基于非鲁棒机会约束的分布模糊度理解

ThenDη，Д，P（f（x，r）| EP[f（x，r）]）=K-1~Ok=1bkEPhX+η*k+1iηk+o（ηk-1） ，（6）其中bk=(-1） k+1z（k）（0）（k+1）！，和η*最佳imal解决方案是否为tominηK-1~Ok=1bkEPh（X+η）k+1iηk。具体而言，z（·）是一个满足z（0）=1，z（1）（·）=Д（2）（z（·））的函数，对于k可以递归获得z（k）（·））≥ 2.注意，上述展开式适用于x中凹的一般效用函数f（x，r）。更重要的是，大多数-发散（KL发散、Cressie-Read发散、Burg熵、J-发散、χ-距离、修正的χ-距离和Hellingerdistance）满足平滑度条件。以KL和新月形散度为例，对于K=4，我们可以显式地求解公式（6）中的项，如以下联立式所示。ICAIF’2020年10月15日至16日，美国纽约州纽约市，Ma等人，《推论》3.3。考虑K=4。我们得到了Dη，ν，P（f（x，r）| EP[f（x，r）]）的4阶展开式：Dη，Д，P（f（x，r）| EP[f（x，r）]）=~Ok=1bkEPhX+η*k+1iηk+o（η），（7）带η*作为三阶方程的实根，k=1（k+1）bkηk·ηk+12bηEP[X]·η+4bηEP[X]+3bηEP十、= 0.对于KL散度，系数为b=1/2，b=-1/6，b=1/24；对于θ>2的新月形读数偏差，系数为b=1/2，b=（θ-2） /6，b=（θ-2)( 2θ - 3)/24.[11] 给出了命题3.5中Dη，Д，P（f（x，r）| EP[f（x，r）]的类似展开式。我们的扩张与创新之间的主要差异。（7） 它们的展开式在于η的计算*. 在等式中。

(7), η*通过多项式方程直接求解，而在[11]中，η*是η的近似函数。在后半部分中，我们取K=2，考虑Dη，Д，P（xTr | xTu）的2ndorder展开式，并忽略高阶项，它给出了∈UEP[f（x，r）]≈ EP[f（x，r）]- infη≥0ρη+η2Д（2）（1）VP[f（x，r）]= EP[f（x，r）]-s2ρД（2）（1）VP[f（x，r）]。最后一个相等是由于fη≥0ρη+η2Д（2）（1）VP[f（x，r）]=s2ρVP【f（x，r）】Д（2）（1），在η=r2ρД（2）（1）VP【f（x，r）】时达到最小值。这表明，当ρ很小时，最佳拉格朗日乘子η也很小，并且（6）中的展开式是精确的。通过使用maxx∈Xon bothsides，我们最终实现了定理3.4中问题（3）的第二级重新表述。定理3.4。假设Д是凸的，两次连续可微分，且Д（1）=Д（1）（1）=0且Д（2）（1）>0。问题（3）中的DRO问题在理论上等价于平均偏差问题：maxx∈X（EP【f（X，r）】-s2ρVP【f（x，r）】Д（2）（1））。（8） 定理3.4表明，模糊半径ρ实际上控制着投资者的风险偏好。3.2 CCO问题（4）的重新表述请注意，问题（4）中的机会约束与风险价值（VaR）的定义形式相同，风险价值是一种侧重于损失概率的风险度量。这促使我们用VaR重新组织问题（4）中的尾部机会约束。变量被定义为最小水平γ，因此端口对账单损失的概率-xTr超过γ低于：Vε（x）：=inf{γ∈ R：Pr~P{-xTr公司≥ γ } ≤ ε}.问题（4）中机会约束的等价形式：Pr~P{-xTr公司≥ δ } ≤ ε意味着δ包含在集合{γ中∈ R：Pr~P{-xTr公司≥ γ } ≤ ε }. 也就是说，机会约束可以用Vε（x）重新组织，即Pr~P{-xTr公司≥ δ } ≤ ε <=> Vε（x）≤ δ .因此，给定EP【xTr】=xTu，问题（4）可以重新表述为asmaxx∈XxTus.t。

Vε（x）≤ δ .如果Pis正常，则VaR可以表示为vε（x）=κ（ε）pxT∑x- xTu，其中κ（ε）=-Φ-1（ε）和Φ-1（·）是标准正态分布累积分布函数的倒数。如果Pisa是一般椭圆分布族的一员，[15]给出了Vε（x）的渐近展开式，其形式为κ（ε）√xT∑x-xTu渐近当ε→ 例如，如果Pis是具有自由度参数ν的studentt分布，则κ（ε）=Dε-ν、 其中D=cnπn-1Γ（ν+1）ν（ν+n）！ν、 cn=Γ（ν+n）Γ（ν）νπ-n、 Γ（·）表示伽马函数。对于椭圆分布以外的分布，q1-εε√xT∑x- xTu被证明是Vε（x）的有效近似值[4，9]。这些都提供了问题（4）的近似值，即重新计算的asmaxx∈XEP[f（x，r）]s.t.κ（ε）pxT∑x- xTu≤ δ .（9） 利用下面的引理，我们可以验证当κ（ε）>0时，问题（9）是一个凸优化问题。对于一般可行性集x，问题（9）总是可以用二阶锥规划（SOCP）有效地解决。引理3.5。假设a>0。然后函数a√xT∑x- xTu是x.4 portfolioselection显式公式的凸函数在本节中，我们提出了f（x，r）=xTr的portfolioselection问题的显式公式。只剩下显式指定集合X。我们从最简单但基本有界的集合X开始：=x个∈ Rn | xTe=1. 我们将用x表示最优化（8）的最优解和最优值*andv公司*, 分别地与优化（9）对应的最优解和最优值用▄x表示*和▄v*, 分别地了解非稳健机会约束下的分配Am biguityvia ICAIF’2020年10月15日至16日，纽约州纽约市，美国在本文的其余部分，我们将分别表示Pbyu和∑下的EP[r]和r的协方差矩阵。

那么自然地，EP[xTr]=xTu，VP[xTr]=xT∑x，v*= x个*Tu-r2ρx*T∑x*Д（2）（1）和v*=x*Tu。回想一下，在凸优化中，任何局部最优也是全局最优。这促使我们研究问题（8），x的最优解*, 以及问题（9）的最优解，x*, 通过KKT条件。（x）的结果*, v*) 和（▄x*,v*)分别总结在定理4.1和定理4.2中。定理4.1。假设ν（2）（1）>0。定义A：=eT∑-1e，B：=uT∑-1e和C：=uT∑-1u. 然后是问题（8），f（x，r）=xTr，可行性集x=x个∈ Rn | xTe=1当ρ>Д（2）（1）（C）时有最佳解- B/A）/2。最优解x*和最佳值v*是：x*=Σ-1(u - λ*e） B类- λ*A、 五*= λ*,式中λ*=文学士-qB-A（C- 2ρ/Д（2）（1））A.定理4.2。假设κ（ε）>0。问题（9），f（x，r）=x和可行性集x=x个∈ Rn | xTe=1当（ε，δ）满足C时，具有最优解- B/A<（κ（ε））<δA+2δB+C和B+δA>0。（定理4.1中定义了A、B和C。）和最优解▄x*和最佳值v*为：▄x*=Σ-1[(1 +~λ )u -θe]（1+￠λ）B-°θA，°v*=λδ+￠θ，其中∧=√自动控制-BAκ（ε）-AC+B（κ（ε）（B+Aδ）√Aδ+2Bδ+C-κ(ε )+√自动控制- B） ，和|θ=（C+δB）（|λ+1）-λκ（ε）B+δA。此外，v*≥ v*, i、 例如，问题（8）总是优于问题（9）。在定理4.2中，我们首先确定优化问题（9）可行的充分条件（ε，δ）。~v之间的比较*和v*结果表明，CCO格式的性能优于DRO格式。这里应该提到的是，问题（8）在p问题（9）上的优势并不明显。乍一看，问题（9）中的目标函数总是比问题（8）中的目标函数小，这似乎很有前瞻性。

事实上，而不是比较xTu-r2ρxT∑xД（2）（1）和xTu基于相同的资产配置策略x，我们根据各自的最优资产配置策略比较了两个目标函数，即x*Tu-r2ρx*T∑x*^1（2）（1）vsx*Tu。对于更复杂的集合X，我们借助数值分析来研究通过信道约束参数对模糊半径ρ的解释。5实验第5.1节和第5.2节基于合成数据，以测试DRO问题（3）的重新配方精度，并查看标称分布的尾重如何影响ρ的解释。第5.3节致力于根据4个资产类别的经验每日收益更详细地了解歧义半径ρ。第5.4节美国股市日内5分钟收益率测试了稳健保护在真实投资组合选择问题中的价值。5.1问题（3）的重新表述精度在本节中，我们对原始鲁棒问题（3）的第二阶和第四阶重新表述的精度进行了数值测试。我们取的ν-散度是KL散度，在这个散度下，问题（3）可以精确地求解。我们以精确最优值为基准，比较了2ndorder和thettorder格式。表2记录了相对误差（第3列和第4列）w.r.t。KL发散下的精确最优值（第2列）。结果表明，当数据显示出较重的尾部时，高阶改进尤其不可忽视。对于因页面限制而未记录在表e中的新月形差异，我们观察到50倍的改善：当ρ设置为0.78时，第4次短重配方的相对误差为1.53%，而第2次短重配方的相对误差为56.54%，前提是最佳值为-0.2 787.

在这里，我们假设在六维多元指数分布的KLDifference中心下的模糊集，平均值=0.2，std=0.2，偏度=2，峰度=6。我们将尺寸设置为i.i.d，以查看重尾的干净冲击。并且中心分布Punder-Cressie-Read散度为多变量t。我们发现，歧义集的大小越大（即ρ越大），4阶重构的改善越好。事实上，在本例中，误差减少了大约10倍。然而，当ρ很小时，使用2ndorder等效公式足以解决问题（3）。表2:4阶重公式和n阶重公式的相对误差w.r.t.问题（3）的最优值。模糊集由以KL散度为中心的ata 6-d指数分布定义。相对误差预计值4阶跃2阶跃ρ=0.01 0.1887 0.0002%0.1172%0.02 0.1841 0.0038%0.2397%0.03 0.1807 0.0128%0.3659%0.04 0.1778 0.0274%0.4951%0.05 0.1753 0.0479%0.6270%0.06 0.1730 0.0748%0.7613%0.07 0.1710.1082%0.8979%0.08 0.1691 0.1483%1.031 7%0.09 0.1673 0.1951%1.778%5.2不同尾重分布下ρ的解释该实验表明标称分布的尾部重量影响模糊半径ρ的解释。我们关注5项资产的三种分布：多变量正态分布、ICAIF’20、2020年10月15日至16日、纽约州纽约市、美国Ma等。对数正态分布和学生t-分配分配策略集的界限低于-1，模糊半径ρ固定为0.27。我们将等效结果（ε，δ）绘制在图1中。它表明，首先，模糊半径ρ可以用一组对（ε，δ）来解释对最优值的影响。

其次，尾重影响ρ的解释和分布，对于给定的损失概率ε，尾重会导致更大的损失阈值。（%）2 4 6 8 10 12 16 18 20正态学生图1：给定ρ=0.27，尾部重量影响等效损失阈值δ。5.3每日资产回报的实证研究为了更清楚地了解模糊Radiusρ的财务解释，我们根据经验数据进行了实验。我们提取了我们主要资产类别过去40年的每日简单收益：股票指数（DAX、FTSE、HSI、NASDAQ、NIKKEI250、SP500）、美国国债（2年、10年、30年）、货币（澳元、瑞士法郎、欧元、英镑、日元）和商品（原油、白银、黄金）。对于DROproblem，我们使用Cressie读取散度而不是KL散度，因为所有数据都显示出很重的尾部。对于CCO问题，我们选择负每日收益阈值-δ是每个资产类别每日简单收益率序列的3%经验分位数，以便它们可以在不同的资产中有所不同。我们选择机会水平ε为2%和5%，在季度（252个中的4个）和月度（252个中的12个）对事件频率进行细化（四舍五入），以便投资者能够将ε与事件罕见程度联系起来。投资组合权重被限制为低于-1。当拟合数据时，多元t分布和正态分布都被测试为模糊集U的中心。此外，我们还测试了DRO问题的4阶和2阶重新表述。表3（a）-（d）分别报告了四种资产类别在给定CCO参数对（ε，δ）下的等效模糊半径ρ的DRDO问题，以及相应的最优投资组合回报（年化）。以表3（a）为例。共有2行、4列和8个条目。

每一行对应于参数ε的选择，每一列对应于DRDO问题的重新表述框架的选择和中心分布P的选择。一个条目中的上限数字记录等效模糊半径ρ，而圆括号中较低的数字记录了表3：四种资产类别的DRO问题的等效模糊半径ρ：（a）股权、（b）美国财政部、（c）货币和（d）货币。损失阈值δ被视为每个资产类别的简单收益率的3%经验分位数的负值，因此是不同的交叉资产。我们基于选择中心分布（多元student t分布或正态分布）比较了在4阶和2阶DREO问题重新表述下每个资产类别的投资组合绩效。等模糊度半径ρ下圆括号内的百分比数记录了相应的最优投资组合年化回报。

粗体数字强调在给定的DRIO问题解决方案框架下，agiven对（ε，δ）的组合回报性能更好。（a） 权益：δ=3.35%。thorder 2ndorderStudent t Normal Student t Normalε=2%3.5e-4 1.2e-4 6.1e-4 1.2e-4（30.7%）（30.7%）（15.3%）（15.3%）\\1013;=5%3.4e-4 1.2e-4 6.1e-4 1.2e-4（39.2%）（19.8%）（b）美国财政部：δ=6.58%。thorder 2ndorderStudent t Normal Student t Normalε=2%2e-6 2.8e-14 9.5e-6 2.8e-14（-1.1%）（-2.6%）（-1.1%）（-2.6%）\\1013;=5%2e-6 2.8e-14 4.8e-6 2.8e-14（0.7%）（-2.6%）（c）货币：δ=1.40%。thorder 2ndorderStudent t Normal Student t Normalε=2%2.6e-4 6.1e-5 3.1e-4 6.1e-5（2.3%）（3.6%）（2.3%）（3.6%）\\1013;=5%1.5e-4 3.1e-5 3.1e-4 3.1e-5（4.4%）（5.0%）（d）商品：δ=4.4%。thorder 2ndorderStudent t Normal Student t Normalε=2%9.6e-5 3.7e-9 1.5e-4 3.7e-9（17.3%）（4.6%）（17.3%）（4.6%）ε=5%6.5e-5 1.9e-9 7.6e-4 1.9e-9（22.7%）（4.6%）（22.6%）（4.6%）相应的最佳港口对账单年回报率。在其他参数固定的情况下，我们比较了多元学生t分布和正态分布之间的最优投资组合回报，并在bol dblack中用更大的投资组合回报标记条目数。了解非稳健机会约束下的分布Am biguityvia ICAIF’2020年10月15日至16日，美国纽约州纽约市。我们从表3中了解到，通过将DRO问题中的模糊集的大小参数ρ与CCO机会参数相关联，它变得有形，即使是适当的顺序也很难猜测。在我们的测试中，其大小可以从-4至10-14取决于资产类别和投资者的容忍度。此外，金融数据的重尾性质要求使用分歧度量（例如，新月读分歧），如果采用稳健的投资组合优化方法，则允许重尾分布。

然而，由KL差异构建的模糊集要求目标函数具有指数有界，这排除了普遍用于金融资产回报的重要重尾分布，例如学生t分布。在表3中的16项测试中，粗体的大回报率显示了Pas多变量分布的12个有利拟合数据。5.4高频经验设置我们收集15只股票的日内5分钟资产回报率，这些股票是根据市值和日成交量从50只恒生指数成分股中选择的。数据范围为2014年12月1日至2017年12月1日，包含约39390个观测数据，不包括每个交易日第一个和最后半个小时的信息。第一个实验说明了随着更多经验数据可用，等效模糊半径ρ的趋势。正如在上一次实验中，我们使用了Cressie Read Difference，并将损失概率ε设置为3%，δ设置为0.28%（100个交易日内回报序列的3%经验分位数）。资产配置策略的范围如下：-1、我们应用4thorder重新公式来解决DRO问题，并将多元t分布和正态分布作为名义分布P进行检验。首先，我们根据5分钟收益率序列的前6个连续交易日计算等效模糊半径ρ。然后，我们向前移动，以包含更多交易日的样本数据，并获得下一个等效ρ。图2绘制了等效ρ序列，每个ρ上都印有计算所基于的交易日数。图2显示，为了达到相同的尾部概率保护水平，等效模糊半径ρ会随着可用数据的增多而减小并收敛。