压力冲击应该有多大？

研究发现，巴塔查里亚的肌肉素质不高。切比雪夫不等式由：P（| X）给出-\'\'X |≥ tσ）≤N个观测值的tIn有限世界，设置t=√N给出端点：P（| X-\'\'X |≥√Nσ）≤萨缪尔森的例子略好于榜首（| X-\'\'X |≥√N- 1σ) ≤为了应用我们关于ΦN的结果，观察一个极值点a的双峰分布（归一化，使E[X]=0，E[X]=1，E[X]=κ）产生不等式（| X-\'\'X |≥ （a）≤Nso如果扩展的切比雪夫不等式给出的阈值大于a，或概率小于N，那么我们的有限点分布ΦNhas给出了更严格的界。我们现在考虑上面提到的切比雪夫正弦质量的三个扩展。4.1任意整数k>0P的偶数阶高阶矩|十、-\'\'X |≥ tE[（X- E[X]）2k]1/2k≤T2K是马尔可夫不等式的直接结果。例如，参见[6]。设置t=N1/4和k=2得出终点：P|十、-\'\'X |≥ （κN）1/4≤（κN）1/4的值如下表所示。注意，这些都大于第2节表1中给出的a值，并且大于（（κ-1） N）1/4。也就是说，在N个观测值的有限世界中，Φ（我们在峰度上的分布条件）改进了切比雪夫不等式。（κN）1/4N-1峰度=7峰度=10峰度=13峰度=16250 6.468 7.071 7.550 7.953500 7.692 8.409 8.979 9 9.4571000 9.147 10.000 10.678 11.2471000 16.266 17.783 18.988 20.000100000 28.925 31.623 33.766 35.566100000051.437 56.234 60.046 63.246表4（κN）1/4.4泽伦的值不等式对于已知三阶矩和四阶矩的情况，Zelen[11]给出了公式：P（| X-\'\'X |≥ tσ）≤1+t+（t- tθ- 1)θ- θ- 1.-1其中≥θ+pθ+4和θj=E【Xj】σj，因为分布Φ归一化了E【X】=0和σ=E【X】=1，然后θj=E【Xj】。此外，峰度κ=E[X]是该分布的特定值。

E[X]可以用N和a表示，后者是N和κ的函数：命题2。E（X）=-3个- 1a+（N+1）（N- 1） a其中a由命题1给出：a=a（N，κ）=VuT-N- 1N+1+sN- 1N+1- G（N，κ）此外，E（X）~ -3(κ -1） 1/4N-3/4+ (κ -1） 3/4N-1/4对于大N。证明：E（X）=NXi=1Xi=aN+N- 12牛顿(-b-一- 1） +N- 12N（b-一- 1） =aN-3禁止-aN（N- 1） =a（N- 1)- 3a级N（N- 1) - 一- aN（N- 1)=-3个- 1a+（N- 1） +3N- 1N（N- 1） a=-3个- 1a+N（N+1）N（N- 1） a=-3个- 1a+（N+1）（N- 1） a对于N大，替换为a=[（κ- 1） N]1/4活动：E（X）=-3个- 1[(κ - 1） N]1/4+（N+1）（N- 1)[(κ - 1） 编号]3/4→ -3(κ - 1） 1/4N-3/4+ (κ - 1） 3/4N-1/4对于各种峭度值，E（X）值与对数（N）的对比如下表所示。

有趣的是，收敛到κ的极限- 1不是单调的，并且需要比a更大的N值才能收敛：设置t=a，Zelen概率的值如下所示：将上述概率的倒数颠倒，得到“1-in”值。因此，可以看出，我们的分布比Zelen的边界稍紧，但仅在有限点情况下。4.3 Bhattacharyya的不等式Bhattacharyya给出了另一个扩展[2]：P（X≥ tσ）≤κ - θ- 1(κ - θ- 1） （1+t）+（t- tθ- 1） E（X）Log（N）峰度=7峰度=10峰度=13峰度=162 1.137 2.044 2.044 2.0443 0.704 0.973 1.302 1.3024 0.405 0.486 0.680 0.7945 0.219 0.297 0.358 0.4286 0.125 0.166 0.205 0.2387 0.068 0.091 0.116 0.1378 0.039 0.052 0.064 0.0769 0.021 0.029 0.036 0.04310 0.012 0.016 0.020 0.024表5：E（X）的值。1+a+（a-aθ-1)θ-θ-1.-1N- 1峰度=7峰度=10峰度=13峰度=16250 0.00398 0.00400 0.00396 0.00400500 0.00199 0.00200 0.00200 0.001991000 0.00100 0.00100 0.00100 0.00001 0.00010 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001110000 0 0 0 0表6：泽伦概率值，1+a+（a-aθ-1)θ-θ-1.-1对于具有一个极值点的双模分布。其中- tθ- 1>0类似于Zelen不等式，将σ=1和t=a设置为满足a-aθ- 1>0，N必须适当大，对于我们的分布Φ超过10000。我们的分布比Bhattacharyya的sinequality要紧密得多，比Zelen的更紧密，但同样，只有在有限点的情况下。

例如，当N=10时，概率约为1:10000.1+a+（a-aθ-1)θ-θ-1N- 1峰度=7峰度=10峰度=13峰度=16250 251 250 253 250500 503 501 500 50210000 1000 1002 100010000 10001 10001 10001 10001 10001100000 100000 100000 100001000010000100001000000 1000000 1000000 1000000表7：具有一个极值点的双峰分布的Zelen概率值，以“1-in”值给出。κ-θ-1(κ-θ-1） （1+a）+（a）-aθ-1） N个- 1峰度=7峰度=10峰度=13峰度=1610000 0.003453 0.002974 0.002646 0.002407100000 0.001099 0.000945 0.00084 0.00076410000000.000349 0.000299 0.000266 0.000242100000000.00011 0.000095 0.000084 0.00007600000 0.000035 0.000027 0.000024表8：Bhattacharyya概率值，κ-θ-1(κ-θ-1） （1+a）+（a）-aθ-1） 对于具有一个极值点的双峰分布。5结论本文考虑应力冲击的大小，基于需要多少个标准差才能保证冲击超过历史数据集内的任何观察值。通过施加峭度的额外约束，这有助于更真实地描述资产价格的变动，而不是塞缪尔森不等式[8]。构建的分布Φnw最大化了高于平均值的标准偏差的数量，即单个点可以是峰度的固定值。然后，这被用来验证几个应力模型，尤其是支撑Lauer-Rado的应力模型[3]，其主要参数为峰度。此外，构造的分布本身可用于推导应力冲击。按照萨缪尔森论文[8]的大纲，我们使用我们的分布来检验切比雪夫不等式的三个扩展，其中峰度是已知的。

我们发现，我们的结果给出了比众所周知的不等式更紧的界，尤其是Bhattacharyya不等式[2]的界不是，而是仅在有限点情况下。6利益声明作者报告没有利益冲突。作者独自负责论文的内容和写作。附录在第2节中，本文使用双模点集的分布，加上一个异常值。其目的是得到一个分布，对于峰度的一个最佳值，该分布使a=（X-\'\'X）/σ较大。由于双模点集具有最低的可能峰度，因此对于任何给定的峰度，这应该给出最大的a值。

事实上，乍一看，萨缪尔森的样本可能是一个满足这些要求的候选分布，但这里的峰度是N。为了严格构建一个分布，对于峰度的固定值，最大化（X）的值-\'X）/σ是一个复杂的优化问题：maxXi十、-NPNi=1 xinpni=1（Xi-NPNi=1Xi）| NNXi=1（Xi-NNXi=1Xi）/NNXi=1（Xi-NNXi=1Xi）= κ为了确定这种分布不能改进，考虑了三种其他分布来测试上述结构是否可以改进：o具有相同点数的三模态分布{-1，0，1}（峰度为1.5），o三分之二的点位于0，剩余的三分之一点位于1（峰度为1.5），o之间的均匀分布-1和1（峰度为1.8）。自统计（X-\'X）/σ，峰度在膨胀和平移下不变，然后重新缩放分布，使用简单的搜索例程发现异常值X>1，从而使分布的峰度符合要求。虽然每个都产生了（X）的值-接近双模的X）/σ，在所有情况下都较小：a=（最大平均值）/StDevN-1 sqrt（N-1）双模三模三分之二均匀M500 22.38 9.35 9.30 9.30 9.261000 31.62 11.10 11.03 11.04 10.992000 44.72 13.19 13.10 13.10 13.043000 54.77 14.59 14.49 14.424000 63.24 15.68 15.56 15.56 15.495000 70 16.71 16.45 16.3710000 100 19.70 19.55 19.45表9：极端所考虑的示例分布的点值。此外，如第2节所述，（X-对于任何分布选择，X）/σ没有太大差别。

这是可取的，并使我们对峭度的选择具有可信度，峭度是一个很好的限制，因为它允许资产价格移动——并且以不同的方式移动——对波动性产生一定的影响，而不仅仅是一次大的冲击。参考文献【1】巴塞尔银行监管委员会（2018）对市场风险最低资本要求的修订，https://www.bis.org/bcbs/publ/d436.htm[2] Bhattacharyya，B.B.（1987年）。前四阶矩已知时的单侧切比雪夫不等式，统计理论和方法中的通信。16(9):27892791.[3] Brace，A.、Lauer，M.和Rado，M.（2006）《极端冲击的程式化模型：启示录的四个时刻》，UTS研究论文，https://www.researchgate.net/publication/23697087极端冲击的程式化模型启示录的四个时刻【4】Jensen，S.T.（1999）LaguerreSamuelson不等式及其在统计学和矩阵理论中的扩展和应用，麦吉尔大学数学与统计系硕士论文。[5] Maher，D.（2011）关于经济资本计算中t-连接函数的使用，风险模型验证杂志，5（3），21-36。[6] Mitzenmacher，M.和Upfal，E（2005年）。概率与计算：随机算法与概率分析。剑桥大学出版社。[7] Platen，E.和Renata，R.（2008）关于学生的经验证据-tLog《多样化世界股票指数回报》，统计理论与实践杂志，2（2），233-251。[8] Samuelson，P.A.（1968）你能有多反常？，J、 美国。统计学家。协会，631522-1525。[9] Scott，L.（1987）《方差随机变化时的期权定价理论、估计和应用》，金融与定量分析杂志，22（4），419-438。[10] Wiggins，J.（1987）《随机波动理论和经验估计下的期权价值》，金融经济学杂志，19351-372。[11] 泽伦，M。

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