一种简单有效的离散监控定价数值方法

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英文标题：
《A simple and efficient numerical method for pricing discretely monitored
  early-exercise options》
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作者：
Min Huang, Guo Luo
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We present a simple, fast, and accurate method for pricing a variety of discretely monitored options in the Black-Scholes framework, including autocallable structured products, single and double barrier options, and Bermudan options. The method is based on a quadrature technique, and it employs only elementary calculations and a fixed one-dimensional uniform grid. The convergence rate is $O(1/N^4)$ and the complexity is $O(MN\\log N)$, where $N$ is the number of grid points and $M$ is the number of observation dates.
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中文摘要：
我们提出了一种简单、快速、准确的方法，用于在Black-Scholes框架下对各种离散监控期权进行定价，包括自动赎回结构性产品、单障碍和双障碍期权以及百慕大期权。该方法基于求积技术，仅使用基本计算和固定的一维均匀网格。收敛速度为$O（1/N^4）$，复杂性为$O（MN\\log N）$，其中$N$是网格点的数量，$M$是观测日期的数量。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> A_simple_and_efficient_numerical_method_for_pricing_discretely_monitored_early-e.pdf (320.83 KB)

2022-6-24 01:14:21 上传

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关键词：数值方法 Calculations Applications Quantitative Computation

一种简单有效的离散监控早期行使期权定价的数值方法Min HUANG和GUO LUOAbstract。我们提出了一种简单、快速、准确的方法来为Black-Scholes f框架中的各种离散监控期权定价，包括自动赎回结构性产品、单障碍和双障碍期权以及百慕大期权。该方法基于求积技术，仅使用基本计算和固定的一维均匀网格。收敛速度为O（1/N），复杂度为O（M N log N），其中N为网格点数，M为观测日期数。介绍异国情调期权在世界各地普遍交易。许多常见的奇异选项依赖于路径，并具有早期练习的特点。如果连续监控这些期权（例如障碍期权），则通常可以使用分析公式对其进行定价。然而，在实践中，大多数依赖路径的奇异期权都会受到离散监控[4]，在这种情况下，它们需要使用数字技术进行定价。由于这些选项的复杂结构，基于蒙特卡罗模拟和有限差分方法的传统定价模型通常非常耗时，在实际情况下非常有用。另一方面，基于先进数学技术的最新定价方法往往更为有效（例如[14、12、10、11]），但对于许多金融机构来说，这些方法往往难以理解和正确实施。

为了在模型性能和实用性之间取得平衡，我们提出了一种新的求积bas方法，该方法比传统的蒙特卡罗方法和偏微分方程方法更快、更精确，同时易于理解和实现。我们将首先简要回顾考虑ed的产品类型，以及作为我们工作基础的基于正交的定价模型。然后我们将解释我们的方法并提供数值例子。1.1. 可自动调用的结构化产品。可自动调用的结构化产品属于一类具有早期练习功能的奇异选项。许多不同类型的可自动赎回产品已经在金融市场上创造和交易，近年来这些产品越来越受欢迎。关于各种可自动更换产品的主要特点，请参阅附录[9]。我们将考虑一种非常常见的具有离散观测数据的自动校准产品。在每个观察日期，都有一个预先规定的屏障水平。如果关键词和短语的价格。离散期权定价、求积法、可自动赎回结构产品、单障碍和双障碍期权、百慕大期权。免责声明：此处所作的陈述和表达的观点仅为我们自己的观点，并不反映中国机械银行或其员工和关联方的观点。2 MIN HUANG和GUO Luo标的资产大于（小于）或等于限制水平（取决于产品条款），行使期权并支付预先规定的固定利率回报。如果资产价格在所有观察日期都低于（高于）障碍，则该期权永远不会行使，投资者在到期时会收到负回报。此外，可自动更换的产品可能具有“敲入”功能。

在这种情况下，如果未行使期权，投资者获得的负回报取决于到期资产价格是否达到预先规定的冲击水平。虽然连续监测的自动可调产品的价值有一个简单的封闭式解决方案，但离散监测的自动可调产品的价值无法轻松计算。在具体情况下，存在多重积分的解析解，参见[25，26，9]。然而，如果观测日期的数量超过五个，则这些积分的数值计算可能会变得令人望而却步。在实践中，离散监控的可自动调用产品通常采用蒙特卡罗模拟定价。这种方法是向前推进的，但收敛速度很慢，经常需要加速技术，如方差减少（参见[2，13]）。另一种为离散监控可回收产品定价的流行方法是使用有限差分法（参见[9]）求解适用的Black-Scholes偏微分方程（PDE）。假设在空间中采用二阶中心差分近似，如果在时间上使用显式正向欧拉法，则典型的基于有限差分的定价方法的总体收敛速度为O（（δx）+δt），如果使用隐式Crank-Nicolson方法，则总体收敛速度为O（（δx）+δt）。由于有限差分方法需要二维网格，计算复杂性至少为1阶/（δxδt）。此外，由于自动结算产品的支付是不连续的（在资产价格中），因此必须格外小心（如支付函数的平滑）以确保任何差异近似值的准确性。备注1.1。一些可自动赎回的产品在到期时可能具有与欧洲香草期权相同类型的收益。

这些产品可以有效地视为可自动填充产品和屏障选项的组合（见下文）。1.2. 离散屏障选项。障碍选项是最常见的外来选项类型之一。当基础资产的价格超过一定的障碍水平时，障碍期权可以被激活（敲入期权）或被激活（敲出期权）。屏障选项可被离散或连续监控。单障碍期权在每个观察日期有一个障碍，而双障碍期权在每个观察日期有两个障碍。承运商期权（如果到期时有效）的最终支付可能与avanilla期权或数字期权的支付类型相同。一种特殊类型的障碍期权有固定金额的现金作为最终支付，这种期权被称为接触期权。大多数屏障选项具有与时间无关的屏障级别，但也研究了具有时间依赖屏障级别的选项[7]。与可自动调用的结构化产品的情况类似，在多重积分方面存在离散屏障选项的封闭式解决方案【23】，但此类解决方案通常难以直接评估。实际上，可以使用蒙特卡罗模拟或标准二叉树方法对离散障碍期权进行定价，但这些方法通常速度较慢。为定价离散障碍期权而提出的其他方法包括连续性校正近似法[4，27]、维纳-霍普夫方法[14]、自适应网格方法[1]、希尔伯特变换方法[12]、有限元方法[16]、傅立叶-余弦序列展开法[10]、一种简单有效的期权定价方法3和求积方法[3，6]。这些方法虽然在某些情况下有用，但由于其复杂性，尚未像传统的蒙特卡罗和有限差分方法那样广泛使用。1.3.

百慕大选项。百慕大期权是美国期权的离散版本。Be rmudan期权可在任何规定的观察日期行使，且支付类型与普通期权相同。与离散障碍期权类似，百慕大期权可以使用蒙特卡洛模拟法【17】、希尔伯特变换法【11】、傅立叶余弦级数展开法【10】和求积法【22、21、6】进行定价。1.4. 正交方法概述。在为离散监控期权定价的各种方法中，求积法因其高效性和准确性而备受青睐。该方法已应用于离散barr ie r期权和B ermudan期权[3、22、21、6]。其主要思想是通过及时的反向归纳法，在每次观测数据中求解期权值。风险中性估值公式表示为单积分，然后对其进行数值计算，得出期权价格。具体而言，V表示期权的价值，S表示标的资产的价值，r表示风险中性利率，t，tM观察日期，E风险中性预期。如果标的资产未触发tm的早期行使，则V（tm，S）=e-r（tm+1-tm）EV（tm+1，·）| S= e-r（tm+1-tm）Z∞V（tm+1，y）f（y | S）dy，其中f（y | S）是一个概率密度函数，其形式取决于基础资产的模型。另一方面，如果S触发tm的早期练习，选项PRICE V（tm，S）将等于规定值。上述积分可使用FFT【21，22】或快速高斯变换【6】计算。然而，由于V（tm+1，y）对于可自动调用的产品和屏障选项是不连续的（y），而对于百慕大选项是不可区分的（y），因此必须注意确保积分数值计算的准确性。

虽然在之前的研究中设计了多个移位或非均匀网格来解决这一难题[21，6]，但当每个观测点存在多个不连续性时，这一问题尤其具有挑战性，例如在具有随时间变化的势垒水平的双杆旋转的情况下。1.5. 我们工作的动力。虽然已经提出了许多先进技术来提高定价模型的准确性和效率，但在大多数实际情况下，通常会首选成本效益更高的简单方法，而不是更复杂的方法。原因有两个。首先，当数据质量不够高时，复杂的模型不一定有益。例如，利率和波动率几乎是所有定价模型的关键组成部分，但它们需要根据可用的市场数据进行估计。如果估计参数包含较大误差，这在新兴市场销售的产品中并不罕见，那么使用经过验证的模型所获得的任何优势都可能（超过）由这些误差决定，从而使简单模式更具吸引力。其次，定价模型的实施通常涉及来自多个业务部门的员工，而最终产品通常需要积极维护和更新。因此，4 MIN HUANG和GUO Luo过于复杂的模型可能会阻碍有效的业务通信，从而增加维护成本和运营风险。

鉴于这些考虑，不难理解为什么传统的蒙特卡罗和偏微分方程方法仍然是离散监控期权估值中最流行的方法，尽管它们的计算成本已经高到足以对其在商业中的适用性产生不利影响。鉴于上文提到的实际问题，我们提出了一种新的求积方法，在Black-Scholes框架下对上述离散监控期权进行定价。该方法的收敛速度为O（1/N），复杂度为O（MN log N），其中N是网格点的数目，M是观测日期的数目。我们的方法的性能与之前基于求积的方法（如CONV方法）相当，但它更简单，更适合具有多个不连续性的产品。我们的方法与其他质量方法的区别主要体现在三个方面。首先，我们直接使用概率密度函数，而不是使用特征函数或Toeplitz矩阵。其次，我们只使用固定的一维uniformgrid来计算所有积分。第三，我们利用显式Black-Scholes解mulasto，提高了计算的准确性。由于这些新颖的修改，我们的方法非常容易实现，并且能够处理复杂的产品，例如具有时间依赖性屏障水平的双屏障选项。1.6. 论文的组织结构。论文的其余部分组织如下。第2节详细说明了我们的四元法拟解决的（离散）期权定价问题类别，第3节给出了我们方法的主要递归公式。在第4–5节详细介绍了我们方法的实现之后，我们在第6节总结了算法，然后在第7节给出了数值示例。

附录收集了一些有用的理论结果，这些结果为一类（离散）期权定价算法奠定了基础（包括本文所述的算法），但据我们所知，这些算法似乎没有在文献中得到严格证明，甚至没有得到适当的阐述。我们在这里提供证据，证明它们对感兴趣的读者有用。2、基本假设我们假设标的资产的价格S（t）在风险中性度量中满足以下随机微分方程：（2.1）dS（t）=r（t）- q（t）S（t）dt+σ（t）S（t）dW（t），其中r（t）是风险中性利率，q（t）是收益率，σ（t）是波动率，W（t）是维纳过程。实际上，利率总是与时间相关的。外汇产品的收益率只是国外利率，而其他类型的产品的收益率可能来自期货价格。因此，收益率通常也与时间有关。隐含波动率是时间相关的，而历史波动率通常可以视为常数。（2.1）的解为（2.2）S（t）=S（t）expZtt公司r（s）- q（s）-σ（s）ds+Zttσ（s）dW（s）,一种简单有效的期权定价方法，其中5为当前日期。我们考虑一个离散监测选项，观测日期为t，tM，其中las t观测日期tM为到期日。从（2.2）可以看出，每个S（tm）为1≤ m级≤ M具有对数正态分布（2.3）S（tm）~ S（t）膨胀Ztmt公司r（s）- q（s）-σ（s）ds公司+Ztmtσ（s）ds1/2Z,其中Z表示标准正态分布。

现在定义=Ztmtm-1r（s）tmds，qm=Ztmtm-1季度tmds，σm=Ztmtm-1σ（s）tmds，用于1≤ m级≤ M其中tm=tm- tm公司-定义tm的分段常数函数▄r（t）=rm、▄q（t）=qm和▄σ（t）=σm-1<t≤ 商标。对于进程dS（t）=r（t）- q（t）S（t）dt+▄σ（t）▄S（t）dW（t），因为ztmtr（S）ds=mXn=1Ztntn-1r（s）ds=mXn=1rntn=Ztmtr（s）ds，Ztmtq（s）ds=mXn=1ZTNTNTN-1q（s）ds=mXn=1qntn=Ztmtq（s）ds，Ztmtσ（s）ds=mXn=1ztntntn-1σ（s）ds=mXn=1σntn=Ztmt▄σ（s）ds，因此▄s（tm）与（2.3）中的s（tm）对于每个m具有相同的分布。由于期权的价值仅取决于观察日期资产价格的概率分布，如果我们用过程▄s替换过程，则期权的价值保持不变。换句话说，我们可以安全地推断r（t）、q（t）和σ（t）是分段常数函数。因此，在下面的内容中，对于tm，我们将计算（t）=rm，q（t）=qm，σ（t）=σm-1<t≤ 商标。现在考虑一类带有屏障的离散监控选项。由于具有相同观测数据和障碍水平的敲入障碍期权和敲出障碍期权的总和是一个普通期权（如果障碍期权是数字的，则为数字期权），为了研究这些离散监控期权的定价，有必要考虑一个当跨越障碍水平时不再存在的敲出障碍期权。为此，假设（a）期权有两个执行价格K-m、 K+m∈ [0, ∞], 带K-m级≤ K+m，在每个观测日期tm，m=1，2，M（B） 如果S≤ K-mor S公司≥ K+mat some tm，其报酬由-mS+b-m（如果是S≤ K-m） 和a+mS+b+m（如果S≥ K+m），对于一些a±m，b±m∈ R、 （C）最终到期支付isV（tM，S）=aMS+bM，对于K-M<S<K+M.6 MIN HUANG和GUO Luo这些假设足够普遍，足以涵盖广泛类别的离散监控选项，如引言中提到的选项。