随机条件下看涨期权价格的高阶近似

对近似值进行比较时，需要考虑两个重要方面：定价公式的实际精度和公式的效率，以特定定价任务所需的计算时间表示。我们的下一个目标是说明在Heston模型中，ρ和ν的各种值的买入价格的近似质量，同时通过Gatheral（2006）中提到的轻微修改保持另一个，以避免受到“Heston陷阱”的影响。固定参数。我们将价格误差理解为对数标度中的相对误差。图1显示了这种情况下的买入价格近似值，其中volvol参数νa和瞬时相关性ρ的绝对值都很小。我们观察到，在这种情况下，误差阶为O（ν）的近似公式通常比误差阶为O（ν）的公式性能更好。然而，对于τ=3，在一些OTM ca中存在例外情况。当误差在10左右时，具有O（ν）阶误差的看涨期权价格近似要好得多-7.- 10-在图2中，我们处理的情况是，ν很小，而ρ接近1。我们观察到，新的近似公式的性能明显优于先前已知的公式。近似误差在10范围内-4.-10-8对于误差项为O阶（ν）的公式，以及误差项为O阶（ν）的公式，近似误差在范围内-7.- 10-图3涉及高挥发性ν和ρ的小绝对值的情况。我们观察到，这三个近似公式表现出相似的性能。

误差阶为O（ν）的近似公式似乎性能稍好，但相差不大。图4说明了当两个参数都不适合近似值时公式的性能，例如，当ν=50%和ρ=-0.8.产生的误差如图4所示。在这里，我们观察到近似值具有类似的质量。误差项为O（ν）阶的近似公式的性能似乎优于其他公式，而误差项为O（ν）阶的近似公式仅在较短的时间间隔内性能更好。我们已经观察到，当|ρ|为1，而ν较小时，本文中得到的近似公式的性能优于先前已知的公式。另一方面，如果ν较大，则性能的改善并不显著。为了表明在参数ν值较大的情况下，近似值的清晰度也可以提高，我们将基准价格与其在零相关情况下的近似值进行了比较。在图5中，我们展示了低波动率的情况。O（ν）和O（ν）公式都表现得相当好，误差很小，但新近似的表现比已知的要好得多。图6显示了当ν较大时，不相关Heston模型中的近似值。

我们可以看到，本文中得到的O（ν）阶近似公式的性能远远优于先前已知的公式，尤其是在长期情况下。我们选择以下参数值：S=100；r=0.001；v=0.25；κ = 1.5; θ = 0.2.执行价格50 60 70 80 90 100 120 130 140 150相对价格误差-10-8-6-4τ=0.25执行价格50 60 70 80 90 100 120 140 150相对价格误差-10-8-6-4τ=1执行价格50 60 70 80 90 100 120 140 150相对价格误差-9-8-7-6-5τ=2执行价格50 60 70 90 100 120 140 150相对价格误差-9-8-7-6-5τ=3图1：三种不同价格的比较近似公式和参考价格。该图表示在四个不同时间段期权行使的对数比例中的相对价格误差。蓝线表示O阶误差项（ν）的近似值，红线表示O阶误差项（ν）的近似值，黄线表示O阶误差项（ν）的近似值。参数为ρ=-0.2，ν=5%，S=100，r=0.00 1，v=0.25，κ=1.5，θ=0.2。建议d定价近似值的主要优点之一是其计算效率。为了比较花费在计算上的时间，设置了三个定价任务。我们使用了一批100种不同的看涨期权，具有不同的行使和到期时间，包括OT M、ATM和具有短期、中期和长期到期时间的ITM选项。第一项任务是根据100个（统一）随机抽样参数集评估批次中期权的价格。这需要与具有非常好的初始gues的市场校准任务中类似数量的价格评估。