一种简单有效的离散监控定价数值方法

例如，常见的up和out autocallable产品将有1个≤ m级≤ M:0<K+M<∞, K-m=0，a+m=0，b+m>0；m=m：aM=0，bM<0。向下和向外的障碍选项将有1≤ m级≤ M- 1：K+m=∞, 0<K-m<∞, 一-m=0，b-m=0；m=m:K-M=0，0<K+M<∞, aM=-1，bM=K+M，a+M=b+M=0。双障碍淘汰看涨期权将有1≤ m级≤ M- 1:0<K±m<∞, a±m=0，b±m=0；m=m：K+m=∞, 0<K-M<∞, aM=1，bM=-K-M、 a-M=b-M=0。百慕大看跌期权与罢工K将有1≤ m级≤ M：K-m： K的唯一解- K-m=V（tm，K-m） ，K+m=∞, 一-m=-1，b-m=K；m=m：aM=0，bM=0。我们将在附录中提供百慕大选项K±M唯一性的证明。总之，我们的基本假设是：（1）标的资产价格S遵循几何布朗运动，利率、收益率和波动率分段不变。（2） 有很多观察点和两个运动水平（可能∞) 在每个观察点。如果S在任何观察点上高于或低于上锻炼水平，则行使期权，并且S中的支付是线性函数。（3）到期时，如果S在两个锻炼水平之间，则产生支付，这也是S.3中的线性ar函数。方法概述让V（t，S）表示在任何时间t的期权价值（作为资产价格S的函数），letVm（S）=V（tm，S），m=0，1，M、 表示观察日期的选项值。我们的目标是找到V（S（t）），我们的策略是及时使用反向归纳法。由于VM在S中是分段线性的，因此VM-1（S）具有简单的显式表达式。每m=m- 1.1、我们编写Vm-1（S）作为K的Vm的风险中性预期-m级-1<S<K+m-1，作为±m-1S+b±m-1其他方面。期望值由显式积分给出，并进行数值计算。

求积法的核心是M的计算- 1期望积分逐步积分tep。Le tτm=σmtm=σm（tm- tm公司-1).一种简单有效的期权定价方法≤ m级≤ M-1，注意S（tm）具有对数正态分布，如（2.3）所示。已知r相关概率密度函数为[19]（3.1）ρm（y，S）=√πτmyexp-4τm洛吉斯-σmrm- qm公司-σmτm.为了简化符号，我们定义了K+=∞ 和K-= 0、根据资产定价的基本原理，我们得到了风险中性定价公式[24]：Vm-1（S）=e-2rmτm/σmEVm（·）| S= e-2rmτm/σmZ∞Vm（y）ρm（y，S）dy（3.2）=e-2rmτm/σm√πτmZ∞yVm（y）扩展-4τm洛吉斯-σmrm- qm公司-σmτmdy，代表K-m级-1<S<K+m-1和1≤ m级≤ M- 根据第2节的假设（B），我们还有（3.3）Vm-1（S）=（a-m级-1S+b-m级-1，S≤ K-m级-1a+m-1S+b+m-1，S≥ K+m-为了进一步研究公式（3.2）和（3.3），我们首先介绍了关于二元期权定价的一些经典结果。引理3.1。设K>0，并设χa表示集合a的特征函数。考虑一个没有早期锻炼特征的选项。（1） 如果期权有支付^Vm（y）=χ[K，∞)y、 然后是^Vm-1（S）=Vam（S，K，1）。（2） 如果^Vm（y）=χ（0，K）y，则^Vm-1（S）=Vam（S，K，-1).（3） 如果^Vm（y）=χ[K，∞), 然后是^Vm-1（S）=Vbm（S，K，1）。（4） 如果^Vm（y）=χ（0，K），则^Vm-1（S）=Vbm（S，K，-1).VAM（S，K，）=e定义了VAM和VBMAR函数-2qmτm/σmSN（d），Vbm（S，K，）=e-2rmτm/σmN（d），其中N是累积N正态分布函数，d=√2τmlogSK+σmrm- qm+σmτm, d=d-√2τm.证明。定义Vamis为资产或无期权的价值，Vbmis为现金或无期权的价值。估值公式只是二元期权的标准结果【18】。备注3.2。引理3.1中的标准Black-Scholes公式忽略了波动性微笑的可能影响。

如果需要考虑这些影响，可以通过加入适当的织女星诱导修正项来修正VAM和Vbm的定义（如引理中给出的）。例如，在存在波动性微笑的情况下，现金或空头看涨期权的价值将变为comevsmile=Vno微笑-Vvanill a公司σσK、 8 MIN HUANG和GUO LUOWe可以使用引理3.1获得VM值的显式公式-1（S）。根据第2节的假设（B）–（C），我们有（3.4）个VM=一-MS+b-M、 S≤ K-MaMS+bM，K-M<S<K+Ma+MS+b+M，S≥ K+M。如果没有普遍性，我们可以假设0<K±M<∞, 否则，我们可以选择任意的0<K±M<∞ 并设置a±M=aM，b±M=bM。提案3.3。tM的期权价值-1由▄VM给出-1（S）=a-MVaM（S，K-M-1） +b级-MVbM（S，K-M-1） +aMVaM（S，K-M、 （1）- VaM（S，K+M，1）+ bM公司Vbm（S，K-M、 （1）- VbM（S，K+M，1）+ a+MVaM（S，K+M，1）+b+MVbM（S，K+M，1），用于K-M-1<S<K+M-1.证明。显然，tM的选项-1 to tMis e等价于由两个带走向K的看跌期权组成的二元期权的线性组合-M、 两个带strike K的通话选项-按K+M的顺序指定四个看涨期权。结果如下：mLemma 3.1。借助于（3.2）和命题3.3，我们可以将我们的质量方法的主要递归描述如下。提案3.4。（3.4）中定义了▄VM=VM，以及▄VM-1be由以下递归公式给出：▄Vm-1（S）=e-2rmτm/σmZK+mK-mVm（y）ρm（y，S）dy+a+mVam（S，K+m，1）（3.5）+b+mVbm（S，K+m，1）+a-mVam（S，K-m，-1） +b级-mVbm（S，K-m，-1） ，对于1≤ m级≤ M那么我们就得到了K的▄Vm（S）=Vm（S）-m<S<K+和0≤ m级≤M、 尤其是▄V（S（t））=V（S（t））。证据这仅仅是Black-Scholes模型中求积方法的经典递归公式。为了证明这个公式，我们只需要显示（3.6）Vm（S）=Vm（S）χ（K-m、 K+m）+（a+mS+b+m）χ[K+m，∞)+ （a）-mS+b-m） χ（0，K-m] ，对于所有0≤ m级≤ M

假设（3.6）对m=m是正确的。现在假设（3.6）对大约1≤ m级≤ M将方程代入（3.2），应用引理3.1，将结果与（3.5）进行比较，并使用（3.3），我们观察到（3.6）符合形式- 1、归纳法得出结果。备注3.5。递归公式（3.5）是我们求积方法的核心，它将我们的方法与其他求积方法区分开来，其他求积方法主要基于（3.2）或其众多变体之一。公式（3.5）是一种简单有效的期权定价方法9，其意义在于它明确使用Black-Scholes公式来分离预期积分EVm（·）| S变成“正交部分”调频-1（S）=e-2rmτm/σmZK+mK-mVm（y）ρm（y，S）dy和“早期锻炼部分”Em-1（S）=a+mVam（S，K+m，1）+b+mVbm（S，K+m，1）+a-mVam（S，K-m，-1） +b级-mVbm（S，K-m，-1).因为函数Vm（S）对于S是平滑的∈ （K）-m、 K+m）（事实上，对于所有S∈ (0, ∞), 如下所示），积分Fm-1（S）可以使用高阶求积方法（如辛普森法则）准确有效地进行计算。相反，原始递归公式（3.2）中的整数Vm在（0，∞)（VMI本身或其第一衍生工具）；这使得准确评估期望值成为一项艰巨而富有挑战性的任务。虽然（3.5）特别适用于Black-Scholes模型，但只要能为概率密度函数ρm（y，S）和早期练习部分Em找到合适的分析公式（精确或近似），相同的想法也可用于其他资产定价模型-1（S）。带▄VM-命题3.3中给出的1（S），命题3.4意味着我们可以依次应用（3.5）来获得￠VM-2（S），~VM-3（S），V（S）。选项的值等于▄V（S（t））。4.

（3.5）中实施的详细信息，Vm-1（S）写为显式it函数和整数之和，即▄Vm-1（S）=a+mVam（S，K+m，1）+b+mVbm（S，K+m，1）（4.1）+a-mVam（S，K-m，-1） +b级-mVbm（S，K-m，-1） +调频-1（S），其中Fm-1（S）=e-2rmτm/σmZK+mK-mVm（y）ρm（y，S）dy。我们可以通过将其上限和下限替换为l+m=min来截断积分K+m，S（t）C, 和L-m=最大值K-m、 S（t）/C,其中C>1是一个合适的常数。实际上，选项log C=10σ√tM公司- t型+1 +σ（tM）- t） ，其中σ=max1≤m级≤MσM，有助于将截断误差降低到roundo ff水平。从（2.3）中可以看出这一点，这表明S（tm）超出r范围（S（t）/C，S（t）C的可能性很小，可以忽略不计。错误界限的严格推导可以使用递归参数获得，如附录中所述。现在我们考虑截断积分Fm-1（S）=e-2rmτm/σmZL+mL-mVm（y）ρm（y，S）dy.10 MIN HUANG和GUO LUOIf K-m级≥ S（t）C或K+m≤ S（t）/C，则通过对流，积分为零。所以接下来我们假设K-m<S（t）C和K+m>S（t）/C。LetB±m=logL±mS（t），表示=S（t）ex，y=S（t）ez，αm=σmrm- qm公司-σm, βm=σmrm- qm公司-σm+2rmσm，um（x）=Vm（S（t）ex），wm（x）=expn-x4τm- αmxo。截断积分可以重写为（4.2）~Fm-1（S（t）ex）=e-βmτm√πτmZB+mB-mwm（x- z） 嗯（z）dz。我们可以通过微分（4.2）来说明▄Fm，因此▄Vmand um，是x中的光滑函数。这意味着我们可以使用高阶求积（如辛普森法则）高效地计算积分。一般来说，B±mare对于m的不同值是不同的，因此它们不能全部放在一个网格上。现在我们选择一个统一的网格x={x，x，…，xN}，w he rex=-对数C和xN=对数C。Leth=xN- xN公司- 1=2对数CN- 1、对于每米，le tp-m=最小值i： xi≥ B-m级, p+m=最大值i： xi<B+m,其中定义p-m级≥ 1和p+m<N。

由于我们将使用辛普森规则，该规则需要奇数个网格点，因此我们定义p=（p+m- p-m） mod 2，并将（4.2）重写为▄Fm-1（S（t）ex）=e-βmτm√πτmZxp+m+pxp-mwm（x- z） um（z）dz（4.3）+Zxp-兆字节-mwm（x- z） um（z）dz+ZB+mxp+m+pwm（x- z） um（z）dz.每2个≤ m级≤ M- 1，我们将计算▄Fm-1（S（t）ex）适用于allx∈x、 x，xN，B-m级-1，B+m-1, ξ-m级-1，ξ+m-1.,式中ξ-m级-1=（xp-m级-1+B-m级-1） ，ξ+m-1=（xp+m-1+p+B+m-1).对于m=1，我们只需要计算Fm-x=0时为1（S（t）ex），因为选项的值由V（S（t））给出。一种简单有效的期权定价方法114.1。计算（4.3）中的第一个积分。为了使用辛普森规则计算第一个积分（4.3），我们计算了（i）=um（xi），i=p-m、 p+m+p4um（xi），i=p-m+1，p-m+3，p+m+p- 12um（xi），i=p-m+2，p-m+4，p+m+p- 2、积分盘重定为（4.4）Zxp+m+pxp-mwm（x- z） um（z）dz=hp+m+pXi=p-mwm（x- xi）Um（i）+O（h），因为辛普森的规则是4级的。注意，Um（i）是从前面的步骤（或通过命题3.3，对于m=m）知道的- 1） 对于所有i=1，2，N、 福尔克斯∈ {B±m-1，ξ±m-1，0}，求和（4.4）可以用复杂度o（N）直接计算。对于所有网格点x∈ {x，x，…，xN}，另一方面，可以使用复杂度为O（N log N）的FFT来计算和（4.4）。最后一个事实对于有效实施我们的求积方法至关重要，并且是以下简单观察的一系列。提案4.1。定义（2N- 1） -周期网格函数^z、^Um和^Fmby^z（i）=zi=-2对数C+（i- 1） h，1≤ 我≤ 2N个- 1，^Um（i）=0, 1 ≤ i<p-妈妈（i），p-m级≤ 我≤ p+m+p0，p+m+p<i≤ 2N个- 1，^Fm=F-1nFwm（^z）F（^Um）o，其中F和F-1取消大小为2N的离散傅里叶变换和逆离散傅里叶变换- 分别为1。然后ZXP+m+pxp-mwm（xj- z） um（z）dz=h^Fm（j+N）+O（h），对于所有1≤ j≤ N

上述离散傅里叶变换和逆离散傅里叶变换可以用FFT计算，总的计算复杂度为O（N log N）。证据我们考虑离散卷积gm（j）=2N-1Xi=1wm（zj-i） ^Um（i），代表j∈ Z、 请注意，根据定义，zj+N-i=-2对数C+（j- i+N- 1） h=（j- i） h=xj- xi、12分钟黄和郭罗共1人- N≤ j- 我≤ N- 1、因此对于1≤ j≤ N，我们有gm（j+N）=2N-1Xi=1wm（zj+N-i） ^Um（i）=p+m+pXi=p-mwm（zj+N-i） Um（i）=p+m+pXi=p-mwm（xj- xi）嗯（i）。因此，x=xjc的（4.4）可以写成（4.5）Zxp+m+pxp-mwm（xj- z） um（z）dz=hGm（j+N）+O（h）。离散卷积gm可以使用FFT asGm=F计算-1nFwm（^z）F（^Um）o=^Fm，复杂性为o（N log N）[8]。备注4.2。我们的方法不同于其他著名的基于FFT的方法（如[21，2 2]），因为我们直接用离散傅里叶变换表示离散求积规则（4.4），而不是将连续傅里叶变换应用于积分，然后离散傅里叶积分（换言之，我们交换了傅里叶变换和离散化的顺序）。直接应用离散傅立叶变换（适用于离散求积规则）不仅可以限制对专门引入阻尼因子的需要，这是连续傅立叶变换存在所必需的，而且还可以消除对满足ynyquist关系所需的额外专门设计计算网格的需要。这使我们能够在一个网格上进行主要递归（3.5），而无需任何额外的艺术参数。4.2. （4.3）中最后两个积分的计算。（4.3）中的最后两个积分使用辛普森规则以类似的方式计算。首先，请注意，我们可以使用命题3.3来计算VM-x为1（S（t）ex）∈ {B±M-1，ξ±M-1}.

如果选项有两个障碍，通常需要四分，如果选项有一个障碍，则只需要两分。每2个≤ m级≤ M-1，假设已经为x计算了um（x）=Vm（S（t）ex∈ {B±m，ξ±m}。（4.3）中的最后两个积分是用辛普森法则计算的：Zxp-兆字节-mwm（x- z） um（z）dz=（xp-m级- B-m）wm（x- B-m） um（B-m） （4.6）+4wm（x- ξ-m） um（ξ-m） +wm（x- xp系统-m） um（xp-m）+ O（h），ZB+mxp+m+pwm（x- z） um（z）dz=（B+m- xp+m+p）wm（x- B+m）um（B+m）（4.7）+4wm（x- ξ+m）um（ξ+m）+wm（x- xp+m+p）um（xp+m+p）+ O（h）。一种简单有效的期权定价方法135。寻找百慕大期权的最佳行使价格与自动赎回产品和障碍期权不同，百慕大期权没有预先规定的行使水平。相反，我们需要从方程Vm（K+m）=K+m中求解K±m- K、 对于看涨期权和▄Vm（K-m） =K- K-m、 对于看跌期权，其中▄vm由（3.5）确定。为简单起见，我们假设收益率qm≥ 0，这在实践中几乎总是如此。我们将演示如何查找K-m、 同样的程序适用于K+m。Letp=最小值i： Vm（S（t）exi）>K- S（t）exi公司.如果p=1，则没有早期锻炼，因此K-m=0。否则我们有S（t）exp-1.≤K-m<S（t）expby推论8.3。K值-可以使用经典的根查找方法（如平分法或割线法）找到MCA。注意，二分法通过推论8.3保证收敛，并且它采取so（log N）步骤将近似根的误差o减少到o（h）级。由于使用（4.1）计算某一点的Vmat的成本为O（N），因此确定最佳行使价格的总成本为O（N log N）。割线法是一种超线性方法，虽然其误差估计并不简单，但其收敛速度比bisec-ting方法快。6.

算法概述我们将算法总结如下：1：定义引理中的函数Vam、Vbmas 3.12：定义函数VM-1如提案3.33所示：如果期权类型为百慕大，则4：计算K±M-1as第55节：结束if6：计算p±M-1和pto在（4.3）7中找到积分边界：使用位置3.3计算VM-x为1（S（t）ex）∈ {B±M-1，ξ±M-1} ，并将其值分别指定为v±、v±8：将向量S定义为S（i）← 对于i=1，2，…，S（t）exi，N9：将向量y定义为y（i）←VM-1（S（i）），对于i=1，2，N10：对于m=m- 1至2 do11:Let^z和^Umbe，如提案4.112：^Fm所定义← F-1nFwm（^z）F（^Um）o13：定义（或重新定义）向量Yas Y（j）←h^Fm（j+N），对于j=1，2，N14：使用（4.6）、（4.7）和v±、v±、y（p）的值-m） ，y（p+m+p）计算（4.3）中xi处最后两个积分，i=1，2，N、 并将其值赋给Y和Y15：如果选项样式为百慕大，则16：计算K±m-1as第517节：结束if18：计算p±m-1和pto在（4.3）14 MIN HUANG和GUO LUO19中找到积分界限：计算Vm-x为1（S（t）ex）∈ {B±m-1，ξ±m-1} 使用（4.1）（其中（4.3）中的积分使用（4.4）计算，最后两个积分使用（4.6）、（4.7）和现有值v±、v±、y（p-m） ，y（p+m+p）），和a S将其值分别指定为v±，v±20:y← Y+Y+Y+a+mVam（S，K+m，1）+b+mVbm（S，K+m，1）+a-mVam（S，K-m，-1） +b级-mVbm（S，K-m，-1） ，如（4.1）所示（请注意，y现在存储▄Vm-1（S（i）），对于i=1，2，N） 21：结束22：使用（4.1）计算V（S（t）），其中（4.3）中的第一个积分使用（4.4）计算，最后两个积分使用（4.6），（4.7）和现有值V±，V±，y（p-), y（p++p）由于循环每个步骤的计算复杂度为O（N log N），因此总复杂度为O（M N log N）。备注6.1。

虽然其他求积方法通常使用多个非均匀网格或专门设计的（非均匀或移位）网格，但我们的方法仅使用固定的一维均匀网格，这不仅消除了复杂的网格间数据传输过程的需要，而且还消除了跨不连续点插值数据通常需要的特殊子程序的需要。这使得我们的方法特别容易实现。数值示例我们将使用两个示例来证明所提出方法的准确性和有效性，其中可以找到可自动折叠结构d积的值和具有时间相关障碍的双障碍选项的值。7.1. 示例1：可自动调用的结构化产品。我们考虑在一年内到期的敲出式自动可拆卸结构d产品。基础ingasset的价格为3000，名义金额为1，波动率为20%。下表1给出了观察日期（从现在开始的几年）、障碍水平和无风险率（单位%）。表1：。可自动调节的结构化产品。观察日障碍水平无风险利率0.2 3050 20.4 3100 2.10.6 3150 2.20.8 3200 2.31 3250 2.4如果资产价格在某个观察日t达到或超过障碍水平，投资者将收到4%×t的付款。如果资产价格在每个观察日低于障碍，投资者将不得不支付1%的溢价。不同gr id大小的计算期权值的相对误差显示为一种简单有效的期权定价方法15500 1000 1500 2000 250000.20.40.60.811.21.4x 10-6选项值的网格大小相关误差（a）0 10 20 30 40 50 60 7000.511.522.53x 10-3路径数（百万）期权价值的相对误差（b）图1。