双重多数和普遍脱欧：违反直觉的解释

我们在附录B中对其进行了详细分析，并在表1中总结了可能的情况，注意到联盟地位的每一次变化是如何影响枢轴的：x∈ c#c重量范围枢轴变化X/∈ c 0- 14 0 1 0 Lto Lx∈ c 0- 15 0 1 0 Lto Lx/∈ c 15 0 q（1- wx）0 Lto Lx/∈ c 15 q（1- wx）最小值{q（1-wx）+wvq}1 Lto wx/∈ c 15 q（1- wx）+wv1 1 Lto wx/∈ c 16- 27 0 q（1- wx）0 Lto Lx/∈ c 16- 27 q（1- wx）最小值{q（1-wx）+wvq}1 Lto wx/∈ c 16- 27 q（1- wx）+wvq0 Lto wx/∈ c 16- 27 qq（1- wx）+wv0 W2,3至wx/∈ c 16- 27最大{q（1-wx）+wvq}q+wv-1 W2,3至Wx/∈ c 16 q+wv1-1 Wto Wx/∈ c 17- 27 q+wv1 0 Wto Wx∈ c 16 0 q0 Lto Lx∈ c 16 qmin{q（1-wx）+wxq+wv}-1世贸Lx∈ c 16 q（1- wx）+wxq+wv0 Wto wx∈ c 16 q+wvq+（1- q） wx公司-1世贸Lx∈ c 16最大值{q+（1-q） wxq+wv}q+（1- q） wx+wv0 Wto wx∈ c 16 q+（1- q） wx+wv1 0世贸wx∈ c 17- 28 0 q0 Lto Lx∈ c 17- 28 qmin{q+（1-q） wxq+wv}-1世贸Lx∈ c 17- 28 q+（1- q） wxq+wv0 Wto Wx∈ c 17- 28 q+wvq（1- wx）+wx0 Wto Lx∈ c 17- 28最大{q+（1-q） wxq+wv}q+（1- q） wx+wv1世贸wx∈ c 17- 28 q+（1- q） wx+wv1 0 Wto表1：x国退出欧盟28个国家后v国联盟地位的变化及其对各联盟支点的影响（1表示从非支点到支点的变化，-1–从关键到非关键，0–独立性没有变化）因此，选民x退出后，选民v的班扎夫权力的变化可以表示为：（v） n=ψn（v）- 2ψN-1（v）=（13）Prw（c）∈q（1- wx），minnq（1- wx）+wvqo,x个/∈ c#c≥ K- 1.（14） +公关部w（c）∈q（1- wx）+wv，1,x个/∈ c#c=K- 1.(15)- 公共关系w（c）∈maxnq（1- wx）+wvqo，q+wv,x个/∈ c#c≥ K(16)- 公共关系w（c）∈q+wv，1,x个/∈ c#c=K(17)- 公共关系w（c）∈q、 minnq+（1- q） wxq+wvo,x个∈ c#c≥ K(18)- 公共关系w（c）∈q+wv，q+（1- q） wx公司,x个∈ c#c=K（19） +公关部w（c）∈maxnq+（1- q） wxq+wvo，q+（1- q） wx+wv,x个∈ c#c>K,（20） 其中N=28，K：=dqNe=16。

再次注意，该公式仅在假设dqNe>dq（N）的情况下正确- 1） e.从Merrill开始[17]，研究人员用u=（1）近似所有联盟（无论大小）的权重分布- wv）和σ=Pni=1wi-wv（参见，例如，[4，21]）。基于这一想法，我们同样将采用正态分布来近似受规模约束的联盟的权重分布。众所周知，随机变量序列MN，其中MN是从sizeN、均值m和方差的有限总体中抽取的k大小样本的平均值，在分布上收敛到X~ N（m，σ），其中σ=qks1.-千牛[2, 6, 20, 7]. 在我们的例子中，我们正在采样k-2或k-1国家（取决于联盟是否定义为包括x国）N- 2（国家x和v的加入不是随机的）。相应地，组合c的集合Ck，ξ的权重分布，使得#c=k和c（x）=ξ可以通过参数为u（k，ξ）=（1）的正态分布来近似- wv公司- wx）k- 1.- ξN- 2+wv+ξwx，（21）σ（k，ξ）=k- 1.- ξN- 2.1.-k- 1.- ξN- 2.NXi=1wi- wv公司- wx公司-1.- wv公司- wxN公司- 2.!,（22）当一个集合的权重分布Ck，ξ的联合c使得#c≥kand 1c（x）=ξ–通过参数为u+（k，ξ）=PN的正态分布-1+ξk=ku（k，ξ）N-2公里-1.-ξPN编号-1+ξk=kN-2公里-1.-ξ= (23)= (1 - wv公司- wx）PN-1+ξk=kN-3k-2.-ξPN编号-1+ξk=kN-2公里-1.-ξ+ wv+ξwx=（24）=1- wv公司- wxN公司- 2.k- 1.- ξ+Θ（N，k，ξ）+ wv+ξwx，（25），其中Θ（N，k，ξ）：=N-2公里-ξF2，k-N-ξ+2k-ξ+1; -1.N-2公里-ξ-1.F1，k-N-ξ+1k-ξ; -1., （26）和σ+（k，ξ）=PN-1+ξk=kσ（k，ξ）+u（k，ξ）N-2公里-1.-ξPN编号-1+ξk=kN-2公里-1.-ξ- u+（k，ξ）。（27）（27）也可以用超几何函数表示，但为了避免过于冗长，我们将以上述形式保留。（13） 现在可以用正常的c.d.f.表示。

(Φ):^（v） =Φminnq（1-wx）+wvqo- u+（K- 1，0）σ+（K- 1, 0)!N- 2公里- 2.- Φq（1- wx）- u+（K- 1，0）σ+（K- 1, 0)!N- 2公里- 2.+1.- Φq（1- wx）+wv- u（K- 1，0）σ（K-1, 0)!N- 2公里- 2.-Φq+wv- u+（K，0）σ+（K，0）！+Φmaxnq（1-wx）+wvqo- u+（K，0）σ+（K，0）！N- 2公里- 1.-1 + Φq+wv- u（K，0）σ（K，0）!N- 2公里- 1.-Φminnq+（1-q） wxq+wvo- u+（K，1）σ+（K，1）！+Φq- u+（K，1）σ+（K，1）！N- 2公里- 2.- 最大值0，Φq+（1- q） wx公司- u（K，1）σ（K，1）- Φq+wv- u（K，1）σ（K，1）!N- 2公里- 2.+ Φq+（1- q） wx+wv- u+（K+1，1）σ+（K+1，1）！N- 2公里- 1.- Φmaxnq+（1-q） wxq+wvo- u+（K+1，1）σ+（K+1，1）！N- 2公里- 1., （28）其中nk公司:=nXi=k镍=nk公司F1，k-nk+1；-1.. （29）如图2所示，正态近似法对小国的效果相当好（尽管仍有少量低估），但对较大的国家会产生很大的误差。原因与EUweight向量的一个特点有关：虽然大国占欧盟人口的70%以上（确切地说是70.3604%），但只有六个国家。因此，投票权重的分布可以看作是以几个峰值为中心的混合高斯分布（每个高斯分布都非常接近小国权重的分布）。对于六个国家来说，这些峰值是numberousenough（大国集合的子集多达2个，尽管法国、英国和意大利在人口方面非常接近，但不同峰值的数量实际上大约为2），如图3（a）所示，这种混合近似为单峰型，因此可以通过正态分布很好地近似。

但当一个大国退出欧盟，我们估计v对于另一个大国，大国的抽样人口减少到4人，不同峰值的数量呈指数下降0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.00 0.02 0.04 0.06wx^图2：脱欧后和脱欧前Banzhaf电力的差异(v： =φv-φv），使用正态近似估计，作为国家投票权（即标准化人口）的函数。红色点对应的精确值为当前欧盟成员国。（见图3（b）），总体混合物分布不再近似正常，如图4（b）所示。其多模态导致图2所示的近似误差。图2未显示在图1上观察到的非单调性。只有当我们用退出前的投票权ψ（v）来划分班扎夫权力的变化时，才会出现这种情况。该数量也可以使用正态近似进行估计（sowe仍然可以通过分析公式描述退出的影响，但代价是引入另一个近似误差源）：ψ（v）≈ 2.-28N- 1公里- 1.1.- Φq- u*（K） σ*（K） ！！+2.-28N- 1公里F1，K+1- NK；-1.Φq+wv- u*+（K） σ*+（K） 哦！0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0（a）∑wf（w）0.0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50 1 2 3 4 5（b）∑wf（w）图3：联盟权重分布的密度函数f，仅从（a）前6个欧盟国家和（b）前4个欧盟国家的人口中抽样（通过核密度估计获得）。

请注意，随着人口规模接近1.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0（a）∑wf∑w 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00 1 2 3（a）∑wf∑w图4：由（a）瑞典和丹麦、（b）英国和波兰组成的联盟权重分布的密度函数f，从其余成员国中抽取14个国家（黑线），用（21）和（22）给出的参数（红线）绘制近似正态分布的密度图。近似值的质量取决于可以抽样的大国数量的基数——第一个地区有六个，第二个地区有四个。- 2.-28N- 1公里F1，K+1- NK；-1.Φq- u*+（K） σ*+（K） ！，（30）其中u*（k） =（1）- wv）k- 1N- 1+wv，（31）（σ*)（k） =k- 1N- 1.1.-k- 1N- 1.NXi=1wi- wv公司-1.- wvN公司- 1.!, (32)u*+（k） =1- wvN公司- 1.k- 1+Θ（N，k，0）+ wv，（33）和（σ*+)（k，ξ）=PNk=k(σ*)（k） +（u*)（k）N-1公里-1.PNk=kN-1公里-1.- (u*+)（k） 。（34）同样，得出的近似值更适用于小国：0.00 0.05 0.10 0.150.04 0.08 0.12 0.16wiψi图5：欧盟成员国的精确Banzhaf幂值ψ（i），其中i=1。。。，28（黑点）及其作为投票权重wi函数的正态近似值（红点）。-7.-6.-5.-4.-3.-21.00 1.10 1.20 1.30log wiψi27ψi28图6：英国以外的欧盟成员国脱欧后和脱欧前的班扎夫功率值的比率（分别为ψi和ψi），作为votingweight wi的函数。黑点表示精确值，而红点表示法线近似值。图6表明，即使在正态近似下，大国也会出现不同的效应模式。这表明，这种影响是双重多数投票规则所固有的。

尽管如此，罗马尼亚和波兰之间的明显不连续性以及波兰、西班牙和意大利之间的非单调性似乎只适用于精确值。这反过来表明，它们是由欧盟（少数大国）的分布特点造成的，这导致正常近似在这些情况下失效。4.4 N.N.-出口。虽然[19]已经注意到大国和小国脱欧效应之间的差异，但它们的非单调性似乎没有引起早期研究人员的注意。这种影响也不是英国脱欧所特有的：我们分析了当前28个成员国中每一个国家在其他国家退出28国联盟（N.N.-退出）的情况下投票权的变化。