金融市场的三态意见形成模型

1（b）我们认为是亚稳态，其中状态=1（黑色）是系统的主要状态。通过进一步运行它，我们检查了多数州运河是否会振荡为多数州s=2（红色）和s=3（黄色）。通过计算每个状态下的代理分数Ns（t）=Ns（t）/N以及序参数M（t）的大小作为时间的函数，我们发现了图2所示的相对种群的典型时间演化。图2（b）所示的ns（t）的行为可以验证主要振荡参数n。回顾有序参数的波动在热力学极限的临界点发散，通过增加对立者的数量破坏有序意见的局部逻辑，使系统远离临界性，从而降低磁化的相对时间波动的幅度，这，在对该系统进行财务解释的背景下，可能意味着市场稳定性的提高。在时间t的一瞬间，我们将把该模型磁化强度M（t）的时间变化与金融资产（例如股票或指数基金）的对数回报r（t）联系起来，了解三种可能的观点或状态中的每一种∈ 例如，{1，2，3}个代理人意图购买该资产的一个单位，出售该资产的一个单位，或不做任何事或使其处于非活动状态。我们根据磁化率（t）确定时间t的对数回线≡ ln【M（t）】- ln[M（t- 1） （4）其中，M（t）是一个正的有限质量，可以解释为资产价格的一种度量。我们还应确定资产的波动性，作为价格相对变化在时间上的分散度：v（t）≡ |r（t）|，（5）即，我们将波动率定义为对数回报的绝对值。

现在，我们研究该模型生成的收益时间序列的统计特性。在图3中，我们展示了该模型在q=0.16和两种不同浓度的对映体（f=0.00和f=0.50）下产生的时间序列示例。如图所示，逆向因素的存在显著降低了钢筋混凝土中的结构尺寸。从定性上看，也可以清楚地看到，在没有反向波动的情况下，时间序列表现出波动性聚类，这是Mandelbrot首次确定的实时收益序列的一个众所周知的特征，即大（小）波动往往紧随大（小）波动。这表明，非线性相关性的度量，即波动性的相关性，应该表现出对记忆和时间序列结构的这种影响[1，3，25]。波动性集群是真实金融时间序列的一个基本特征，在泡沫和金融崩溃时期尤为突出，通常反映了驱动市场的羊群行为的集体机制，这与投资者在金融系统中完全理性行为的基本假设相矛盾【20】。为了量化波动率聚类对波动率长期记忆的影响，我们定义了其自相关函数：ρ（τ）≡PT公司-τt=1[| r（t）|- h | r | i][r（t+τ）|- h | r | i]PTt=1[| r（t）|- h | r | i]（6）图4显示了不同浓度对比剂的对数返回绝对值的自相关函数的行为，值为q=0.16，时间T=15000。此外，为了进行比较，我们展示了从1958年12月12日至2018年6月25日，共计15000天的标准普尔500指数收盘值的每日对数收益的自相关函数。

从图中可以清楚地看到，真实数据和模拟之间存在定性一致，S&P500曲线介于f=0.00和f=0.10之间。正如Vilela等人[10]提出的2态模型和Bornholdt模型[4，6]一样，我们观察到波动性的时间序列表现出长程记忆，这与非平稳实时序列的主要特征一致。事实上，正如自Mandelbrot首次观察以来在实际金融数据中观察到的那样，波动率的自相关性通常以幂律形式下降，这表明收益绝对值时间序列缺乏特征时间尺度。从图4可以明显看出，在大约τ的时间延迟后，与该尺度不变系统的偏差最终会出现≈ 10，根据所允许的拉伸指数衰减。这种衰减反映了在模拟和s&P500的时间序列中提供的数据样本的细节。（a） （b）（c）（d）图1：具有周期性边界条件的gents正方形网络上模型的蒙特卡罗模拟快照。每个方块代表一个代理，三个可用状态用黑色、红色和黄色表示。这些模拟的噪声参数为q=0.12，（a）的反向分数等于f=0.0，（b），（c）和（d）的反向分数等于f=0.5，其中黑色、红色和黄色分别为多数状态。0 2000 40008000 10000t0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0n（t）n（t）n（t）M（t）（a）0 10 20 30 4070 80 90 100t0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0n（t）n（t）n（t）M（t）（b）图2：三种状态中每种状态的药剂分数的时间演化，对于q=0.12，NS1（黑色）、2（红色）和3（黄色）。sy系统的序参量M的大小以蓝色显示。

（a）和（b）的分数分别为：f=0.00和f=0.50。作为一种比较方式，我们将f=0.00的自相关函数的fits（虚线）和S&P500的经验数据发送到幂律，即ρ（τ）~ τ-η、 在相同的时间段。其指数为η=-f=0.00且η=-标准普尔500指数的日波动率为0.0664±0.0005，这表明模拟数据和实际数据之间的相关性衰减率顺序一致。对模型产生的收益时间序列的自相关函数的计算表明，收益基本上是不相关的，这一特征与有效市场假说一致[3]。这如图5所示，其中绘制了对数r e t r n的自相关函数，用于模拟两种不同浓度的反向变量f=0.00和f=0.50的动力学，还显示了S&P500日收益率的自相关函数，用于比较。在没有承包商的情况下，真实财务数据和模拟之间的一致性非常明显。在f=0.50的情况下，很明显，虽然长期不相关，但短期内存在衰减的反持久振荡，其起源可以很快追踪到系统的周期性行为，这是由不断寻求占据瞬时全球少数民族状态的大量对立分子引起的。我们现在继续研究由三态模型生成的时间序列的收益分布。如前所述，图3清楚地说明了随着对冲基金数量的增加，回报波动幅度的减少。如图6所示，回报分布的尾部可以捕捉到这种影响。

很明显，反角分裂的增加会导致尾部重量的减少，反角弯曲的可能性会降低。结果是，对于f的高值，分布会失去其fat tail并变为高斯分布，这与过于简单和宽泛的结果一致：1000 2000 3000 4000t-3-2-1f=0.00f=0.50FIG。3： 噪声参数q=0.16和浓度f=0.00和f=0.50的对数回归时间序列。在没有协变量的情况下，时间序列明显表现出波动性聚类。τ-1f=0.00f=0.10f=0.20f=0.30f=0.40f=0.50S&p500图。4： 噪声参数q=0.16和不同浓度的污染物的波动率自相关函数：f=0.00、0.10、0.20、0.30、0.40、0.50。Alsoshown是1958年12月12日至2018年6月25日期间标普500指数收盘价每日波动率的自相关函数，总计15000天。虚线对应幂律的fits。由几何布朗运动（Geometric BrownianMotion）给出的金融市场模型，通常用于衍生定价的B-lack-Scholes计算[3]。为了量化收益分布从厚尾细库尔特区向高斯中库尔特区的过渡，以及可能向紧支板库尔特区的过渡，我们考虑了对称耦合指数族的分布【26，27】。这种分布族定义为：Pσ，κ，α（r）≡“Z（σ，κ，α）1 + κrσα1+κακ+#-1（7）0 10 20 30 40 60 70 80 90 100t-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0S和P500f=0.50f=0.00图。5： 噪声参数q=0.16和两种浓度的反差的对数反转的自相关函数：f=0.00和0.50。

Alsoshown是从1958年12月12日至1959年3月22日，共100天的标准普尔500指数收盘值的日回归的自相关函数-6-4-2 0 2 4 6r-6-5-4-3-2-1f=0.00f=0.10f=0.20f=0.30f=0.40f=0.50图。6： 噪声参数q=0.16和各种浓度的污染物的对数回报分布：f=0.00、0.10、0.20、0.30、0.40、0.50。其中σ、κ和α是函数和（a）的参数+≡ 最大值（0，a）。在非扩展统计力学的解释中，我们将形状参数κ称为非线性统计耦合，将σ称为尺度参数，非扩展统计力学被用作金融市场和其他复杂系统的模型。这一系列分布的特点是，它能够以非常自然的方式捕捉上述过渡。事实上，当κ>0时，该函数表现出一种重尾衰减。当k=0时，该函数是广义d高斯分布。什么时候-1<κ<0，函数是具有紧支集的分布。此外，如果α=2，则函数为耦合高斯分布：κ=0，则为高斯分布；当κ>0时，自由dom度为κ倒数的Student t分布，ν=1/κ。因此，非线性静态耦合能够提供从aleptokurtic状态到platykurtic状态过渡的数值度量-2-1 | r |-6-5-4-3-2-1f=0.00f=0.10f=0.20f=0.30f=0.40f=0.50图。7： 噪声参数q=0.16的波动率分布和各种相反浓度：f=0.00、0.10、0.20、0.30、0.40、0.50。曲线对Q中定义的对称耦合指数分布的拟合。

（7） 以虚线表示。我们确定α=2，并使用耦合高斯分布来拟合对数回报绝对值的直方图，该直方图用于衡量时间序列的波动性，并重点关注非线性耦合参数的行为作为反转数的函数。根据这个公式，耦合高斯分布的重尾b e haveas Pσ，κ，2（r）~ |r|-(1+κ)/κ~ |r|-(1+ν). 图7显示了不同浓度对映体的对数回归绝对值的分布及其对式（7）定义的函数的影响。0.0 0.1 0.2 0.3 0.40.5f-0.050.000.050.100.150.200.250.300.350.400 0.1 0.2 0.3 0.40.5f0.000.100.200.300.400.500.600.700.80图。8： 噪声参数q=0.16和各种浓度的控制器返回分布的耦合和比例参数：f=0.00、0.02、0.05、0.10、0.15、0.20、0.25、0.30、0.35、0.40、0.45、0.50。水平虚线表示高斯分布κ=0的非线性耦合值。在图8中，我们给出了非线性耦合参数κ的值和这些函数的标度σ。注意，耦合高斯分布的非线性耦合参数κ随f单调递减，为随着f的高值分布接近高斯分布时重尾的逐渐损失提供了数值证据。事实上，对于f的值≥ 0.4, κ ≈ 0，表示分布近似为高斯分布。

此外，κ虽然约为零，但对于更高比例的反转体，其值为负，这表明动力学确实可能在反转体非常高的反持续振荡状态下产生致密支撑分布。因此，非线性统计耦合能够捕获系统行为的复杂性，通过数值测量从重尾区域到非重尾区域的变化。尺度参数σ是标准偏差在耦合指数族中的推广，当f值大于0.05时，它会减小。这与减少对数收益变化的合约交易者比例的增加是一致的。因此，反向交易者通过减少对数收益分布的规模和形状或耦合来减少变量。然而，很明显，对于f<0.05，分布的广度有显著差异。这在图中可以定性地表示出来。6和7，其中，对f=0.00曲线相对于其余指数的目视检查表明，尾部指数更大，但标度较小，约为分布对数图的拐点。这表明，在σ达到峰值的f=0.05附近，分布尺度的行为发生了变化，即使统计耦合随f.0.050.100.150.200.250.300.350.400.45 0.50fFIG严格单调递减。9： anoise参数q=0.16和不同浓度的协变量的收益分布的超额峰度。

水平虚线表示高斯分布的峰度值γ=0。极端峰度γ的行为进一步证实了从轻风库尔特向中库尔特的过渡≡ hri/hri-如图9所示，返回分布本身，作为其尾部重量的度量。回想一下，阿高斯分布的过剩峰度为γ=0。从图中可以清楚地看出，越来越多的反向者倾向于消除分布的重尾，将过渡带变成高斯区域，f.-6-4-2 0 2 4 6r-6-5-4-3-2-1q=0.10q=0.12q=0.14q=0.16q=0.18q=0.20图。10： 当q=0.10、0.12、0.14、0.16、0.18、0.20时，在相反变量f=0.00的情况下的对数收益分布。图10显示了在没有相反变量的情况下，q的不同值的对数回归分布。MVM3动力学的一个有趣的特征是，即使在没有反向变量（f=0.00）的情况下，作为ass et回报表示的顺序参数的相对性也可以仅通过噪声参数q来控制。正如预期的那样，在q<<qc的有序状态下，系统的连续磁化中的波动非常小，因此会导致收益和波动非常小的状态。接近临界点，即磁化中的磁导率在热力学极限中发散，表明从低变化状态过渡到更大磁导率的湍流状态，如图所示。当查看图11时，模型的行为会呈现出更全面的图片，其中我们展示了模型参数不同对值（q，f）的拟合参数κ和σ的热图。

从非线性静态耦合的热图中可以额外增加c t的第一个特征是fκ的单调递减，因此，随着噪声参数q的任何固定值的反比分数的增加，从轻轨状态到平轨状态的转变。事实上，如果f值足够高，K变为负值，这表明，这些分布不仅在接近高斯体系时失去了肥硕的尾巴，而且最终也会转变为一种状态，在这种状态下，它们表现出相似的支持度（κ<0），如图8所示。从热图中可以清楚地看出，对于固定的q，随着反向变量比例的增加，从重尾到完全尾损失的过渡沿f轴发生得更快，因为q值越小。这些观察结果表明，非线性统计耦合能够捕获系统复杂性的程度，正如分布尾部的行为所反映的那样。比例尺参数的热图与我们对图8的讨论一致，图8显示，对于固定的Q值，对于较小的f值，σ迅速增加，达到最大值，因此对于较大比例的反差，s减小。因此，即使小值的尺度外参数（作为分布宽度的度量）很小，分布仍然显示出重尾，非线性耦合κ证明了这一点。请注意，对于固定的q值，sc ale参数似乎始终在相同的f值附近出现峰值。然而，对于较小的q值，比例参数中的这种转变的峰值比高的q值更宽。对于记录的s最小的f值（f=0.01），人们还可以理解，对于非常小的噪声参数值（q≤ 0.01），σ随q单调增加。