驾驶员激增定价

我们的想法是，如果我们发现集合A、B，边际利用率相等（L（A）=L（B）>0），集合A中的收益率支配集合B（γ（A）>γ（B）中的收益率，一∈ A、 b类∈ B） ，那么我们可以用A：σ=σ替换策略中的B∪ A\\B==>R（w，σ）>R（w，σ）。奖励的分母保持不变，分子增加。根据假设和定义得出的一些事实：L（A）>0σ6=（0，∞), F（{τ：γ（τ）>0}∩ σ) < 1c:L（Bc）>0 F（{τ：γ（τ）>0}∩ σ） >0L（Ac）在c中不随c的增加而增加SL（Bc）在c中不随c的增加而减少LC→∞L（Ac）=0γ（τ）渐近有界于defnL（B）=0γ（τ）非负（Ac），L（Bc）在cTo中保持连续。请参见最后一个声明，请注意，L（Ac）和L（Bc）仅在F（{τ：γ（τ）=c}）为非零的情况下才是不连续的，即使在这种情况下也是从左侧连续的。非递增/非递减属性意味着C使L（Ac）<L（Bc），c>c。这个事实，连同左连续性和L（Ac），L（Bc）的相同不连续点，意味着c使c=最大值{c:L（Ac）≥ L（Bc）}如果L（Ac）=L（Bc），那么我们就完成了这部分：设σc=σ∪ Ac\\Bc={τ：γ（τ）≥ c} ，我们有R（w，σc）>R（w，σ）。否则，如果L（Ac）>L（Bc）（如果F（{τ：γ（τ）=c}）非零，则可能发生这种情况），我们需要选择{τ：γ（τ）=c}的子集，以便构造集的总体利用率保持不变。我们可以这样做：o根据c的定义，对于所有c>cwe，L（Ac）<L（Bc）。然后L（Bc）<L（Ac）<L（Bc∪ {τ : τ ∈ σ、 γ（τ）=c}）o设c {τ : τ ∈ σ、 γ（τ）=c}，这样L（Bc∪ C） =L（Ac）。

这种C的存在是因为F是连续的设σc=σ∪ Ac \\（Bc∪ C） ，等于σC=σ>C∪ C对于某些C {τ：γ（τ）=c}。由于两组的利用率相同，我们现在有R（w，|σc）>R（w，σ），并且每个tripin|σCI在单位时间内的价值至少与σ中相应的trip相同。第2步。对于任何形式为▄σc=σ>c的▄σcof∪ c对于某些c∈ R+，C {τ：γ（τ）=c}，至少以下各项为真：R（w，σ>c）≥ R（w，σc）或R（w，σ≥c）≥ R（w，|σc）。设C={τ∈ {τ : τ ∈ σ、 γ（τ）=c}\\c}，即一组跳闸，使得γ（τ）=cbut不在c中。我们通过与边缘值阈值c相比，推断R（w，∑c）的值来证明这一步骤。o假设c≥ R（w，|σc）。然后，我们可以将行程添加到集合：R（w，{τ：γ（τ））≥ c} ）=λRτ∈σcw（τ）dF（τ）+λRτ∈Cw（τ）dF（τ）1+λRτ∈σcτdF（τ）+λRτ∈CτdF（τ）≥ R（w，|σc）（3），其中不等式来自R（w，|σc）=λRτ∈σcw（τ）dF（τ）1+λRτ∈σcτdF（τ），λRτ∈Cw（τ）dF（τ）λRτ∈CτdF（τ）=λRτ∈Cw（τ）ττdF（τ）λRτ∈CτdF（τ）=C，和xz≥怀俄明州==>w+xy+z≥wy.o或者，假设c<R（w，∑c）。然后，我们可以从集合中移除跳闸：R（w，{τ：γ（τ）>c}）=λRτ∈σcw（τ）dF（τ）- λRτ∈Cw（τ）dF（τ）1+λRτ∈σcτdF（τ）- λRτ∈CτdF（τ）>R（w，|σC）（4），其中不等式遵循wy>xz==>w-xy型-z> wywhen w- x个≥ 0，y- z≥ 0、步骤3。c*对于所有c:R（w，σ≥c*) ≥ 最大值（R（w，σ≥c） ，R（w，σ>c））在第一个子部分中，我们只需要证明存在一个最大化子c*对于函数max（R（w，σ≥c） ，R（w，σ>c））：这一事实不是立即发生的，因为σ是有限集。以下是正确的o假设w（τ）/τ是渐近有界的，我们得到的回报是有界的：存在R，因此对于所有σ，我们有R（w，σ）∈ [0，\'R]。oF是连续分布，所以limc→∞F（{τ：γ（τ））≥ c} ）=0。

存在这样的情况c>c：R（w，σ>c）<R（（0，∞)), R（w，σ≥c） <R（（0，∞))o R（w，σ>c）在c中从右起连续，R（w，σ≥c） 在c中从左边开始是连续的，这两个函数具有相同的不连续点：c使得F（{τ：γ（τ）=c}）>0（这些也是它们唯一的不一致点）。要了解这些事实，请观察F（σ>c）和F（σ≥c） 分别具有相同的属性。因此，函数max（R（w，σ≥c） c的R（w，σ>c））在某些c下达到最大值*∈ [0，C]。换句话说，存在c*因此c、 最大值（R（w，σ≥c*), R（w，σ>c*)) ≥ 最大值（R（w，σ≥c） ，R（w，σ>c））。在第二个子部分中，我们通过证明R（w，σ≥c*) ≥ R（w，σ>c*), i、 例如，我们可以在保险单的每一时间价值的边际上包含折扣假设c*≥ R（w，σ>c）*). 然后，通过与第（3）行相同的参数，R（w，σ≥c*) ≥ R（w，σ>c*),包括边际旅行会增加回报。o假设c*< R（w，σ>c*).– 如果B：c*< B使得质量F（{τ：γ（τ））∈ （c）*, B] }）=0，然后注意σ>c*等于σ≥Bup到一组度量值0，因此R（w，σ>c*) = R（w，σ≥B） .–否则，让B:c*< B<R（w，σ>c*), 注意F（{τ：γ（τ））∈ （c）*, B] }）>0。然后，通过与第（4）行相同的参数，R（w，σ>c*) < R（w，σ>B）≤ 最大值（R（w，σ≥c*), R（w，σ>c*)) =R（w，σ≥c*): 我们可以删除子集（c*, B） 从政策σ>c*提高奖励，等等σ≥c*必须是最优的。因此存在c*, 对于所有σ，我们有R（w，σ≥c*) ≥ R（w，σ）。C、 3命题3.1的证明在单一状态下，如果0，则w（τ）=mτ+a是激励相容的≤ 一≤mλ。证据证据设T=Rτ∈(0,∞)τdF（τ）。

设σ=（0，∞) \\ σ、 对于某些σ。R（（0，∞)) =λRτ∈(0,∞)w（τ）dF（τ）1+λTR（σ）=λRτ∈(0,∞)w（τ）dF（τ）- λRτ∈σw（τ）dF（τ）1+λT- λRτ∈στdF（τ）==> R（（0，∞)) ≥ R（σ）<==>λRτ∈(0,∞)w（τ）dF（τ）1+λT≤Rτ∈σw（τ）dF（τ）Rτ∈στdF（τ）最后一行从wy开始≥w-xy型-z<==>怀俄明州≤xz。因此，激励相容性的一个必要且有效的条件是λRτ∈(0,∞)w（τ）dF（τ）1+λT≤Rτ∈σw（τ）dF（τ）Rτ∈στdF（τ）σ.假设w（τ）=mτ+a。然后，对于0≤ 一≤mλ：λRτ∈(0,∞)w（τ）dF（τ）1+λT=λ（mT+a）1+λT≤m（λT+1）1+λT=m a≤mλ≤ m+a“F（σ）Rτ∈στdF（τ）#σa≥ 0（5）=Rτ∈σw（τ）dF（τ）Rτ∈στdF（τ）注意，该条件是有效的，但不是必要的。证明必要条件需要在假设分布F的情况下拧紧线（5）。C、 4单状态模型最优策略的唯一性4。考虑单状态模型。存在最优策略σ*σ形式的*={τ：w（τ）τ≥ c*} 使得R（σ*) = c*. 此外，该策略是唯一的最优策略，最多可设置度量值0，最多可修改（减法）集合{τ：w（τ）τ=c*}.证据证据根据定理1，存在σ形式的最优策略*= {τ：w（τ）τ≥ c*},对于一些c*. 这里，我们证明（1）存在一个最优策略σ*其形式为R（σ*) = c*, （2）这是唯一的最优策略，在度量值为0的集合和{τ：w（τ）τ=c的集合的修改（减法）之前*}.1、从任何最优策略σ开始*σ形式的*= {τ：w（τ）τ≥ c} ，对于某些c和letc*= R（σ*) 成为最佳奖励。那么，σ≥c*= σ*至多组度量值0，其中σ≥c*= {τ：w（τ）τ≥ c*}. 如果是c*= c、 这是微不足道的。否则，假设R（σ*) = c*> c、 然后，注意σ≥c* σ*. 如果F（σ*\\ σ≥c*) > 0:R（σ≥c*) =λRτ∈σ*w（τ）dF（τ）- λRτ∈σ*\\σ≥c*w（τ）dF（τ）1+λRτ∈σ*τdF（τ）- λRτ∈σ*\\σ≥c*τdF（τ）>R（σ*)由λRτ得出∈σ*\\σ≥c*w（τ）dF（τ）λRτ∈σ*\\σ≥c*τdF（τ）<c*= R（σ*) =λRτ∈σ*w（τ）dF（τ）1+λRτ∈σ*τdF（τ），and xz<wy==>w-xy型-z> wywhen w- x个≥ 0，y- z≥ 0

这与σ相矛盾*是最佳的。类似地，假设R（σ*) = c*< c、 然后，注意σ* σ≥c*. 如果F（σ≥c*\\ σ*) > 0:R（σ≥c*) =λRτ∈σ*w（τ）dF（τ）+λRτ∈σ≥c*\\σ*w（τ）dF（τ）1+λRτ∈σ*τdF（τ）+λRτ∈σ≥c*\\σ*τdF（τ）>R（σ*)由λRτ得出∈σ≥c*\\σ*w（τ）dF（τ）λRτ∈σ≥c*\\σ*τdF（τ）>c*= R（σ*) =λRτ∈σ*w（τ）dF（τ）1+λRτ∈σ*τdF（τ），and xz>wy==>w+xy+z>wy。这与σ相矛盾*是最佳的。2、以上第一部分证明了σ形式的政策的唯一性≥c={τ：w（τ）τ≥ c} 定理1证明的步骤1进一步表明，只有形式为▄σc=σ的策略≥c\\c对于某些c∈ R+，C {τ：γ（τ）=c}可以是最优的。与上述和定理1证明步骤2几乎相同的参数将完成证明。动力学模型结果的D证明在本节中，我们提供了关于动力学模型的主要文本中的定理和引理的证明。第D.1节包含关于Driverward的动态模型引理的证明以及在每个状态下花费的时间，引理1、2和3。第D.2节概述了定理2和3的证明策略，特别是包含了用于证明这两个定理的主要技术引理。第D.3节包含用于证明主要结果的几个辅助引理的陈述。这些引理的证明推迟到第D.5节，因为它们在代数上很乏味。最后，第D.4节包含了我们的主要结果定理2和3的证明。D、 1驾驶员报酬引理2。假设世界在时间t处于状态i。让qi→j（s）表示世界在时间t+s时处于状态j 6=i的概率。然后，qi→j（s）=λi→jλi→j+λj→ih1- e-（λi→j+λj→i） 啜饮。证据考虑到模型中的状态动力学，qi→j（s）由aCTMC在时间s内的演变决定，假设当前状态为i。我们可以在这里使用标准CTMC结果。LetQ表示世界状态CTMC的Q矩阵。

根据模型定义，Q=-λ1→2λ1→2λ2→1.-λ2→1.回想一下，时间t后的状态转移矩阵由矩阵指数eQt给出，它等于Q:qi预解的逆的拉普拉斯变换的逆→j（τ）=（eQτ）ij=L-1（（wI- Q）-1ij）（τ）w是拉普拉斯变换参数=λi→jλi→j+λj→ih1- e-（λi→j+λj→i） τi由于2状态模型假设，最后一行中的闭合形式出现。接下来，引理1和引理3一起被证明。引理1。在动态模型中，收益率可以分解为每个状态i的收益率Ri（wi，σi）和状态i花费的时间ui（σ）的分数：R（w，σ）=u（σ）R（w，σ）+u（σ）R（w，σ），概率为1。在单态模型中，Ri（wi，σi）=wi（σi）Ti（σi），其中wi（σi）=Fi（σi）Zτ∈σiwi（τ）dFi（τ），Ti（σi）=λiFi（σi）+Fi（σi）Zτ∈σiτdFi（τ）引理3。设Ti（σi）如引理1所定义。遵循策略σ={σ，σ}的驾驶员在状态i打开或在状态i开始的行程中花费的时间分数为ui（σ）=λiFi（σi）Ti（σi）Qj（σj）λjFj（σj）Tj（σj）Qi（σi）+λiFi（σi）Ti（σi）Qj（σj），其中Qi（σi）=λi→j+λiZτ∈σiqi→j（τ）dFi（τ）证明。证据考虑正文中定义的更新过程（包括周期和子周期）。单个奖励更新周期为：从驱动程序在状态1中打开到驱动程序在状态2中至少打开一次后，下一次在状态1中打开之间的时间。