用于投资组合估值和风险的核机器学习

我们有（J*XJX）-1a。s--→ （J）*J）-1，作为n→ ∞.引理D.5的证明。设τ>0。我们有q[k（J*XJX）-1.- （J）*J）-1公里≥ τ]=Q[k（J*XJX）-1.- （J）*J）-1公里≥ τ、 Sδ]+Q[E\\Sδ]。（71）利用（41）和（67），我们得到了关于Sδ，k（J*XJX）-1.- （J）*J）-1公里≤k（J*J）-1k1- δkJ*XJX公司- J*Jk。将其与（69）结合，得到q[k（J*XJX）-1.- （J）*J）-1公里≥ τ、 Sδ]≤ Qk（J*J）-1k1- δkJ*XJX公司- J*Jk公司≥ τ≤ 2e类-τ(1-δ） n4kκk∞,Qk（J*J）-1k。将其与（68）和（71）结合起来，我们推断q[k（J*XJX）-1.- （J）*J）-1公里≥ τ ] ≤ 2e类-τ(1-δ） n4kκk∞,Qk（J*J）-1k+2e-δn4kκk∞,Qk（J*J）-1k。因为右侧可与n求和≥ 1对于任何τ>0，引理遵循Borel–Cantellilemma。D、 6定理D.2的证明在定理3.4的证明中，我们假设采样量eq=Q，即w=1。使用（17）和（18）可以直接扩展到一般情况。我们假设采样事件Sδ如引理D.4所示，并且τ>0。我们有Q[kfX- fkH公司≥ τ] ≤ Q[kfX- fkH公司≥ τ、 Sδ]+Q[E\\Sδ]。（72）利用（42）和（67），我们得到了关于Sδ，kfX- fkH公司≤k（J*J）-1k1- δknnXi=1ξikH。将其与（51）结合，我们得到q[kfX- fkH公司≥ τ、 Sδ]≤ Q“k（J*J）-1k1- δnnXi=1ξiH≥ τ#≤ 2e类-τ(1-δ） n8k（f-f） κk∞,Qk（J*J）-1k。将其与（68）和（72）结合起来，我们推断q[kfX- fkH公司≥ τ] ≤ 2e类-τ(1-δ） n8k（f-f） κk∞,Qk（J*J）-1k+2e-δn4kκk∞,Qk（J*J）-1k。现在我们选择δ=kκk∞,Qτ√2k（f-f） κk∞,Q+kκk∞,Qτ，以便右侧的两个指数匹配。因此，我们得到q[kfX- fkH公司≥ τ] ≤ 4e-δn4kκk∞,Qk（J*J）-1k=4e-τn4k（J*J）-1公里(√2k（f-f） κk∞,Q+kκk∞,Qτ）。直接重写给出了（63），其中我们使用了k（J*J）-1k=u-1，见（39）。与回归法的比较本文提出的方法给出了整个价值过程的估计。实际上，人们可能只对某个固定时间t（例如t=1）的投资组合价值vt的估计感兴趣。

在[GY04]中，描述了两种最小二乘蒙特卡罗方法，以在美国期权定价的背景下处理这个问题。第一种方法称为“稍后回归”，通过对有限个基函数的投影来近似Payoff函数f。基函数的选择方式使其在t=1时的条件期望为闭合形式。我们的方法可以被视为该方法的双重扩展，因为它还涵盖了基函数的数量可能是有限的情况，并在任何时间t给出了投资组合价值vt的封闭式估计。第二种方法称为“立即回归”，包含在仅依赖于感兴趣变量x的有限个基函数上的投影的近似Vby方法∈ E、 我们比较了我们的方法，该方法对应于“稍后回归”，并给出了估计量VX，1in（26），与其现在回归变量，其估计量我们用VnowX，1表示。在此，我们将结合第6节中研究的三个示例简要讨论如何构建VnowX，1并实现它。要构建VnowX，1只需对先前的VX构建1进行一些更改。我们直接从Q中取样，得到X=（X（1），·····，X（n））和向量f=（f（X（1）），····，f（X（n）））>。对于t=1，VnowX，1的表达式由（26）给出，其中核k的形式为（27），t替换为1，因此其域为E×E。而不是使用整个样本X来构造（25）中的矩阵k，只需要（t=1）-横截面X=（X（1），····，X（n））。由于采样度量值Q是高斯的，因此对于所有j=1，…，属性（23）适用于样本Xso，即'n=n，'X（j）=X（j）和'Ij'=1，n

（26）中嵌入的条件核归结为M（X（j））=k（X，X（j））。表5显示了VnowX，1的归一化LQ误差，并将其与表2中VX，1的相应值进行了比较。我们观察到，对于所有三个例子，我们的回归后估计比回归现在估计性能更好。图4证实了这一结论，图4对应于图1、2和3。如脚注13所述，我们省略了X。（a） 最小输入：VX、1和VnowX的归一化LQ误差，1in%（b）最小输入：VX、1和VnowX的去渲染Q-Q图，1（c）最大调用：VX、1和VnowX的归一化LQ误差，1in%（d）最大调用：VX、1和VnowX的去渲染Q图，1（e）屏障反向转换：VX、1和VnowX的归一化LQ误差，1in%（f）屏障反向转换：VX、1和VnowX的去渲染Q图，1：VX、1和VnowX的比较OWX、，1γ=0。在去趋势Q-Q图中，蓝色、青色和蓝绿色（红色、橙色和粉色）点是使用稍后回归（立即回归）估计器和测试数据构建的。[0%，0.01%表示{0.001%，0.002%，0.009%}，[0.01%，1]表示{0.01%，0.02%，0.99%}，[1%，99%]表示{1%，2%，99%}级别的分位数，（99%，99.99%]指{99.01%，99.02%，·····，99.99%}级别的分位数，（99.99%，100%]指{99.991%，99.992%，····，100%}级别的分位数。Payoff回归现在回归laterMin put 1.946 1.827Max-call 2.606 2.500Barrier reverse convertible 0.2806 0.2506表5：归一化LQ误差kV-bVk2，对于BV=VnowX，1，VX，1，γ=0，Q/Vin%。表6显示了完全估计VnowX，1和VX，1的计算时间。计算是在运行在2.3 GHz的Skylake处理器上进行的，使用14核和100 GB RAM。我们发现，我们的估计比现在回归估计需要更少的计算时间。

事实上，请注意回归问题的维数（等于训练样本量n=20000）对于这两种方法是相同的。Payoff回归现在回归laterMin put 3122 2756最大调用3288 2570 Barrier reverse convertible 3683 2756表6：估算样本量n=20000时VnowX，1和VX，1γ=0的计算时间（以秒为单位）。因此，无论是在通过归一化LQ误差测量的V估计精度方面，还是在计算时间方面，我们的回归后估计优于回归后估计，因此更适合于港口评估任务。这可能看起来很奇怪，因为RegressionLater对整个价值过程V的估计是一个高维问题（路径空间维度12表示最小投入和最大调用，36表示屏障反向转换），然而，Vby回归的直接估计现在是一个小得多的维数问题（状态空间维数6表示最小put和最大call，3表示barrier reverse convertible）。现在回归性能较差的一个原因可能是，训练数据f表示对真实值V（X（1））、·····、V（X（n））的噪声观测，我们无法直接观测到。这与我们的后回归方法形成对比，其中f是目标函数f的真实值。我们的发现表明，对于投资组合估值，首先在高维主观测值和无噪声观测值的情况下估计支付函数f更为有效，而不是在低维域但有噪声观测值的情况下直接估计时间t=1值函数。风险措施如何？表7和表8显示了标准化风险值和Lx=bV的预期短缺-英属维尔京群岛-LX，其中BVT代表VX，tor VnowX，t，t=0，1。

我们观察到，在多头头寸的所有风险度量估计中，regress LATER优于regress now，而对于空头头寸的风险度量估计，regress now在6个案例中的4个案例中表现最好。这种好坏参半的结果与之前观察到的后回归优于现在回归的优势有些不一致。另一方面，它是非免费午餐定理[WM97]的一个例证，该定理指出，对于投资组合估值和风险管理，不存在在所有情况下都优于所有其他方法的单一最佳方法。我们注意到，对于回归nowestimator，可以推导出与定理3.4中类似的有限样本保证，但仅在f和κ的有界性假设下。事实上，有界性假设这些观察结果与图4中去趋势Q-Q图的比较一致。事实上，图4b表明，现在使用回归比以后使用回归更好地估计Vis的右尾，这似乎与-九、然而，由于这些风险度量不仅作用于BV，而且还依赖于BV，因此与后来通过回归获得的最佳风险度量没有冲突。事实上，如果我们计算出bV的分位数-B和V-Vand绘制了相应的去趋势Q-Q图，然后我们将获得图4b，水平位移为-V的Vanda垂直位移-英属维尔京群岛。

我们的计算表明，对于现在回归和以后回归，垂直位移向下的幅度是相同的，这解释了以后回归在风险度量方面比现在回归表现更好。PAYOFF VaR99.5%（L）VaR99.5%（LX）VaR99.5%(-五十） VaR99.5%(-LX）最小看跌期权（立即回归）2063 2098 2058 1869最小看跌期权（稍后回归）2063 2083 2058 2123最大看跌期权（立即回归）2800 2950 3071 3109最大看跌期权（稍后回归）2800 2802 3071 2961障碍反向可转换证券（立即回归）264.1 219.7 99.83 92.50障碍反向可转换证券（稍后回归）264.1 264.6 99.83 85.94表7：标准化真实和估计风险值VaR99.5%（L）/V、VaR99.5%（LX）/V、VaR99.5%(-五十） /V和VaR99.5%(-LX）/v，γ=0。所有值均以基点表示。支付99%（L）99%（LX）99%(-五十） ES99%(-LX）最小认沽权（立即回归）2141 2179 2118 1937最小认沽权（稍后回归）2141 216 8 2118 2219最大认沽权（立即回归）2890 3044 3205 3231最大认沽权（稍后回归）2890 2880 3205 3090 barrier reverse convertible（立即回归）284.7 231.8 101.2 92.83 barrier reverse convertible（稍后回归）284.7 283.2 101.2 86.63表8：标准化真实和估计的预期短缺ES99%（L）/V、ES99%（LX）/V、ES99%(-五十） /V和ES99%(-LX）/v，γ=0。所有值均以基点表示。（15） 和（16）是不够的，因为它们不能保证噪声f（X）的有界性- 五、 在文献中，对噪声的假设放松了对f的有界性假设，例如参见[RS17]。参考文献【AB99】Charalambos D.Aliprantis和Kim C.Border。有限维分析。Springer Verlag，柏林，第二版，1999年。搭便车的向导。20【Aro50】N.Aronszajn。再生核理论。变速箱。美国。数学Soc。，68:337–404, 1950. 塞巴斯蒂安·贝克尔、帕特里克·切里迪托和阿努夫·詹岑。深度最佳停车。《机器学习研究杂志》，20（74）：2019年1-25日。

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