从一般点过程的渐近性质到

参考价格的动态将从过程（Ut）t的动态中推断出来≥0，参见第4节。工艺UTI定义如下：Ut=XTi<t用户界面，Ui=Ui- 用户界面-1，Ui=（Qi，Qi，Si）∈ U第i个事件后的订单状态（如果不可能出现混淆，我们将Uifor UTI写入）。因此，我们只需要描述变量（Ui）i≥1、让我≥ 1和xi=（ni、ti、si、bi、~Ui、Ui、ai）∈ E带ni∈\'\'N，ti∈ T、 si公司∈ S、 bi公司∈ B、 ~Ui=（~Qi，~Qi，~Si）∈ U、 Ui=（Qi，Qi，Si）∈ U和ai∈ A、 变量UIsatifiessi=1i=0Si-1.- （ti+ti）+1i=1Si，Qi=1i=0Qi-1+（n1，+i- n1，-i+n1，i+1i=1Qi，Qi=1i=0Qi-1+（n2，+i- n2，-i+n2，i）+1i=1Qi，（1）其中iis价格变动指标（即 = 无损耗时为0，且 = 1否则），变量ti（resp.ti）是在价差中插入买入（resp.sell）限价订单时的价差变化。变量n1、+i（分别为n2、+i）、n1、，-i（分别为n2，+i）和n1，i（分别为n2，i）分别是在最佳出价（分别为ask）处插入买入限价订单、在最佳出价（分别为ask）处发送消费订单以及在价差内插入abuy（分别为卖出）限价订单时的最佳出价（分别为ask）增量。现在，我们解释如何根据状态变量来编写前面的数量：i=1{si=-1}∩{bi=1，ni≥气-1}∪{bi=2，ni≥气-1},ti=最小值（tiα，Si-1.- α） 1{bi=1，ti6=0}，ti=（Si-1.- tiα）+{bi=2，ti6=Si-1α}，n1（2），+i=ni{si=+1，ti=0（si-1α），bi=1（2）}，n1（2），-i=ni{si=-1，ti=0（Si-1α），bi=1（2），ni<Q1（2）i-1} ，n1（2），1/2i=ni{si=+1，ti/∈{0，Si-1α}，bi=1（2）}。我们用λt表示点过程的强度（Tn，Xn）。对于e∈ E、 λt（E）对应于以过程过去历史为条件的E类事件的到达率，定义为λt（E）=limδt→0便士#{Tn∈ （t，t+δt），Xn=e}≥ 1 |英尺δt，其中#A是集合A的基数。

我们考虑强度的以下表达式：λt（e）=ψe、 Ut公司-, t、 XTi<tφ（e，Ut-, t型- Ti，Xi）, （2） 其中ψ和φ是R+-值函数。每个主体的个体行为编码在函数ψ和φ到e和（Xi）i中≥1，见方程式（2）。请注意，我们可以使用以下命题恢复过程强度N=（Tn，Xn）的完整定义：命题1。对于任何B∈ E和t∈ R+，我们有limδt→0便士#{Tn∈ （t，t+δt），Xn∈ B}≥ 1 |英尺δt=Pe∈Bλt（e）。（3） 命题1的证明见附录A。过滤概率空间上概率测度P的存在性和唯一性(Ohm, F、 Ft）以使（3）满足，并确保λtveri fies方程（2）∈Eλt（E）是局部可积的，参见[18]。我们证明∈Eλt（E）在附录C.2.3市场重组中是局部可积的。我们可以使用下面的推论来恢复市场强度λmt。推论1。当λtveri fies方程（2）时，交易所中事件e（edoes不包含代理人身份）的市场强度λMt（e）由λMt（e）=limδt给出→0便士#{Tn∈ （t，t+δt），Xn∈ （e，A）}≥ 1 |英尺δt=Xa∈Aλt（（e，A）），（4）对于任何e∈ E=(R)N×T×S×B××U×U。推论1的证明是命题1.2.4某些特定模型泊松强度的结果。

我们在这里介绍了泊松强度模型的一个简单版本，其中变量Xn=（nn，ton，sn，bn，~Un，Un，an）和Un=（Qn，Qn，sn）满足度o顺序大小nn=1：所有事件都有相同的大小1 AES。o价格水平吨∈ {0，Snα}：订单以最低价或最低价插入。o统一法则不变：当一个限额耗尽时，新的状态从订单簿的静态分布中提取。对于任何e=（n，至，s，b，~u，u，a）∈ 当u=（Q，Q，S）时，我们可以通过选择以下参数来恢复泊松模型：ψ（E，u，t，z）=h（S，b，a）1n=1，到∈{0，Sα}，z、 t型∈ R+，其中▄h是R+上的确定函数。因此，强度的表达式变为λt（e）=h（s，b，a）1n=1，至∈{0，Sα}。[1、10、41]中介绍了此类建模。排队反应强度。在队列反应模型中，事件的到达率仅取决于当前订单簿状态。对于任何e∈ E和u∈ U、 取ψ（e，U，t，z）=h（e，U），z、 t型∈ R+，用▄h重现队列反应性动态，确定函数值为R+。因此，强度读数为λt（e）=h（e，u）。[15，16]研究了此类建模。霍克斯队列反应强度。在霍克斯框架中，每个事件的到达率完全取决于所有过去的市场事件。对于任何e∈ E和u∈ U、 我们通过取ψ（e，U，t，z）=h（e，U，t）+z生成HawkesQueue无功动力学，z、 t型∈ R+。因此，强度具有以下表达式λt（e）=h（e，Ut-, t） +XTi<tφ（e，Ut-, t型- Ti，Xi）。采用紧密建模【2、4、19、35、38】。二次霍克斯过程。二次Hawkes过程通过在过去事件对之间添加交互项来推广线性Hawkes过程。在经典的一维情况下，二次Hawkes过程的强度函数读取λt（e）=h（t）+XTi<tφ（t- Ti）+XTi，Ti<tK（t- Ti，t- Ti），含K:R+×R+→ R+二次核。

当K是可分的（即K（t，s）=K（t）K（s），K是一个非负函数）时，我们可以通过取ψ（e，u，t，z）=h（e，u，t）+z来恢复二次曲线模型的一个简单情况，z、 t型∈ R+。因此，强度的表达式变为λt（e）=h（e，Ut-, t） +XTi<tφ（e，Ut-, t型- Ti，Xi）+XTi，Ti<tφ（e，Ut-, t型- Ti，Xi）φ（e，Ut-, t型- Ti，Xi）。[8，37]中介绍了二次霍克斯模型。备注1。在我们的建模中，线性项必然是φ。然而，为了克服这一限制，我们可以在函数ψ中添加一个新的参数，将线性核与二次核区分开来。这不会修改校样。3遍历性3.1符号和定义设zt为概率空间上定义的过程(Ohm, F、 Ft，P）和（W，W）中的值。我们考虑另一个在（W，W）上定义并在（X，X）中取值的过程，我们用pt（X，.）初始条件x下，从0开始的V0，Xt的概率分布∈ W、 对于（W，W）上定义的任何测量u，视为随机启动条件，我们表示为byPt（u，.）=RWPt（x，.）u（dx）。定义1（不变分布）。如果概率分布pt（u，.）不取决于时间t。该定义与[9、13、33]中给出的定义一致。当且仅当u不变时，从初始分布u开始的过程vt是静止的。我们定义了两个度量值π和π之间的总变量范数，使得| |π- π| | T V=supA∈X |π（A）- π（A）|。定义2（遍历性）。让C∈ W、 对于任何x，过程vt是C遍历的∈ C存在不变度量u，使得Pt（x，.）→t型→∞P（u，.）总变化量。备注2。该定义与【33】中给出的定义一致。遍历性很有意思，因为它确保订单过程向不变概率分布收敛。

因此，在市场数据上观察到的程式化事实可以用这种不变分布的largenumbers型现象定律来解释。备注3。在本节中，我们使用连续时间过程ZT和VTT∈ R+。然而，对于具有n的离散时间过程zn和vn，所有定义都是相似的∈ N、 在上述定义中，我们只需将t替换为N即可。空间Ohm 第2.2节定义了此处考虑的过滤F，F=F∞, 过滤空间是由N索引的序列空间-并在R+×E上取值，X=U×（R+）EandX=U×B（R+）U上离散拓扑生成的σ-代数（R+）E，B（R+）的Ethecylinderσ-代数R+和W的borelσ-代数=B（R+）×EN-对于E上离散拓扑生成的σ-代数，我们需要在函数空间W上工作，因为过程的动态依赖于它的整个过去。3.2遍历性在本节中，我们在一般假设下提供了过程的遍历性的理论结果'Ut=（Qt，Qt，St，λt），λt强度由（2）定义。我们用λi，+Q（分别为λi，-Q） 和λ+S（分别为λ-S） 事件的到达率分别增加（或减少）任何i∈ B、 让Ut=（Qt、Qt、St）bethe order book process和e∈ E如果是市场事件，数量λi，±Qandλ±由以下公式确定：λi，±Q（Ut-, n） =Xe∈Ei，±Q（Ut-,n） λt（e），λ±S（Ut-, k） =Xe∈E±S（Ut-,k） λt（e），（5）带n∈ N、 k级∈ N安第斯，±Q（Ut-, n） ={e∈ Es、 t型Qit=±n}，E±S（Ut-, k） ={e∈ Es、 t型St=±k}，（6）带Xt=Xt- Xt公司-对于任何进程Xt。为简单起见，由于没有歧义，我们不需要写出λi，±Qandλ±s对当前时间t的依赖关系。对于任何n∈ N*, 我们写ep（n）={km={k，…，km}∈ （N）*)m；s、 t k+…+km=n，m∈ N*},对于包含n的所有划分的集合，假设1（ψ增长）。

我们假设存在c≥ 0，d≥ 0和nψ∈ N使得|ψ（e，z）≤ c（e）+d（e）znψ，supe∈结束（e）Pkm∈P（nψ）nψkmRRm+Qmi=1φ*ki（e，si）dsio<1，其中|ψ（e，z）=sup（u，t）∈U×R+ψ（e，U，t，z），φ*（e，s）=supu∈UPx公司∈Eφ（E，u，s，x）和nψkm=nψk，。。。，公里数=nψ！k公里数！。假设1是自然的。为了看到这一点，我们采用了一个1-d平稳非线性Hawkes过程Nt，其强度λt验证λt=c+d（XTi<tφ（t- Ti））nψ=c+d（Zt-∞φ（t- s） dNs）nψ，t型∈ R+。根据平稳性，我们得到了λ=E[λt]=c+dE[（Zt-∞φ（t- s） dNs）nψ]=c+d里程数∈P（nψ）nψkmZ(-∞,t） mmYi=1φki（t- si）E[dNs…dNsm],具有nψkm枚举因子。事实上，如果我们有nψ个可能的事件被划分为m组，其中第j组由kjevents组成，那么数量nψkm统计可能的组数。这里，每组表示同时发生的跳跃。由于跳跃有一个单位大小，Brascamp-Lieb不等式确保E[dNs…dNsm]≤Qmi=1E【dNmsi】1/m=Qmi=1E【dNsi】1/m=Qmi=1E【λsi】1/m=’λ，这导致’≤ c+q'λ，q=dPkm∈P（nψ）nψkmR（R+）mQmi=1φki（e，si）dsi。假设1的条件q<1保证了λ是有限的。备注4。主要研究了函数ψ在mosta线性增长（即nψ）下容许的非线性Hawkes过程≤ 1). 当nψ=1时，我们恢复了经典条件supe∈Ed（e）ZR+φ*（e、s）ds< 当nψ=2时，假设1成立∈Ed（e）ZR+φ*（e、s）ds+ZR+φ*（e、s）ds< 假设2（负漂移）。存在正常数Cbound，z>1和δ，使得pn≥0（锌- 1)λi，+Q（Ut-, n）- λi，-Q（Ut-, n） 锌≤ -δ、 a.s当Qit时-≥ Cbound，Pk≥0（zαk- 1)λ+S（Ut-, k）- λ-S（Ut-, k） zαk≤ -δ、 a.s当St-≥ Cbound，（7）对于任何i∈ B和Ut=（Qt、Qt、St）∈ U其中α是刻度大小。假设2确保当第一个限额和利差变得太大时，其规模和利差都会减小。

[15，26]中使用了相同的假设，但当订单动态为马尔可夫时。备注5。在实践中，假设2在满足以下条件时得到验证：Pn≥0（锌- 1)ψi，+Q（u，n，t，z）- ψi，-Q（u、n、t、z）zn）≤ -δ、 当qi≥ Cbound，Pn≥0（zαk- 1)ψ+S（u，k，t，z）- ψ-S（u，k，t，z）zαk）≤ -δ、 当si≥ Cbound，φi，+Q（u，n，t，x）≤ φi，-Q（u，n，t，x），当qi≥ Cbound，φ+S（u，k，t，x）≤ φ-S（u，k，t，x），当si≥ Cbound，ψ（e，u，t，z），在z中不递减，当qi≥ Cbound，ψ（e，u，t，z），在z中不递减，当si≥ Cbound，（8），其中u=（q，q，s）∈ U、 我∈ B和ψi，±Q，ψ±S，φi，±Qandφ均定义为ψi，±Q（u，n，t，z）=Pe∈Ei，±Q（u，n）ψ（e，u，t，z），φi，+Q（S）（u，n，t，x）=supe∈Ei，+Q（S）（u，n）φ（e，u，t，x），ψ±S（u，k，t，z）=Pe∈E±S（u，k）ψ（E，u，t，z），φ-Q（S）（u、k、t、x）=进给∈E-Q（S）（u，k）φ（e，u，t，x），带（n，k，t，z）∈ N×R+。尽管不等式（7）和（8）并不等价，但满足（8）的函数有很大一部分。附录B中给出了该结果的证明。假设3（受总流量的约束）。我们假设存在z>1，M和ψ>0满足C*=体育课∈Ec（e）<∞,λ*=体育课∈E、 公里数∈P（nψ）d（e）nψkmRRm+Qmj=1φ*kj（e，sj）dsj<∞,气∞=Pn编号∈N（zn- 1） Ex公司λi，+Q（u，n）-λi，-Q（u，n）zn< M、 当qi≤ Cbound，S∞=主键∈N（zk- 1） Ex公司λ+S（u）-λ-S（u，n）zk< M、 当s≤ Cbound，λt（e）=Pe∈Eλt（E）≥ ψ、 带c（e）、d（e）和φ的a.s*在假设1中定义，i∈ B、 x个∈ 假设（2）中定义的Wand Cbound。在马尔可夫情况下，在[15，26]中考虑了类似的假设。假设3确保系统不会发生爆炸，因为它迫使订单到达率、限额大小和价差保持有界。备注6。在实践中，我们可以找到与备注5中使用的条件类似的路径条件，以便不等式Qi∞< M、 S∞< M和λt（e）≥ψ，a.s满足定理1（存在性）。

在假设1、2和3下，过程“Ut=（Qt、Qt、St、λt）允许不变分布。附录C假设4（规律性）给出了该结果的证明。我们假设ψ是相对于z连续的c\'adl\'ag函数，φ是正的c\'adl\'ag函数，并且存在ψ：R+→ R+和n∈ N使得|ψ（e，u，s，x）- ψ（e，u，s，y）|≤ |ψ（x）-ψ（y）|，（e、u、s、x、y）∈ E×U×R+，和|？ψ（x）-ψ（y）|≤ K | x- y | | 1+xn+yn |，（x，y）∈ R+，K为正常数。备注7。假设4在特殊情况下满足，其中ψ是多项式。我们得到以下结果。定理2（遍历性）。在假设1、2、3和4下，过程是W遍历的，这意味着存在一个不变度量u，见定义1，该度量满足→∞Pt（x，A）=P（u，A），x个∈ W、 A∈ 十、 式中，Pt（X，A）是'Ut∈ A从初始条件x开始。此外，我们有以下收敛速度：| | Pt（x，.）- P（u，.）||电视≤ Ke公司-Kt，x个∈ W、 K，Kare正常数和| |||T T总变化标准。附录D中给出了该结果的证明。我们可以使用以下算法构建第2节中定义的路径点过程n=（Tn，Xn）。备注8（N的路径构造）。使用Lewis在【27】和Ogata在【37】中提出的细化算法，第2节中定义的点过程N=（Tn，Xn）满足N=limm→∞Nm，其中Nm定义如下λm+1t（e）=ψe、 城市轨道交通-, t、 PTm<tφ（e，Umt-, t型- Tm、Xm）Tm公司≤t<Tm+1+λmt（e）1t<Tm，Nm+1（（0，t]×B）=R（Tm，Tm+1]×BN*（dt×（0，λm+1t（e）]×de）1t>Tm+Nm（（0，t∧ Tm]×B），Tm+1=sup{t>Tm；R（Tm，t]×EN*（dt×（0，λmt（e）]×de）=0}，其中umn由nma生成并在（1，N）中描述的订单簿过程*= （T*n、 R*n、 X个*n） R+×E上的aPoisson过程，允许dtdzν（de）作为FN*tintensity和ν=Pe∈EδE。这是一个众所周知的结果，在许多情况下都使用过，参见[9、11、24、27、37]。

定理1的证明确保上述算法得到了很好的定义。4极限理论n是第n次跳跃的指数，（ηn）n≥0be满足ηn=f（（Ui）i）的过程≤n、 （一）一≤n） f为（R，B（R）），（Yi）i上的可测函数≥nis是一个几何遍历序列，参见[32]中的15.7，独立于（Ui）i≥n、 这里，我们写u表示连接过程（U，Y）的不变度量，Vn=Pnk=1η，Sn=Pnk=1（ηk- Eu[ηk]）。我们表示为byXn（t）=Sbntc√nt型≥ 0、假设5。在不变测度u下，序列（ηi）i≥0静止且Eu[|η|]<∞.假设6。在不变测度u下，我们有Eu[（η- Eu[η]]<1。提案2。在假设5下，我们有-→n→∞Eu[η]，a.s.（9）此外，当假设5和6都得到验证时，数量Xn（t）满足Xn（t）L-→ σWt，（10），σ=Eu[η]+2Pk≥1Eu[ηηk]和u（Ui，Yi）和Wta标准布朗运动的不变测度。注意σ<∞ 根据假设6。附录E备注9给出了该结果的证明。σ表达式中的前导项是Eu[η]。从数值上讲，只要我们对η的平稳分布有一个估计，就可以计算出来，见命题4。命题2保证了事件时间S的大尺度极限是布朗运动。然而，更相关的是研究进程在日历时间内的大规模限制。因此，我们现在考虑的过程▄Xn（t）=SN（nt）√nt型≥ 0、以下命题提供了工艺SN（nt）的大规模限制。提案3。在假设5下，我们有vn（nt）n-→n→∞Eu[η]Eu[T] ，a.s.（11）此外，当假设5和6都得到验证时，数量Xn（T）满足Xn（T）L-→σpEu[T] Wt，（12），σ=Eu[η]+2Pk≥1Eu[ηηk]，u（Ui，Yi）的不变度量，Tn=Tn- 田纳西州-1第n次和（n）次之间的到达时间- 1） -th跳跃和Wta标准布朗运动。附录E备注10给出了该结果的证明。

n跳跃后的中间价格Pn=P+Pni=1Piwith公司Pi=（Pi-圆周率-1） =ηi.当（ηi）i≥验证假设5和6，重新调整的价格过程Pn（t）=Pn（nt）√nConverge向布朗分歧靠拢。5公式在本节中，我们提供了利息数量的强度和计算公式的校准方法：订单的平稳分布、价格波动和流动性波动。5.1平稳概率计算在本节中，我们用u表示（W，W）上定义的'U=（Q，Q，S，λ）的不变度量。设ζt=f（（Ui）Ti）≤t） 是u下的平稳过程，f为（Z，Z）中的可测函数，Z为可数空间，π为ζt的平稳分布。下面的命题提供了π满足的定点公式。提案4。平稳分布π满足πQ=0π1=1。（13） 其中，有限维矩阵Q验证Q（z，z）=Xe∈E（z，z）Eu[λ（E）|ζ=z]，（14）与E（z，z）直接导致z的事件集。该结果的证明见附录F备注11。当ζt=Ut=（Qt，Qt，St）时，命题4为计算订单的平稳分布π提供了一个定点方程。备注12。操作符Q是过程ζ的最小生成器，定义为Q（z，z）=limδ→0Pu[ζδ=z |ζ=z]δ，对于任何z 6=z。附录F.5.1.1马尔可夫框架中的等式（61）给出了该结果的证明。在马尔可夫情况下，众所周知的结果是Q满足（13），请参见[36]。在这种情况下，Q的系数是模型的参数，可以使用（15）进行估计。5.1.2一般情况下，我们取z和ztwo状态，使z 6=z，Nz，zt=PTi<tδiz，zwithδiz，z=1{ζTi-1=z，ζTi=z}和tz=PTi<tTi{ζTi-1=z}带Ti=Ti- Ti公司-1、我们得到以下结果：命题5。当（δiz，z）i≥1满足假设5，我们有^Q（z，z）=Nz，zttz→t型→∞Q（z，z），a.s。