经纪人看涨期权市场的长期反馈

（23）对于，查看微分方程（9），并记住≥ u -σ/2，我们有（log Vt）=Γtdt+btσdWt≥ (u - σ/2）dt+btσdWt（24）==> 日志（Vt/V）≥ (u - σ/2）t+σZtbsdWs。（25）组合主要qt≤ q×e（u-σ） 用Vt的最小值（23）得到状态结果（21）。简单地说，引理1说，赌徒财富的本地预期增长率总是超过市场指数的预期增长率；另一方面，经纪人看涨期权货币市场的复合增长率（最多u- σ） 预计将低于市场指数。可以肯定的是，相对市场规模（qt/Vt）的实际动态≥0最终由实现路径（Wt）t决定≥驱动经济中所有不确定性的布朗运动。但基于VT和qt指数增长率的预期差异，很明显，经过多年（几十年或几百年）后，变化很大，与连续时间凯利赌徒的总银行户数相比，通知金的总量将很小。定理1。经纪人看涨期权市场相对于凯利赌徒总股本的规模很可能趋于零：plimt→∞qtVt=0。（26）正如我们将在下面展示的那样，它在均方中明显不收敛。经纪人通知货币市场中的长期反馈A.加里瓦蒂斯因此，凯利赌徒的杠杆率概率收敛到1（b∞:= plimt公司→∞bt=1），且保证金贷款利率很可能收敛于阻塞价格：r∞:= plimt公司→∞rL（t）=u- σ= ν -σ. （27）增长率过程Γt在概率上收敛于买入和持有增长率：plimt→∞Γt=ν=u- σ/2. （28）证明。

因为Kelly bet bt=min（1+qt/Vt，u/σ）是qt/Vt比率的连续函数，利率rL（t）=u-σbt又是bt的一个连续函数，它可以证明qt/vt在概率上收敛到0，因为概率极限是通过连续变换保持的。以下是plimt→∞Γt=Γ（1，u-σ) =u - σ/2.因此，让我们 可以是任何正实数。应用引理1，我们得到关系1≥ Prob公司qtVt≤ ≥ Prob公司-tZtbsdWs-日志(V/q）σt |{z}：=Xt≤σ→ 1作为t→ ∞.（29）也就是说，请注意，进程Xt：=-t型-1.RtbsdWs+日志(V/q）/σ均方收敛到零：我们有极限→∞E[文本]=限制→∞-日志(V/q）σt=0（30），并结合It^o等距（参见Tomas Bj"ork 1998）和界限1≤ 学士学位≤因为过程bt和rL（t）是有界的（1≤ 英国电信≤ u/σ和0≤ rL（t）≤ u - σ） ，它们的均方收敛到1和u- σ、 分别为。比率qt/vt没有这样的界限；它可以取（0+∞).经纪人看涨期权货币市场的长期反馈A.加里瓦蒂斯u/σ，我们得到Var[Xt]=tZtE[bs]ds≤uσt→ 0，（31），以便限制→∞Var[Xt]=0。自进程（Xt）t≥0在均方上收敛到零，在概率上肯定收敛到零；特别是，这意味着→∞Prob公司Xt公司≤σ= 根据挤压定理，我们得到了期望的结果：对于所有 > 0，极限→∞Prob公司qtVt≤ = （33）推论1。保证金贷款利率rL（t）在均方上收敛于Choke价格r∞:= u-σ= ν-σ/2和Kelly bet bt均方收敛到1。瞬时Kelly增长率Γt在均方中收敛到买入和持有增长率ν=u- σ/2.证据证明bt在均方上收敛到1；然后，根据线性关系rL（t）=u- σbt，我们将有限制→∞E[rL（t）]=u- σ和极限→∞Var[rL（t）]=0。为此，让 可以是任意正数，让Rt：=qt/vt表示看涨期权市场的相对大小。

我们有[（bt- 1） ]=概率{Rt<}E[（bt- 1） | Rt<] + 概率{Rt≥ }E[（bt- 1） | Rt≥ ]≤ 1 × + 概率{Rt≥ } × (u/σ- 1).（34）经纪人电话货币市场的长期反馈A.Garivatis使用limt的事实→∞概率{Rt≥ } = 0，我们看到以下关系必须为 > 0：lim支持→∞E[（bt- 1)] ≤ . （35）自lim supt→∞当均方误差小于每个正数时，我们得到不等式lim inft→∞E[（bt- 1)] ≤ lim支持→∞E[（bt- 1)] = 0 ≤ lim信息→∞E[（bt- 1） ]，（36）这意味着→∞E[（bt- 1)] = 0.最后，将我们的注意力转向瞬时Kelly增长率Γt=rL（t）+σbt/2，现在可以证明bt在均方中收敛到1；然后，sincerL（t）m.s。--→ u - σ、 我们将有Γtm。s--→ u - σ+ σ/2 × 1 = u - σ/2，如承诺的那样。因此，我们限制均方误差[（bt- 1） ]=E[（bt- 1） （bt+1）]≤ E[（bt- 1)] ×uσ+ 1→ 0，（37），这证明了btm。s--→ 简单地说：随着时间的推移，凯利赌徒在货币市场上表现不佳的实验有一些（极其罕见的）样本路径；因此，在利率为零的情况下，qt/VT比率达到峰值，Kelly下注达到上限bt=u/σ。然而，这些罕见的事件对均方误差E[（bt- 1） ，这正是因为凯利赌徒的咒语阻止他下注超过b：=u/σ，即使他得到的利率为零。经过多年的t之后，BTD的密度变得集中在1左右，尽管有一条横跨区间[1，u/σ]的长尾。经纪人看涨期权货币市场的长期反馈A.Garivatis图2:Kelly杠杆率（bt）和相应的保证金贷款利率（rL（t））的100年样本路径，参数为（q、V、ν、σ、u、r∞) := (1, 1, 0.09, 0.15, 0.1012, 0.0787).

平均值和标准偏差是通过50000个蒙特卡罗模拟（每个步骤50000个）估计出来的(t：=17.5小时）。图2通过绘制由参数（q、V、ν、σ、u、r∞) := (1, 1, 0.09, 0.15, 0.1012, 0.0787). 在上下文中，该图提供了预期值{E[bt]，E[rL（t）]}0的蒙特卡罗估计≤t型≤100和标准偏差{Std（bt），Std（rL（t））}0≤t型≤100个由50000个步骤的50000个模拟生成(t：=17.5小时）。同样，图3给出了相同参数的瞬时增长率过程（Γt）的30年样本路径，以及函数t 7的蒙特卡罗估计→ E[Γt]和t 7→ Std（Γt），由40000次模拟计算得出(t：=6.6小时）。定理2。货币市场的相对规模qt/vt是一个鞅（尽管它的收敛概率为零）；Kelly bet Bt是一个超级马丁格尔（例如，它总是预计会下降），而保证金贷款利率rL（t）是一个超级马丁格尔（例如，它总是预计会上升）。经纪人看涨期权货币市场的长期反馈A.Garivatis图3：参数（q，V，ν，σ）：=（1，1，0.09，0.15）的最佳增长率过程（Γt）的30年样本路径，以及MonteCarlo估计（40000次模拟，t：=6.6小时）功能ST 7→ E[Γt]和t 7→ 标准（Γt）。证据我们将It^o微积分的商规则（参见Ovidiu Calin 2015）应用于qt/Vt:d的比率qtVt=dqtVt- qtdVt公司- dqtdVtVt+qtVt×（dVt）。（38）根据It^o乘法表（例如Paul Wilmott 1998），我们得到dqt×dVt=0和（dVt/Vt）=btσ×dt。

因此，我们可以计算出qtVt=qtVt×（rL+btσ）dt-dVtVt=qtVt×bt（σbt- u+rL（t）{z}=0）dt- btσdWt= -σqtbtVtdWt。（39）经纪人看涨期权货币市场中的长期反馈≥0是一个鞅，因为它有零漂移，并且接受（it^o）积分表示qtvt=qV- σZtqsbsVsdWs。（40）由于bt=min（1+qt/Vt，u/σ）是摩尔qt/Vt的凹函数，我们得出结论（bt）t≥0是一个超级马丁格尔，例如，它总是预计会减少（参见劳伦斯·埃文斯2010）。同样，利率RL（t）=max（u- σ- σqt/Vt，0）是一个子鞅，因为它是鞅的凸函数。因此，虽然在长期运行中，Rt：=qt/VT的比率很低的可能性很高，但它仍然有一个恒定的平均值E【Rt】≡ q/V；这种情况的发生是因为股票市场的表现明显低于经纪人所谓的货币市场。（无条件）预期利率E【rL（t）】是时间的递增函数，收敛到u-σ; 以时间t的当前状态为条件，预期利润率E[rL（t+t） | rL（t）]在未来任何时候都大于或等于当前观测值rL（t）。然而，利率的预期增长（以及随之而来的总杠杆率的下降）受到了股市如此多随机振动的干扰。保证金贷款利率对金融市场随机噪声的顺周期响应；连续时间凯利赌徒的杠杆比率呈反周期反应。但潜在的信号（即资产价格的指数增长）有助于产生保证金贷款利率的永久上升趋势。推论2。保证金贷款利率曾经达到零的概率（属于经纪人通知货币市场A中的运行反馈）。

Garivatistween now and kingdom come）有以下主要特性：Prob{rL（t）是ever 0}≤ 1.-rL（0）r∞= 1.-当前利率阻塞价格（41）证明。保证金贷款利率rL（t）至少在给定期限[0，t]上一次达到零的条件相当于比率qt/VT超过u/σ的条件- 1至少一次。自（qt/Vt）t起≥0是正鞅，Doob的鞅不等式得到（参见LawrenceEvans 2010）；在我们的背景下，这种不平等最大值0≤t型≤TqtVt≥uσ- 1.≤E【qT/VT】u/σ- 1=qV×σu- σ= 1 -rL（0）r∞, （42）我们使用了E【qT/VT】这一事实≡ q/V.以不等式（42）的极限为T→ ∞, 我们得到了预期的结果，即支持≥0qtVt≥uσ- 1.≤ 1.-rL（0）r∞. （43）因此，如果当前的保证金贷款利率达到阻塞价格的70%，那么其达到零的可能性最多为30%。如果当前利率为总利率的20%，则其达到零的可能性最多为80%。表1说明了不同股市波动率和复合年（对数）增长率的主要因素，假设货币市场开始与赌徒的财富一致（q/V：=1）。自然，随着股票市场参数变得更有利（ν越高，σ越低），界限越紧；随着可贷资金的相对稀缺（较低的q/V），这种情况也变得更加紧张。经纪人电话货币市场中的长期反馈A.Garivatis示例1。截至本文撰写之时，经纪人的通知利率（Bankrate.com报道）为4.25%。假设标准普尔500指数的程式化参数（ν，σ）：=（0.09，0.15），我们得到的阻塞价格为7.9%。因此，我们估计，马金洛利率达到零的可能性最多为4.25÷7.9=54%。提案1。

我们对相对市场规模qt/Vt的（无条件）标准偏差有以下界限：qV×pexp[σt]- 1.≤ 标准qtVt≤qV×pexp[（u/σ）t]- 1.（44）特别是limt→∞标准（qt/Vt）=+∞.证据为了便于说明，我们让F（t）：=E[（qt/Vt）]表示相对尺寸过程的二阶矩。回顾（It^o）积分表示qtvt=qV- σZtqsbsVsdWs，（45）It^o等距表示qtVt= F（t）- （q/V）=σ中兴通讯QSBSVds，（46），经微分，得出usdFdt=σEqtbtVt. （47）现在，请记住1≤ 英国电信≤ u/σ，我们有不等式σF（t）≤dFdt公司≤uσF（t），（48）经纪人电话货币市场中的长期反馈A.Garivatisor，相当于σ≤ddtlog F（t）≤uσ. （49）积分不等式（49）并简化，我们得到了理论界SF（0）×{exp[σt]- 1} ≤ F（t）- F（0）≤ F（0）×{exp[（u/σ）t]- 1}. （50）记住F（0）=（q/V）和Var[qt/Vt]=F（t）- F（0），取（50）的平方根得到所述结果。因此，虽然鞅（qt/Vt）t≥0概率趋近于零，其标准偏差以几何速率增长为零。图4绘制了t的这些理论界限，以及真实标准偏差的蒙特卡罗估计值∈ [0，2]假设参数q：=1，V：=1，ν：=0.09，σ：=0.15，u：=ν+σ/2=0.1012。（确定性）函数t 7→ Std（qt/Vt）是通过100000个实验（每个实验100000步）估算出来的；相应的步长为t：=10.5分钟。注意总体标准偏差pe[（qt/Vt）]- （q/V）需要增加，因为过程（qt/Vt）是一个子鞅（例如，它是qt/Vt的凸函数）。

为了可视化，图5绘制了相同深度参数（q、V、ν、σ）下qt/VT的100年样本路径：=（1、1、0.09、0.15）；实验包括100000个步骤，步骤大小为8.8小时。定理3。凯利赌徒在[0，T]上实现的连续复合资本增长率（即log（VT/V）/T）在均方上收敛于股市增长率ν=u- σ/2; 货币市场在[0，T]上实现的持续复合增长率（即对数（qT/q）/T）在均方上收敛于可可价格r∞= ν - σ/2 = u - σ.经纪人看涨期权货币市场的长期反馈A.加里瓦提斯比率（Garivatisratio Vol.CAGR Current/Choke Majorant Actual Prob）。（q÷V）（σ）（ν）（rL（0）/r∞) P{rLis ever 0}（Monte Carlo est.*）的10%9%7.5%/8.5%≤11.8% 9.3%(0.18%)1 15% 9% 5.6%/7.9% ≤28.6% 26.3%(0.28%)1 20% 9% 3%/7% ≤57.1% 55.1%(0.31%)1 10% 8% 6.5%/7.5% ≤13.3% 10.8%(0.2%)1 15% 8% 4.6%/6.9% ≤32.8% 30.1%(0.29%)1 20% 8% 2%/6% ≤66.7% 63.8%(0.3%)1 10% 7% 5.5%/6.5% ≤15.4% 12.7%(0.21%)1 15% 7% 3.6%/5.9% ≤38.3% 36.1%(0.3%)1 20% 7% 1%/5% ≤80% 78%(0.26%)1 10% 6% 4.5%/5.5% ≤18.2% 15.2%(0.23%)1 15% 6% 2.6%/4.9% ≤46.2% 43.6%(0.31%)1 20% 6% 0%/4% ≤100% 100%1 10% 5% 3.5%/4.5% ≤22.2% 18.7%(0.25%)1 15% 5% 1.6%/3.9% ≤58.1% 56%(0.31%)1 20% 5% 0%/3% ≤百分之百百分之百表1：保证金贷款利率在t上达到零的概率上限∈ [0, +∞), 对于不同的股市波动率和增长率，假设货币市场开始时与赌徒的财富持平（q/V：=1）*保证金贷款利率达到零限的所有模拟的百分比（括号中的标准误差）。每次评估25000次模拟，每次跨越200年，每次模拟25000步，t：=2.92天。经纪人对货币市场的长期反馈A。

Garivatis图4:t上Std（qt/Vt）的蒙特卡罗估计∈ [0，2]，假设参数q：=1，V：=1，ν：=0.09，σ：=0.15，u：=ν+σ/2=0.1012。通过模拟100000个样本路径（每个路径10万步）计算得出的估计值(t：=10.5分钟）。证据根据表达式log（qT/q）T=TZTrL（T）dt，（51），如下所示对数（qT/q）T=TZTE【rL（t）】dt（52）是（确定性）函数t 7的平均值→ E【rL（t）】在间隔【0，t】上。因为rL（t）在均方上收敛到r∞, 我们有关系限制→∞E[rL（t）]=r∞; 因此，函数t的平均值为7→ E[rL（t）]也必须收敛到r∞. 我想表明这一点→∞风险值对数（qT/q）T= 0。（53）经纪人看涨期权货币市场的长期反馈A.Garivatis图5：qt/Vt的100年样本路径，由参数SQ=1、V=1、ν=0.09、σ=0.15和u=ν+σ/2=0.1012生成。100000步，步长=8.8小时。越过蓝色（虚线）屏障，阿玛金贷款利率为零。为此，我们调用公式（参见Hoel、Port和Stone 1972）Var对数（qT/q）T=TZTZTCov（rL（s），rL（t））dsdt。（54）Cauchy-Schwarz不等式（例如，与T.T.Soong 1973核对）表示thatCov（rL（s），rL（T））≤ Std（rL（s））×Std（rL（t））。（55）因此，由于（55）的右侧在变量和t中可乘法分离，二重积分（54）主要由一维积分std（rL（t））dt的平方决定；这为我们提供了方差边界VAR对数（qT/q）T≤TZTStd（rL（t））dt→ 0作为T→ ∞. （56）经纪人看涨期权货币市场中的长期反馈A.Garivatis当T→ ∞ 因为它是（确定性）函数t 7的平均值→ Std（rL（t）），由于rL（t）在均方上收敛于r，因此其自身收敛于零∞.

这证明了货币市场实际增长率log（qT/q）/T在均方上收敛于CHOKE价格r∞= u - σ.将我们的注意力转向Kelly bankrollover 0实现的复合增长率≤ t型≤ T、 我们积分（24）的左侧，得到表达式log（VT/V）T=TZTΓtdt{z}=：xT+σTZTbtdWt{z}=：yT=：xT+yT。（57）铭记E【yT】≡ 0，我们得到对数（VT/V）T= E[xT]=TZTE[Γt]dt，（58），它是确定性函数t 7的平均值→ 间隔[0，t]上的E[Γt]。由于随机过程（Γt）t≥0均方误差为u- σ/2，我们当然有限制→∞E[Γt]=u- σ/2; 相应地，函数t 7的平均值（58）→ E[Γt]也必须收敛到u- σ/2为T→ ∞.为了完成证明，我们继续证明→∞Var[xT+yT]=0。关于三角形不等式Std（xT+yT）≤ Std（xT）+Std（yT），必须显示极限→∞Var[xT]=0和limT→∞Var[yT]=0。我们已经熟悉了一个事实，即Yt在均方中收敛到零；在做必要的修改后，类似于经纪人对货币市场的长期反馈A.Garivatis对于我们刚才对利率rL（t）所做的，我们写下TZTΓtdt=TZTZTCov（Γs，Γt）dsdt≤TZTStd（Γs）dsZTStd（Γt）dt=TZTStd（Γt）dt→ 0。（59）（59）中最后一个括号内的表达式在T时收敛为0→ ∞ 因为它是函数t 7的平均值→ Std（Γt）在区间[0，t]上，一个值本身收敛为0的函数→ ∞.为了说明该定理，图6绘制了从200年、20万步的模型经济模拟中获得的已实现增长率序列（log（qt/q）、log（St/S）、log（Vt/V））（60），该模拟由参数（q、V、ν、σ）：=（1、1、0.09、0.15）生成。定理4（数量变化）。赌徒的财富与一个单位市场指数的价格之比（例如。