）=E[φ（Xt）]满足以下偏微分方程（PDE），tu（t，x）-G级(xxu）=0，t≥ 0，x∈ R、 （3.3）其中函数G（·）定义为G（a）=σa+- σa-, a+=最大值（a，0）和a-= 最大值(-a、 0）。（3.4）此外，如果φ（·）在R上是凸的，则方程（3.3）存在以下显式解：u（t，x）=Zx-∞φ（y）p2πtσexp（y2tσ）dy。在这种情况下，我们可以看到凸函数u（t，x）将在参数σ下达到最大值。

类似地，如果φ（·）在R上是凹的，则显式解为comesu（t，x）=Zx-∞φ（y）p2πtσexp（y2tσ）dy.作为返回{Xt}0的时间序列≤t型≤它通常以中心为中心，而其波动率（方差）是时变的，我们将在模型不确定性{Pθ}θ下假设它满足假设3.1∈并遵循G-正态分布n（0，[σ，σ]）（提醒读者这不是经典的概率分布）。最大分布和无偏估计的定义如下：定义3.1。（最大分布）次线性期望空间上的随机变量η(Ohm, H、 E）如果存在间隔【u，u】，则称为最大分布 R使得e[φ（η）]=最大值∈[u，u]φ（y），φ ∈ Cl.Lip（右）。定义3.2。让X、···、Xnbe i.i.d.样品（在SLE下）从最大分布中获得大小为n的样品，间隔为[u，u]。如果E[f（X，····，Xn）]=u或E[f（X，····，Xn）]=u，则f（X，····，Xn）分别是u或u的无偏估计量。4 G-VaR：模型不确定性下的一种新VaR方法∈ （0，1），金融资产X的风险水平α的VaRα是X的α分位数的负值；isVaRα（X）=-inf{x：F（x）>α}，（4.1），其中F（x）=P（x≤ x） 是x.4.1鲁棒变量的累积分布函数考虑模型不确定性下的风险位置x，由分布族{Fθ（x）}θ表示∈Θ. 每个Fθ下X的VaR为VaRθα（X）=-inf{x:Fθ（x）>α}。在这里考虑的分布族下，设计一个能够保护自身免受风险的VaRmeasure非常重要。注意，这里的风险具有相当普遍的形式；也就是说，没有关于这一系列发行的具体表格或先前信息。这种普遍性与真实的市场情况相一致，在这种情况下，风险因素总是难以准确捕捉，甚至不可能准确捕捉。

因此，这些风险来源的任何特定形式或模型都可能具有误导性。因此，考虑VaR的最坏情况是很自然的。正式地说，X的最坏情况VaR定义为VaR*α（X）：=supθ∈ΘVaRθα（X）。（4.2）在第6节的实证研究中，将表明，尽管其保守精神，但考虑最坏情况的情况，允许新的VaR非常有效地捕捉资产回报中的风险。最坏情况下的VaR（4.2）有几个简单的属性。设^F（x）：=supθ∈ΘFθ（x）。（4.3）对于每个θ，我们有varθα（X）≤ -inf{x：^F（x）>α}=：VaR^Fα（x），这样VaR*α（X）≤ VaR^Fα（X）。备注4.1。很明显，^F是一个右连续函数。如果，另外，{Fθ}θ∈Θ是弱紧的，那么很容易证明limx→-∞^F（x）=0，且limx→∞^F（x）=1。因此，在这种情况下，^F仍然是概率分布函数。提案4.1。给定一个危险位置X和一系列分布{Fθ（X）}θ∈是弱紧的。然后，VaR*α（X）：=supθ∈ΘVaRθα（X）=VaR^Fα（X）。证据很明显，VaR*α（X）≤ VaR^Fα（X）。为了证明逆不等式，需要找到一个F∈ {Fθ（x）}θ∈使VaR^Fα（X）=VaRFα（X）。由于^F（x）是一个右连续非递减函数，我们可以找到xα∈(-∞, ∞) 使得^F（xα）≥ α>^F（x），对于每个x<xα。设{Fθi}∞i=1b是{Fθ}θ的子序列∈Θ使得Fθi（xα）→^F（xα）。因为{Fθ（x）}θ∈Θ是弱紧的，存在{Fθik}的子序列∞k=1{Fθik}∞k=1弱收敛到▄F∈ {Fθ（x）}θ∈Θ. 自^F（xα）=limk→∞Fθik（xα）≤F（xα）≤^F（xα），则^F（xα）=^F（xα）。此外，对于每个x<xα，~F（x）≤^F（x）<^F（xα），即，-VaR^Fα（X）=Xα=inf{X：~F（X）>α}=-VaR^Fα（X）。证明是完整的。

4.2 G-VaR基于命题4.1，我们现在在分布{Fθ}θ族下引入G-VaR的概念∈对于遵循G-正态分布N（0，[σ，σ]）的风险资产X，取决于两个正参数（σ，σ）。更准确地说，G-VaR是通过将（4.1）中的经典分布函数F（x）替换为G期望值E[1X]来定义的≤x] ，即G-VaRα（x）：=-inf{x∈ R:E[1X≤x] >α}。（4.4）注意，如果没有模型不确定性，则族{Fθ}θ∈θ将减小为单分布F，G-VaR将与（4.1）中的传统VaR一致。此外，当X服从G-正态分布时，我们有^F（X）=E[1X≤x] =u（t，x）| t=1，其中u是非线性热方程（3.3）的解，具有Cauchy initialconditionlimt→0u（t，x）=1（0，∞)（x） 。（4.5）根据命题A.1，函数^F具有以下闭式表达式。^F（x）=Zx-∞√(σ + σ)√π“e-y2σI（y≤ 0）+e-y2σI（y>0）#dy，其中I（A）表示集合A的指标函数。此外，计算积分会得到以下更明确的函数形式：；^F（x）=2σσ+σΦ（xσ）I（x≤ 0) +(1 -2σσ + σΦ(-xσ）I（x>0），（4.6），其中Φ表示标准正态分布函数。该G-正态分布具有负均值qπ（σ- σ） ，和负偏斜。例如，将参数（σ，σ）=（0.5，1）的G-正态密度函数与图1中的标准正态密度进行比较。此外，由于^F是单调递增的，所以（4.4）中的G-VaR等于VaRα（X）=-^F-1(α). （4.7）在此处插入图1 4.3 G-VaR的简单解释和一些一般评论。尽管G-VaR是通过相当复杂的SLE和相关G-正态分布理论推导出来的，但方程式（4.6）和（4.7）中所示的最终实现具有简单的解释。

首先，资产X的G-正态分布可以直观地与正态分布的有限族{N（0，σ）：σ相关联∈ [σ, σ]}. 因此，波动区间[σ，σ]对应于此处考虑的模型不确定性。由于G-VaR为正（α<0.5），（4.7）可以重写为正常VaR：G-VaRα（X）=-~σΦ-1（|α），（4.8），其中|σ=σ，|α=σ+σ2σα=1 + σ/σα.我们将分别称为▄σ和▄α调整后的波动率和调整后的风险水平。因此，在没有模型不确定性的情况下，一个具有▄σ=σ=σ和▄α=α，调整后的参数与原始参数一致，G-VaR与传统的正常VaR一致。否则，模型不确定性以区间[σ，σ]为特征，G-VaR变得更为保守，值越高，因为它应该是，在调整后的波动率▄σ的较大值和调整后的风险水平▄α<α的较小值的共同影响下。保守性程度由两个波动率参数{σ，σ}控制：模型不确定性越大，G-VaR越保守。请注意，G-VaR的这一特性是直观的，因为VaR可以非正式地视为给定时期内的最大损失（在排除最坏结果的给定分数后）。在第5节中，我们将展示如何从returndata估计这些参数，其中数据自适应窗口将最终确定给定风险水平参数α的潜在波动性参数（σ，σ）。在一个更具方法论的问题上，人们可能会问，我们在本研究中提出的关注一系列分布中最坏情况下的VaR是否合理。为了解决这个问题，我们认为，鉴于金融市场固有的模型不确定性，一个相关的问题是从不同的模型中寻求“最佳”的分析汇总。

我们的方法可以通过两种方式进行调整。首先，从理论角度来看，次线性期望理论为最坏情况下的G-VaR提供了一个严格的推导。第二，第6节中的数据分析表明，与现有基准VaR预测值相比，G-VaR在经验上表现良好。事实上，人们可以在某些高层将G-VaR视为有限正态模型{N（0，σ）：σ中的一种特殊聚合方法∈ [σ, σ]}. 因此，人们不禁要问“是否有其他聚合机制会不那么保守，但仍会导致少量违规”。由于这个问题相当普遍，似乎很难完全准确地解决它。相反，我们可以在这里提出一个与Gospodinov和Maasoumi（2018）提出的最新方法进行比较的方法，该方法用于聚合不符合规格的模型。本文提出了一种用于模型平均的广义聚合方法，并将其应用于资产定价。该方法适用于一定数量的“错误指定模型”进行聚合。注意，我们通过一系列分布Fθ（·），θ来定义G-VaR模型∈ L(Ohm ×[0，T]，[σ，σ]）与正态分布的有限族有关{N（0，σ）：σ∈ [σ, σ]}. 因此，考虑正态分布N（0，σi）的有限个数（如m）的平均聚合方法是很自然的，其中σi∈ [σ，σ]，i=1，2，····，m。设Fi（·）为正态分布N（0，σi）（1）的累积分布函数（c.d.f.）≤ 我≤ m） 。在Gospodinov和Maasoumiti中实施平均聚合机制。作者感谢推荐G-VaR这一有价值解释的裁判。作者感谢推荐使用其他聚合方法进行讨论的裁判。（2018年）考虑c.d.f。

形式为▄Fω（x）=mXi=1ωi（Fi（x））p1/p，x∈ R、 （4.9）其中权重ω=（ω，ω，···，ωm）satisfyPmi=1ωi=1，ωi≥ 0和p>0是一些“形状”参数。设F（·）和Fm+1（·）分别为两个边界正态分布N（0，σ）和N（0，σ）的c.d.F。如果x<0，我们有f（x）≤ Fi（x）≤ Fm+1（x），i=1，2，····，m和thusF（x）≤Fω（x）≤ Fm+1（x）。对于任何给定的风险α<0.5和风险头寸X，如下所示：，-F-1ω(α) ≤ -F-1m+1（α）≤ G-VaRα（X），其中▄F-1ω（·）和F-1m+1（·）分别是Fω（·）和Fm+1（·）的反函数。这些结果表明，这种特殊的平均聚合方法导致的VaR不太保守，但平均违规次数比G-VaR高。请注意，这里的比较非常特殊，平均聚合方法仅限于有限数量的正态分布。因此，我们仍然不知道是否存在任何其他的VaR聚合方法，其保守性低于G-VaR，但违规次数较少。5 G-VaR的实现在实施G-VaR（4.4）时，主要任务是估计潜在G-正态分布的参数。设{Xt}0≤t型≤t风险资产的回报时间序列。在每个时间t，目标是使用可用值{Xs}0的历史来预测给定水平α下Xt+1的VaR≤s≤t、 下面，让windowW为交易日的长度，用于估计参数（σ，σ）。为了预测G-VaR模型中Xt+1的VaR，数据{Xs+1}tt-W、 即，假设时间t之前的长度W的历史是独立的，且呈G-正态分布，N（0，[σt，σt]）。重要的是要提醒读者，这里使用的独立性和分配质量的概念并不是经典的概念，而是在SLEE[·]：=supθ理论下的概念∈ΘEθ[·]。

附录详细介绍了这些新概念。Brie fly，在SLE下，如果φ，两个随机变量和分布相同∈ Cl.Lip（R），E[φ（Y）]=E[φ（Y）]。对于每个ψ，一个随机变量Yis被称为独立于Yif∈ Cl.Lip（R×R），我们有E[ψ（Y，Y）]=E[ψ（Y，Y）]Y=Y]。注意这种独立性的顺序：Yis独立于ydo的事实并不意味着Yis独立于Y。一般来说，我们说Ynis独立于（Y，····，Yn-1） ，ifE[φ（Y，···，Yn-1，Yn）]=E[E[φ（y，···，Yn-1，Yn）]y=y，····，Yn-1=Yn-1] ，对于任意φ∈ Cl.Lip（Rn）。Jin和Peng（2016）中的定理24表明，如果X，···，xn从参数（u，u）的最大分布中形成大小为n的i.i.d.样本，其中：。i、 d.处于SLE，则u≤ 最小值{X，···，Xn}≤ 最大{X，···，Xn}≤ u.此外，^u=max{X，···，Xn}是上均值u的最大无偏估计量，而^u=min{X，···，Xn}是下均值u的最小无偏估计量。彭（2017）将这种估算方法称为“最大平均值计算”。准确地说，我们假设Xt+1遵循N（0，[σt，σt]），t>0。对于每个固定t，数据{X't-s} 0个≤s≤W-1用于估计两个参数σ′和σ′t，以预测X't+1的VaR。让W≤ W是窗口宽度。然后采用以下移动窗口方法。对于每个时间s，设^σs，W=^σs，W（Xs-W+1，···，Xs）=WWXj=1Xs-j+1为样本方差（Xs-W+1，Xs），即时间s之前的长度wb的历史。设k=bWWc为满足kW的最大整数≤ W、 定义σ′t，k=最大σ′t-s、 W：s=0，W，2W，···，（k-1） W}，σ′t，k=最小{σ′t-s、 W：s=0，W，2W，···，（k-1） W}，σ′t，W=最大{σ′t-s、 W：0≤ s≤ W- W} ，σ′t，W=最小{σ′t-s、 W：0≤ s≤ W- W} 。Peng（2019）表明，G-布朗运动的二次变化过程遵循最大分布（见参考文献第60页）。

因此，二次变量hxit+1遵循区间[σt，σt]的最大分布。根据Jin和Peng（2016）的定理24，σ′t，kis是上均值σ′t的最大无偏估计量，σ′t，kis是下均值σ′t的最小无偏估计量。此外，σ′t，kandσ′t，kconverge toσ′andσ′tas W→ ∞, 分别地还要注意σ′t≤ ^σ′t，W≤ ^σ′t，k≤^σ′t，k≤^σ′t，W≤ σ′t，因此σ′t，Wandσ′t，W接近σ′和σ′t→ ∞. 这些表明，在给定的W历史数据长度和W下，我们可以使用^σ′t、Wand^σ′t、Wto估计σ′t和σ′t。总之，在给定的时间't+1，需要进行VaR预测，通过确认长度为W，{Xt}t的历史数据中的模型不确定性-W<t≤\'t，X\'t+1遵循G-正态分布N（0，[σ\'t，σ\'t]）。此外，两个参数σ′和σ′t可以分别由估计量σ′t、Wandσ′t、W很好地近似。因此，根据（4.7），X't+1级α的VaR的最终G-VaR估计值为G VaRWα，'t（X't+1）=-n^FW'至-1（α），（5.1），其中^FW’t（x）=^σ’t，W^σ’t，W+^σ’t，WΦ（x^σ’t，W）I（x≤ 0)+1.-2^σ′t，W^σ′t，W+σ′t，WΦ(-x^σ′t，W）I（x>0）。（5.2）Fang等人（2019）提供了这些估计在次线性期望下的收敛速度。注意，对于给定的W和α，我们得到了不同的^σ′t、Wand^σ′t、Wdependingon W。因此，可以将Wc解释为分布不确定性的度量。这个参数wp在我们的分析中起着重要作用，我们在以下条件下将其函数形式化。条件5.1。返回序列{Xt}0≤t型≤对于给定的窗口W和风险水平α，存在一个窗口大小为1的属性≤ W≤ W以至于Limn→∞n- WnX't=WI（X't+1<-G-VaRWα，\'t（X\'t+1））=α。当满足条件5.1时，我们说返回序列对于给定对（α，W）有一个自适应窗口wf。

因此，该条件保证了整个数据集{Xt}1的经验违规百分比和G-VaR度量G-VaRWα，tin（5.1）之间的一致性≤t型≤t历史窗口大小W和估计窗口大小W。基于大量数据分析，条件5.1在许多实际情况下似乎相当令人满意。如前所述，本文假设观测值由许多模型（或分布）而非单个模型描述。使用SLE理论并采用最坏情况，可以通过G-正态分布N（0，[σ，σ]）来评估给定风险水平α和时间t下的VaR。参数W可以解释为最坏情况下最适合返回数据的持续时间。此外，正如第6.3节中的实验所证实的那样，该参数取决于风险水平α和历史窗口大小W。例如，在较高的置信水平（较低的α水平）下，较低的W值可达到较高的保守性，从而产生更大的波动区间[σ，σ]。因此，在实际数据分析中，例如在第6节中，对于给定的一对（W，α），我们首先检查是否存在自适应窗口大小，请参见条件5.1。只有在找到这样的W之后，G-VaR预测才可能实现。根据第6节中的实证研究，我们将表明，对于纳斯达克综合指数和标准普尔500指数，确实可以找到适用于各种风险水平α的自适应窗口。然而，对于我们也分析过的CSI300指数，对于区域合理的历史窗口大小W和风险水平α>5%，未发现自适应窗口大小WC。对于给定的风险水平，文献中已报道，VaR模型的参数可能取决于风险水平α。例如，Kuester等人。