用于投资组合估值和风险的核机器学习

（33）对于投资组合，我们确定了履约价格K，并考虑了以下具有贴现付款函数的欧洲期权o最小认沽f（x）=e-rPTt=1t（K- miniSi，T）+；o最大调用f（X）=e-rPTt=1t（最大值，t- K） +。我们还考虑了一个真正的路径依赖产品，具有折扣支付函数o障碍反向可转换f（X）=e-rPTt=1t型C+F1.- 1{迷你，tSi，t≤B}1.- miniSi，TSi，0K+,对于某些屏障B<K，试样C和面值F。在到期日T时，该结构化产品的持有人收到息票C。如果在任何时间步骤T=1，…，没有任何名义股票价格低于屏障B，则其也收到面值F，T否则，面值F会因F/Kmin看跌期权对标准化股票Si、T/Si、0和执行价格K的支付而减少。这些例子的灵感来自于【BCJ19】。请注意，最小看跌期权和障碍反向可转换债券的支付函数是有界的，而最大看涨期权的支付函数是无界的。对于我们的数值实验，我们选择以下参数值：无风险利率r=0，初始股票价格Si，0=1，波动率σi=0.2ei，其中eidenote是Rd中的标准基向量，因此股票价格是独立的，执行价格K=1（按货币计算），屏障B=0.6，息票C=0，面值f=1。其余参数按以下情况逐一选择：o最小投入：d=6个库存，T=2个时间步长，步长为= 12月1日和= 11/12，采样测量参数γ=0。最后一个是因为最小认沽回报是有界的。需要注意的是，β=0乘以（32）。因此，条件（16）和定理3.1和3.4都成立最大呼叫数：d=6，T=2，= 1/12, = 12月11日，关于min put。然而，条件（15）成立，当且仅当γ>0时，定理3.4适用。另一方面，鉴于备注3.3，定理3.1still也适用于γ=0。

所以我们尝试γ=0和γ=0.15壁障反向敞篷车：d=3个库存，T=12个时间步长，步长为t=1/12，采样测量参数γ=0。最后一个与最小投入相同，意味着定理3.1和3.4都成立。在[FAF20，第5节]中，使用实践中经常使用的模型构建保险责任模型，其中d=5。对于最小put和最大调用，我们有d=6，路径空间的维数E=RdTamounts到12；对于壁障倒车敞篷车，这些值分别为3和36。实际上，这些例子可以被认为是高维的。根据上述参数规格，我们生成一个大小为n=2×10的训练样本X，并使用scikit学习库的高斯过程回归（GPR）模块【PVG+11】。事实上，GPR的表达式与我们在引理4.1中对样本估计量FX的表达式相同，请参见【RW06】。使用探地雷达的优点是，通过最大化似然函数可获得一些最佳超参数值α、β和λ【RW06】。这是标准验证步骤的另一种选择，在标准验证步骤中，需要为每个超参数指定一个网格，这可能会导致繁琐而冗长的计算，正如我们在示例中所经历的那样。相反，对于GPR，我们只需要指定每个超参数的值范围，这里我们选择α∈ [2.8 × 10-5, 83], β ∈ [10-9，0.15]和λ∈ [10-12, 10-3]. 表1显示了最佳超参数值。我们注意到，所有最佳值都在其预先规定的范围内。Payofffαβλ最小投入2.06×10-20 1.86 × 10-8Max调用（γ=0）2.53×10-20 3.33 × 10-8Max调用（γ=0.15）3.66×10-23.25 × 10-94.14 × 10-8托架倒档敞篷车2.96×10-30 9.20 × 10-8表1：GPR的最佳超参数值α、β、λ。然后，我们计算估计值过程VX，tat时间步长t∈ {0，1，T}使用引理4.1，（28）和（33）。

我们将Vx基准测试到地面真值过程V，我们通过使用ntest=10模拟的大型MonteCarlo方案获得该过程。更具体地说，我们通过模拟VT=f（X）获得Vas简单蒙特卡罗估计。对于V，我们使用嵌套蒙特卡罗方案，其中我们使用ninner=1000（X，…，XT）的独立内部模拟来估计V=V（X）的每个样本。然后我们进行以下计算。首先，我们计算VX，0，| VX，0的绝对相对误差- V |/V和VX，t，kVX，t的归一化LQ误差- Vtk2，Q/V，对于t=1，t。表2显示，VX，tD的归一化LQ误差随着成熟时间T的增加而减少- t、 更具体地说，VX的标准化LQ误差1is平均比VX的小10倍，t。VX的相对绝对误差0is平均比VX的标准化LQ误差1小19倍。这些发现与（5）一致，并且对于γ>0.15有实用的数值问题。事实上，EeQ[1/w（X）]=1的样本估计值给出的值明显小于1，这是由于表示维度36中接近零的1/w（X）样本值时的精度有限。启示。事实上，可以说，定理3.4中的样本误差界主要是理论上感兴趣的，在实践中几乎不可用。然而，在具体应用中，人们总是可以通过一个简单的蒙特卡罗方案来估计VX的归一化LQ误差，就像我们在这里所做的那样。然后，对于任何t<t的情况，该误差作为VX，t的归一化LQ误差的上限。

图1a、2a、3a和图1b、2b、3b分别显示了关于VX、1和VX、T的训练样本量n的归一化LQ误差的减小。PAYOFF VX，0VX，1VX，TMint put 0.1942 1.827 10.05Max-call（γ=0）0.07962 2 2.500 12.35Max-call（γ=0.15）0.1031 2.315 11.65壁障反向可转换0.02198 0.2506 5.745表2：标准化LQ错误kVt- VX、tk2、Q/Vat步骤t=0、1、t。所有值均以%表示。其次，我们分别使用ntesttest样本和n个训练样本绘制了VX，1和VX，T的去趋势Q-Q图。其中，我们在{0.001%，0.002%，…，0.009%}、{0.01%，0.02%，…，0.99%}、{1%，2%，…，99%}、{99.01%，99.02%，…，99.99%}和{99.991%，99.992%，···，100%}的水平上计算了VX，tand和vt的经验左分位数。然后根据真实分位数绘制去趋势分位数（估计分位数减去真实分位数之间的差值）。图1c、2c、2e、3c和图1d、2d、2f、3d分别显示了VX、1和VX、T的去渲染Q-Q图。我们观察到，VX，1的去趋势Q-Qplot明显优于VX，T，这与我们之前发现的相应相对LQ误差一致。值得注意的是，图3d显示，对于不到3%（如最左边的两个红点所示）的训练样本（即，不到600个点，n=20000），barrier reverse convertible中的embeddedmin看跌期权被触发，并且在货币中。对于其余采样点，Payoff等于面值，F=1。然而，如图3c所示，这足以让我们的算法学习Payoff函数，从而使VX，1非常接近地面真值，归一化LQ误差为0.251%，如表2所示。图2显示了使用γ>0（大于γ=0）作为最大调用的无界支付的好处，这与定理3.4一致。

我们还计算了γ=0.15的最小投入和势垒反向转换的归一化LQ误差和去趋势Q-Q图，我们发现比γ=0的结果稍好，未报告，作者可根据要求提供这些结果。我们希望通过选择抽样测量q，我们的结果可以进一步改进~ Q更多地针对特定的基础投资组合支付，从而产生更平衡的培训样本。我们把这个留给将来的研究。第三，作为风险管理应用，我们计算上述投资组合中的风险价值和多头和空头头寸的预期缺口。在此，我们回顾了[FS04，第4章]中的定义。对于α级置信度∈ （0，1），风险值定义为损失分布的左α分位数，VaRα（L）=inf{y | P[L≤ y]≥ α} ，预期差额由ESα（L）=1给出-αEP[（L-qα）+]+qα，其中qα是L的α-分位数，例如，qα=VaRα（L）。风险价值和预期短缺都是实践中的标准风险度量。例如，根据偿付能力II和瑞士偿付能力测试，保险公司必须分别计算α=99.5%的风险价值和α=99%的预期缺口。有关这两种风险度量的更多讨论，请参阅本书【MFE15】。此后，为了简单起见，我们假设真实世界的度量值P=Q。对于上述三个示例，我们计算了归一化风险值和1期损失的预期差额L=V-Vand Its注意到，对于尺寸ntest=10的试样，左0.001%分位数（100%分位数）对应于最小（最大）样本值。

对于大小ntrain=2×10的训练样本，同样适用，而十个左右最大数量分别塌陷为两个值。（a） VX的归一化LQ误差，1in%（b）VX的归一化LQ误差，Tin%（c）VX的去渲染Q-Q图，1（d）VX的去渲染Q-Q图，t图1：最小输入的结果。在去渲染的Q-Q图中，使用测试（训练）数据构建蓝色、青色和蓝绿色（红色、橙色和粉色）点。[0%，0.01%指{0.001%，0.002%，0.009%}，[0.01%，1]指{0.01%，0.02%，0.99%}，[1%，99%]指{1%，2%，99%}级别的分位数，（99%，99.99%]指{99.01%，99.02%，·····，99.99%}级别的分位数，（99.99%，100%]指{99.991%，99.992%，····，100%}级别的分位数。（a）VX的归一化LQ误差，1in%（b）VX的归一化LQ误差，Tin%（c）VX的去渲染Q-Q图，1对于γ=0（d）VX的去渲染Q-Q图，t对于γ=0（e）VX的去渲染Q-Q图对于γ=0.15（f），VX的去趋势Q-Q图，tγ=0.15图2：γ=0.0和γ=0.15的最大调用结果。在去渲染的Q-Q图中，使用测试（训练）数据构建蓝色、青色和蓝绿色（红色、橙色和粉色）点。[0%，0.01%表示{0.001%，0.002%，0.009%}，[0.01%，1]表示{0.01%，0.02%，0.99%}，[1%，99%]表示{1%，2%，99%}级别的分位数，（99%，99.99%]指{99.01%，99.02%，·····，99.99%}级别的分位数，（99.99%，100%]指{99.991%，99.992%，····，100%}级别的分位数。（a）VX的归一化LQ误差，1in%（b）VX的归一化LQ误差，Tin%（c）VX的去渲染Q-Q图，1（d）VX的去渲染Q-Q图，图3：屏障反向转换的结果。

在去渲染的Q-Q图中，使用测试（训练）数据构建蓝色、青色和蓝绿色（红色、橙色和粉色）点。[0%，0.01%表示{0.001%，0.002%，0.009%}，[0.01%，1]表示{0.01%，0.02%，0.99%}，[1%，99%]表示{1%，2%，99%}级别的分位数，（99%，99.99%]指{99.01%，99.02%，······，99.99%}水平的分位数，（99.99%，100%]指{99.991%，99.992%，···，100%}水平的分位数。估计量LX=VX，0- VX，多头头寸的1，即VaR99.5%（L）/V、ES99%（L）/V、VaR99.5%（LX）/V和ES99%（LX）/V。我们对空头头寸计算相同的风险度量，即VaR99.5%(-五十） /V，ES99%(-五十） /V，VaR99.5%(-LX）/V和ES99%(-表3和表4显示，对多头头寸的风险度量估计非常准确。空头头寸的风险度量估计值不太好。然而，请注意，这些风险度量对于我们的估计量来说是一个很难衡量的指标，因为它们分别关注1%和99%分位数以外的分布尾部。所有这些观察结果都与上面讨论的去趋势Q-Q图一致。事实上，在图1c、2c、3c中，我们看到我们的方法对左尾分布的估计优于右尾分布。还请注意选择抽样测量值EQ而非Q的好处。事实上，除LX的预期不足外，所有风险测量值在从EQ抽样时比从Q.Payoff VaR99.5%（L）VaR99.5%（LX）VaR99.5%抽样时更准确(-五十） VaR99.5%(-LX）Mint put 2063 2083 2058 2123Max call（γ=0）2800 2802 3071 2961 Max call（γ=0.15）2800 2801 3071 3041 Barrier revere convertible 264.1 264.6 99.83 85.94表3：风险标准化真实值和估计值VaR99.5%（L）/V，VaR99.5%（LX）/V，VaR99.5%(-五十） /V和VaR99.5%(-LX）/V。

所有值均以基点表示。支付99%（L）99%（LX）99%(-五十） ES99%(-LX）Mint put 2141 2168 2118 2219最大通话量（γ=0）2890 2880 3205 3090最大通话量（γ=0.15）2890 2870 3205 3160 Barrier revere敞篷车284.7 283.2 101.2 86.63表4：标准化真实和估计的预期短缺ES99%（L）/V，ES99%（LX）/V，ES99%(-五十） /V和ES99%(-LX）/V。所有值均以基点表示。作为另一个风险管理应用程序，我们现在概述如何计算上述示例的Q方差最优混合策略（6），如第1节所述。这里的可交易对冲工具自然是具有贴现价值过程Gi，t=e的基础股票-rPts=1sSi，t。相应地，（2）的增益，inview由下式给出Gi，t=Gi，t-1.exp[σ>iXt√t型- kσik电话/2]- 1.. 直接计算得出近似套期保值策略（6）的成分，我们将其替换为Vtby公司VX，t。首先，我们有EQ[Gi，tGj，t | Ft-1] =Gi，t-1Gj，t-1.exp[σ>iσjt]- 1.. 第二，EQ[Gi，tVX，t | Ft-1] 可以使用引理4.1、（28）和（33）以闭合形式轻松计算。为了简洁起见，我们将完整的套期保值实现留给未来的研究。至于我们方法的可扩展性，我们进行了与上述类似的实验，d和T值较大。结果表明，大小为n=20000的训练样本不足以处理d×T维度的问题≥ 60自VX的归一化LQ误差以来，1均大于5%。文献中存在用核方法处理高维问题的解决方案，它们包括随机投影，如Nystrom近似[SS00，WS01]和随机特征[RR07]。我们尝试了一种基于Nystrom近似的最新算法[RCR17]，但VX的归一化LQ误差仍高于5%。

这些结果表明，如果没有更大的训练样本和更多的计算资源，对于d×T维度，很难达到更小的归一化LQ误差≥ 60.7结论我们引入了一个基于投资组合动态价值过程的定量投资组合风险管理统一框架。我们使用核方法从投资组合累积现金流的有限样本中近似并学习价值过程。为此，我们部署了再生核希尔伯特空间的理论，我们发现该理论适用于使用模拟样本学习函数。我们将可跟踪核与核表示中心定理结合起来，得到了闭式值过程的样本估计量。我们证明了渐近一致性并推导出有限样本误差界，这在以前的文献中仅在目标函数的正则性和有界性假设下建立，而这些假设通常不适用于金融应用。对大维多元Black-Scholes模型中奇异的、路径相关的期权进行的数值实验表明，在中等训练样本量下，结果良好。我们的方法可以扩展到各个方向。一个方向是进一步开发上述示例以用于生产。这尤其包括全面实施粗略的hedgingstrategies。另一个方向是进一步探索所提出方法对高维样本空间的可扩展性。在机器学习研究中，有一项大型活动涉及到内核方法的可伸缩性。新发现也有助于投资组合估值和风险管理的应用。这是正在进行的研究。第三个方向是评估百慕大期权，参见，例如，【LL11】。

在定量融资中，这是一个具有挑战性的问题，需要使用数值方法来估计最优值过程，有关其中几种方法的参考，请参见【BCJ19，简介】。本文提出的方法也可用于处理此类问题。在这种情况下，我们的方法属于[GY04]中提出的“稍后回归”方法。事实上，在“稍后回归”中，值函数是通过对有限个基函数的投影来估计的，而在我们的方法中，它们是通过核岭回归来估计的。我们的方法将产生价值过程和有限样本保证的封闭式估计。A关于希尔伯特空间的一些事实为了方便读者，我们在这里收集了一些关于希尔伯特空间的基本定义和事实，我们的框架就是基于这些定义和事实构建的。我们首先回顾一些基本知识。然后，我们介绍了核和再生核希尔伯特空间。然后，我们回顾了可分Hilbert空间上的紧算子和随机变量。关于更多背景，我们参考教科书【Kat95、CZ07、SC08、PR16】。A、 1基础我们首先回顾希尔伯特空间的一些基本事实和约定。设H是Hilbertspace，I是一些（不一定是可数的）索引集。我们称一个集合{φi | i∈ 一} 在H中，如果HφI，φjiH=δij，对于Kroneckerδij，则为H中的正交系（ONS）。我们称{φi | i∈ 一} H的正交基（ONB），如果它是一个线性跨度在H中稠密的ONS。在这种情况下，对于每个H∈ H、 wehave H=Pi∈Ihh，φiiHφI和Parseval标识保持不变，khkH=Pi∈I | hh，φiiH |，其中只有可数个系数hh，φiiHare与零不同。