仿射粗糙波动率的深曲线相关偏微分方程

因此，在Q下，股价满足（2.8）St=S+ZtruSudu+Ztl（u、Su、Vu）ρdBQu+ρdBQ，⊥u,Vt=V+ZtK（t- u）bb（Vu）du+ξ（Vu）dBQu,仿射粗糙波动率5的深曲线依赖型偏微分方程，其中，在Q下，方差过程的漂移现在的形式为bb（Vt）=b（Vt）-λtξ（Vt）。引入布朗运动WQ（Q下），第一个SDE然后读取SST=S+ZtruSudu+Ztl（u，Su，Vu）dWQ。然后，使用假设2.2（iii），该命题直接遵循Novikov的标准。备注2.6。我们可以放宽l（·）的假设。例如，假设一个粗略的局部随机波动率设置（备注2.1），其中l（t，S，v）=l（t，S）（v），但对于η>0，假设2.2（iii）替换为（v）=eηv。自ρ起≤ 0，使用停止时间τn：=inf{t>0：Vt=n}递增序列的局部化变元，对[35，定理1]的证明保持不变，并且股票价格是真鞅。因此，粗糙Bergomi模型的局部波动率版本【8、54、55】属于我们的无套利设置。3、通过曲线依赖型PDEs定价从现在起，我们将只在风险中性度量下工作，并在稍微滥用符号的情况下，为方差过程的漂移写b而不是b（相当于将波动性风险的市场价格在定理2.5中取为零）。在经典的It^o差异设置中，核K是常数，Feynman-Kacformula将定价问题从概率设置转换为PDE公式。我们的粗糙局部随机波动率模型（2.1）的公式超出了这一范围，因为系统不再是马尔可夫系统。

我们在此采用了Viens和Zhang【75】开发的方法，以证明pricingproblem等效于求解曲线相关的PDE。我们首先从以下引理开始，不足为奇地表明，期权价格不应视为固定给定时间的状态变量的函数，而应视为路径上的函数。这一论点并不新鲜，文献[29]中的粗糙赫斯顿模型和文献[75]中的随机Volterra方程的^o公式已经出现了版本。考虑一个欧洲期权，其到期日为T，支付函数为g（·），写在股票价格S上。根据定理2.5中的标准无套利参数，其在T时的价格为∈ [0，T]读取（3.1）Pt=E[g（ST）| Ft]。我们下面分析的关键对象是有限维随机过程（Θt）t∈[0，T]，适应过滤（Ft）T∈[0，T]，定义为（3.2）Θtu：=徐，如果你∈ [0，t]，E徐-Zutb（u、r、Xr）dr英尺, 如果u∈ [t，t]。我们的下一个假设很关键，并允许我们表示时间t的价格（3.1）≤ T作为ft可测量量的函数。作为一般设置，我们要显示映射P:[0，T]×C（[0，T]→R） ，因此，对于任何t∈ [0，T]，Pt=P（T，（Θtu）T≤u≤T） 。对于一般的粗糙局部随机波动率模型来说，给出这样一个表示绝非易事，我们将其留给未来的研究，以得出确保其存在的模型系数的有效条件。然而，El Euch和Rosenbaum【29】表明，它适用于粗略的Heston模型，形式如下：假设3.1。

存在一个映射P:[0，T]×[0，∞) ×C（[0，T]→ R） ，因此，对于任何t∈ [0，T]，Pt=Pt、 圣，Θtut型≤u≤T.这有效地丢弃了局部波动性成分，结果过程现在显示（3.3）tu：=Vu，如果u∈ [0，t]，EVu公司-ZutK（u- r） b（r，Vr）dr英尺, 如果u∈ [t，t]。这里我们使用了Θ的常用（非粗体）符号，因为它只是一维的。对于任何t∈ [0，T]，一维曲线ΘT（或等效的有限维过程（ΘT））T∈[0，T]）起着基础作用。它不能准确地表示前向方差曲线（[t，t]3 u 7→ E[Vu | Ft]）t∈[0，T]，在[29]中使用，除非漂移b为零，我们参考[75]了解两者之间的精确对应关系。以下6 ANTOINE JACQUIER和MUGAD OUMGARItheorem是本文的主要结果（见附录B），并展示了如何将经典的Feynman-Kacformula推广到曲线相关的情况。从现在起，我们将采用符号（3.4）Kt：=K（·）- t） ，对于任何t≥ 0表示在时间t处看到的曲线kt。在下面的定理中可以清楚地看到这是如何变得方便的。定理3.2。期权价格（3.1）是线性曲线相关PDE（3.5）的唯一解决方案t+Lx+Lxx+Lxω+Lω+Lω- rt公司Pt、 St，Θt= 0，对于t∈ [0，T），带边界条件PT、 ST，ΘT= g（ST），其中，在点（t，x，Θt）处，Lxω：=ρl（t，x，Θtt）ξ（Θtt）xx、 ω，Kt, Lxx：=l（t，x，Θtt）xx、 Lx：=rtxx、 Lω：=ξ（Θtt）ω、 （千吨，千吨）, Lω：=b（Θtt）ω、 千吨级.注意，定理中的函数P取决于曲线Θt，但系数仅取决于与方差过程相关的一维曲线Θt。定价PDE（3.5）既有状态相关项，涉及x的导数，也有曲线相关项，涉及ω的泛函导数。

为了简化表述，我们根据附录A《preciseframework》（借用自[75]）对这些衍生产品进行定义。读者基本上可以将其视为Fr'echet导数（由于核沿对角线的奇异性，具有一定的正则性），而不会对其余的分析失去理解。然而，我们想指出，我们的框架由假设3.1支持，涉及的函数取决于曲线上的点，而不是全历史相关路径上的点，如【24、25、26】中所述。在本研究的最后修订阶段，拜耳、邱和姚[11]通过使用反向随机偏微分方程，研究此类方程的存在性，并开发基于深入学习的算法来解决这些方程，将这种方法扩展到更一般的粗糙随机波动率模型。4、CPDEsTheorem 3.2的数值框架表明，粗波动率下的定价可以通过路径依赖型（此处为曲线依赖型）偏微分方程进行分析。然而，这类方程的数值格式很少，我们所知道的唯一方法是将Barles和Souganidis的单调格式[5]扩展到Zhang和Zhuo[77]提出的路径相关情况，Ren和Tan[69]证明了其收敛性。然而，该方案在PPDE环境中的实际实现远非微不足道，我们在这里考虑了不同的路线，我们认为，至少在曲线相关的框架中，更易于计算。我们首先沿着函数的某些基础离散CPDE，将有限维问题简化为有限维但高维的问题。高维偏微分方程（High-dimensional PDE）与所谓的维度曲线（curseof dimensionality）不同，并且是出了名的难以解决的问题。然后，我们采用E、Han和Jentzen最近开发的深度学习方法来解决这个PDE系统。4.1.

CPDE的离散化。对于每个t∈ [0，T]，我们考虑一个基ψT=（ψta）a=1，。。。，pof c ` adl ` agfunctions，对于某些固定整数p，并使用它来近似Θtand KtbybΘt：=θt·（ψt）>和bkt：=κt·（ψt）>，对于某些实系数序列θt：=（θta）a=1，。。。，pandκt：=（κta）a=1，。。。，p、 自Kt起∈ Dt，c\'adl\'ag在[t，t]上的函数空间（见附录A.2），然后，从定义A.4，ωPt、 x，Θt, 千吨级:= εPt、 x，Θt+εKt【t，t】ε=0= εPt、 x，Θt+εKtε=0，我们可以引入沿Kt方向的路径导数的以下近似值：DωPt、 x，bΘt,bKtE：=εPt、 x，bΘt+εbKtε=0= εPt，x，pXa=1θta+εκtaψa！ε=0=: εbPt、 x，θta+εκtapa=1ε=0=pXa=1θtabPt、 x，θtκta=θtbPt、 x，θt· κt，仿射粗糙波动率的深曲线依赖型偏微分方程7，其中新函数bp现在作用于[0，t]×[0，∞) ×Rp.同样，对于二阶泛函导数，DωPt、 x，bΘt,bKt，bKtE=pXa，j=1θtaθtjbPt、 x，θtκtaκtj=κt>· θtbPt、 x，θt· 最后，交叉导数可以近似为asDx、 ωPt、 x，bΘt,bKtE：=x个θtbPt、 x，θt· κt.CPDE（3.5）因此变为（4.1）t+Lx+Lxx+pXa=1Lxθta+pXa=1Lθta+pXa，j=1Lθtaθtj- rt公司bP=0，其中定义了不同运算符，对于每个a，j=1，p、 asLxθa：=ρl（t，x，θt）ξ（θt）xκtaxθta，Lxx：=l（t，x，θt）xx、 Lx：=rtxx、 Lθtaθtj：=ξ（θt）κtaκtjθtaθtj，Lθa：=b（θt）κtaθta。我们可以用更简洁的方式重写这个系统，如（4.2）tbP+TrΣ · Σ>· 英国石油公司+ u · 英国石油公司- rtbP=0，其中ut、 x，θt:=xrt，b（θt）κt，b（θt）κtp>和∑t、 x，θt· Σt、 x，θt>:=l（t，x，θt）xρl（t，x，θt）ξ（θt）xκt··ρl（t，x，θt）ξ（θt）xκtpρl（t，x，θt）ξ（θt）xκtξ（θt）（κt）··ξ（θt）κtκtp。。。。。。。。。。。。ρl（t，x，θt）ξ（θt）xκtpξ（θt）κtκtp·ξ（θt）κtp备注4.1。最简单的例子是考虑分段常数曲线ψta=11δta，对于a=1，p、 式中，（δta）pa=1表示间隔[t，t]的网格。

事实上，为了简化下面的符号，我们从现在开始考虑网格δta=[ta-1，ta），我们写θta=Θtta和κta=K（ta- t） 。定理A.6中的函数It^o公式与后向随机微分方程之间有一个有趣的联系。在【27】之后，考虑多维BSDE（4.3）Xt=ξ+Ztu（r，Xr）ds+Zt∑（r，Xr）dWr，Yt=g（Xt）+ZTtf（r，Xr，Yr，Zr）dr-ZTtZ>r·dWr，在某些滤波概率空间上(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）支持d维布朗运动W。求解过程（X，Y，Z）在每个时间点取Rd×R×Rd中的值。进一步考虑PDE（4.4）tu（t，x）+Tr∑（t，x）∑（t，x）>u（t，x）+ u（t，x）u（t，x）+ft、 x，u（t，x），∑（t，x）>u（t，x）= 0，终端边界条件u（T，x）=g（x）。在正则（假设A.3（i））情况下，如[75]所示，假设（4.4）在C1,2+（λ）中有一个经典解u（·）（见附录A.2），那么（Y，Z）对定义为Yt：=u（t，Xt）和Zt：=∑（t，Xt）>·u（t，Xt）是（4.3）的解。根据这一结果，并遵循[23]中的主要思想，如果期权问题的解决方案满足（4.2），它也会解决BSDE（4.3），即（4.5）bPt、 St，θt=英国石油公司T、 ST，θT+ZTtrubP（u，Su，θu）du-ZTt∑（u，Su，θu）>·bP（u，Su，θu）dWu，或，以正向形式写入，（4.6）bPt、 St，θt=英国石油公司0，S，θ-ZtrubP（u，Su，θu）du+Zt∑（u，Su，θu）>·bP（u，Su，θu）dWu。8 ANTOINE JACQUIER和MUGAD OUMGARI4.2。神经网络结构。我们现在介绍神经网络结构，它将帮助我们解决上述高维定价问题。我们主要关注备注4.1.4.2.1中的设置。网络输入模拟。

我们首先对随机Volterra系统（2.2）进行时间离散。存在许多不同的可能离散化方案，在此我们将不详细探讨它们。这里的基本特征是对角线上的核的奇异性，这需要特别小心，并使用Bennedsen、Lunde和Pakkanen最近开发的混合方案来处理。我们将对粗糙赫斯顿模型离散化的详细分析推迟到附录C，稍后我们将在数值应用中使用该模型。为了我们在这里的论证，目前我们所需要的只是一个离散化过程（Sti，（Θtitj）0≤j≤n） 沿网格（ti=iTn）0≤我≤n、 对于某些整数n.4.2.2。欧拉离散格式。我们在每个时间步迭代计算期权的价格。两个面板(bP）是将随网络权重优化的初始价格和梯度。在二维网格（ti，tj）0上≤i、 j≤n、 我们可以将前向随机方程（4.6）离散为英国石油公司t、 St，θt=英国石油公司，英国石油公司t、 St，θt= (bP），bPti+1，Sti+1，θti+1= （1+rtii） 英国石油公司ti，Sti，θti+ Σti，Sti，θti>英国石油公司ti，Sti，θtiWti，其中Wti=（BQ，⊥ti，Bti，Bti）>∈ 注册护士。离散化后向SDE（4.5）将得到（bPtn，Stn，θtn= g（ST），bPti，Sti，θti=1.- rti+1i+1英国石油公司ti+1，Sti+1，θti+1- Σti，Sti，θti>英国石油公司ti，Sti，θtiWti。我们在这里遵循这种落后的方法，更自然地为外来（路径依赖）衍生品定价，如百慕大或美国期权。严格来说，这是一种向前向后的方法，因为我们先模拟股票价格向前，然后模拟期权价格向后，但我们坚持使用“向后”的术语。4.3. 神经网络。基于过程的离散化，我们引入了更粗糙的离散网格（τi）i=1，。。。，m使τm=tn，τ=tand m≤ n、 在[23]中，E、Han和Jentzen假设n=m，但我们在这里允许更多的灵活性。

这也大大提高了算法的速度，因为它减少了网络的数量，从而减少了网络参数的数量，并简化了损失函数的计算。对于每个i=1，m、 价格和模型参数是已知的。唯一未知项是∑（τi，Sτi，θτi）>bP（τi，Sτi，θτi），包括梯度和扩散矩阵。因此，我们使用下面的神经网络来推断其值。输入由一个输入层组成，进程值为ti。每个隐藏层的计算方法是将前一层乘以权重w并加上偏差δ。计算层后，我们通过计算层的平均值m和标准偏差s，并通过应用线性变换T（x）：=γx，应用批量归一化-ms+β至各层，其中刻度γ和偏移β将被校准。我们还在层的每个元素上使用ReLu activationfunction a（x）=x+。仿射粗糙波动率9bP的深曲线相关偏微分方程τi-1，Sτi-1，θτi-1.(Σ>· 英国石油公司）τi-1，Sτi-1，θτi-1.Sτi-1，θτi-1多层神经网络输出数据输入数据（τi，Sτi，θτi）（∑>·bP）（τi，Sτi，θτi）层L。。。层1Sτi，θτiBτi- Bτi-1，B⊥τi- B⊥τi-1个基点τi+1，Sτi+1，θτi+1···bP（τn，Sτm，θτm）τi-1τiτi+1τm4.4。优化算法。在该算法中，nl表示每个子网络的层数，nn表示每个层的神经元数，nb表示用于分离样本的批次数，N每个批次的大小和epoch应表示所有样本馈送到训练算法的次数。

最后，我们引入了以下我们旨在最小化的损失函数：L（w，δ，β，γ）：=EbP（τ，Sτ，θτ）- EhbP（τ，Sτ，θτ）i,或者，事实上，其在样品上的版本，（4.7）bL（w，δ，β，γ）：=NNXk=1英国石油公司τ、 Sτ，（θτ）k-NNXl=1bPτ、 Sτ，（θτ）l.它表示每个模拟路径通过反向迭代找到的初始价格的方差。由于初始价格是唯一且具有确定性的，因此最小化其方差自然是计算初始价格的好方法。关于优化本身，我们使用自适应矩估计方法[4]进行迭代，并切换到随机梯度方法，具有较慢但更稳定的收敛特性。然后，要校准的不同参数是o每个子网络各层的权重w和偏差δ；o批次标准化中的β和γ。初始价格b由一个或多个批次的平均值确定（类似损失函数见【76】。5、数字：粗糙赫斯顿模型的应用我们为[28、29、30]中开发的粗糙赫斯顿模型开发了数字，其形式如下：（5.1）dSt=StpVtdWt，Vt=V+ZtK（t- s） hκ（θ- Vs）ds+νpVsdZsi，dhW，Zit=ρdt，10 ANTOINE JACQUIER和MUGAD Oumgari，其中内核定义为K（t）：=Γ（α）tα-1，对于α∈ (, 1). 根据文献[2]，如果θ和变量都是非负的，则方差过程V允许一个非负的弱解。该模型不是马尔可夫模型，目前还没有一种精确收敛的精确蒙特卡罗格式。我们将[12]中的混合方案改编为附录C中详述的粗糙赫斯顿模型。El Euch和Rosenbaum[28]表明，与标准赫斯顿模型（α=1）类似，股票价格的特征函数可以半封闭形式计算，下一节将详细说明这一点以及我们用于比较的数值方案。5.1. 通过分数Riccati方程定价。

对于t≥ 0，Φt:R→ C表示特征函数Φt（u）=E“不锈钢iu#。El Euch和Rosenbaum【28】表明对数Φt（u）=κθIh（u，t）+VI1-αh（u，t），其中，对于任何u∈ R、 h（u，t）求解分数Riccati方程（5.2）Dαh（u，t）=F（u，h（u，t）），边界条件为I1-αh（u，0）=0和f（u，x）：=-u（u+i）+（iuρν- κ） 这里，Irand dr表示由irf（t）：=Γ（r）Zt（t）定义的分数阶积分和分数阶导数- s） r-1f（s）ds和Drf（t）：=Γ（1）- r） ddtZt（t- s）-rf（s）ds。然而，与Heston模型相反，分数阶方程（5.2）不允许使用闭合形式的表达式，我们回顾了在[28]中提出的用于数值求解的Adams方案。取（5.2）yieldsh（u，t）=Γ（α）Zt（t）两边的分数次积分- s） α-1F（u，h（u，s））ds。我们现在定义一个等距网格（tk）0≤k≤N网目尺寸 使tk=k. 对于每个k=0，n、 我们用bh（u，t）：=bh（u，t）和bh（u，tk）：=Γ（α）Ztk（tk）来近似h（u，tk- s） α-1bg（u，s）ds，对于k=1，n、 其中，对于t∈ [tj，tj+1），带0≤ j≤ k- 1，bg（u，t）：=tj+1- ttj+1- tjF（u，h（u，tj））+t- tjtj+1- tjF（u，h（u，tj+1））是一个线性插值函数。