经纪人看涨期权市场的长期反馈

以ETF股票衡量的资金价值是一个子比例（通常预计会增加）。货币市场的总规模qt/Stof，以这个数字的单位表示，是一个概率收敛到零的超鞅。模型（qt+Vt）/St（货币市场+赌徒权益）中的总财富在经纪人电话货币市场a中表达长期反馈时是一个超比例。Garivatis图6：在200年、200000步模型经济模拟中，在参数（q、V、ν、σ）：=（1、1、0.09、0.15）下实现的连续复合资本增长率。在市场指数中的份额。因此，比例赌徒的相对增长因子：=Vt/VSt/s（61）具有以下性质：Vt/VSt/S≤ 1+qv对于所有t.（62）相对增长因子（Vt/V）÷（St/S）等于Kellygambler的资金与买入并持有投资者财富的比率（b≡ 1） 他以同样的初始资本起步。请注意，尽管凯利赌徒在[0，t]上实现的累计跑赢大市总是会增加，但它并没有以指数速度增长到最终水平（就像在保证金完全弹性供应下一样）。相反，渐进相对增长因子是一个有限的随机数量，甚至可能小于1（尽管概率很低）。在经纪人看涨期权货币市场A.Garivatis模型中的长期反馈开始时，凯利赌徒不能期望获得超过1+q/V倍的财富，即一个以同样金额开始的买入并持有投资者的财富。比方说，如果初始利率为正，初始杠杆率为b：=2（美国Regulation-T允许的最大值），那么我们预计的最终财富不会超过同等买入持有投资者的两倍。证据

将It^o商规则应用于过程（Vt/St）t≥0，1计算VtSt公司=VtSt×（英国电信- 1)(u - σ- rL（t））dt+σ（bt- 1） dWt. （63）因此，（Vt/St）t≥0是一个子鞅，因为它的正漂移是根据bt>1和rL<u这一事实得出的- σ. 类似的计算表明DqtSt公司=qtSt×- (u - σ- rL（t））dt- σdWt, （64）何处（qt/St）t≥0是一个超级鞅，因为它的负漂移率。将方程（63）和（64）结合起来，简化，我们得到qt+VtSt= dqtSt公司+dVtSt公司=（英国电信- 1） Vt公司- qtSt公司(u-σ-rL（t））dt+σdWt. （65）回顾bt=min（1+qt/Vt，u/σ）≤ 1+qt/Vt，我们看到（qt+Vt）/Stisa supermartingale，因为它的漂移是≤ 有了这些事实，我们就有了他们的缺点VtSt公司≤ Eqt+VtSt≤q+VS，（66），其中我们使用了E[（qt+Vt）/St]是时间的递减函数这一事实。经纪人电话货币市场的长期反馈A.Garivatis乘以S/V，我们得到了预期的结果：EVt/VSt/S≤ 1+qV。（67）最后，为了证明plimt→∞qt/St=0，我们从上界qtst开始≤qS×exp-σt+σWt; （68）如果 是任意正数，则为probqtSt公司≤ ≥ Prob公司qSexp公司-σt+σWt≤ = Prob公司Wt公司√t型≤日志(S/q）σ√t+σ√t型= N日志(S/q）σ√t+σ√t型,（69）其中N（o）表示累积正态分布函数。因此，我们有1≥ 限制→∞Prob公司qtSt公司≤ ≥ N个(∞) = 1，（70）这是期望的结果。图7通过绘制参数（q，V，ν，σ）：=（1，1，0.08，0.2）的时间序列Vt/St，qt/St，（qt+Vt）/St和rL（t）的100年（100000步）样本路径来补充定理4。对于此特定模拟(t：=8.8小时），我们使股票市场指数不如我们之前的实验（较低的ν，较高的σ）那么有利，以突出当保证金贷款利率在上升到r∞.

为了有助于将人口统计数据可视化，图8提供了经纪人看涨期权货币市场中300年的长期反馈。Garivatis图7：参数（q、V、ν、σ）：=（1、1、0.08、0.2）的随机过程Vt/St、（qt+Vt）/St、qt/St和rL（t）的100年样本路径。100000步，t：=8.8小时。这些相同参数的时间函数E[Vt/St]±Std（Vt/St）、E[qt/St]和E[（qt+Vt）/St]的曲线图。图9给出了随机变量ms limt的密度估计（Epanechnikov核，带宽：=0.0193）→∞[（Vt/V）÷（St/S）]，基于由参数（q、V、ν、σ）生成的100000次模拟：=（1、1、0.09、0.15）。对于这些样本路径，凯利赌徒的平均相对增长系数为1.87，即最终财富比同等买入持有投资者多87%。请注意，Kelly准则未对所有样本路径的2.1%执行买入并持有（参见图右半部分提供的渐近CDF）。3总结与结论本文建立了经纪人看涨期权市场的核心动态行为，该市场向股票经纪人提供现金，以便为零售客户提供保证金贷款。我们（自然地）假设市场的需求方是由连续时间的凯利赌徒组成的，他们根据经纪人看涨货币市场中clockLong长期反馈的每一个滴答dt来决定赌注。Garivatis图8：人口统计的300年图E【Vt/St】±Std（Vt/St）、E【qt/St】和E[（qt+Vt）/St]在数量变化下，假设参数（q，V，ν，σ）：=（1，1，0.08，0.2）。以最大化其在【t，t+dt】上的预期持续复合资本增长率。通常，在保证金贷款的完全弹性供应下（参见。

凭借Garivatis2019a），凯利赌徒几乎可以肯定地以指数因子击败市场。为了模拟这些老练的投资者对保证金债务的均衡价格所产生的强大的长期反馈效应，我们假设市场的产出相当于一个巨大的现金池，它无弹性地不断地将所有本金和利息再投资。因此，尽管货币市场（qt）的总规模以几何速度增长至完整，但这一供应扩张速度低于市场指数（St）的渐进增长率ν和凯利基金（Vt）的预期复合增长率。根据这一直觉，我们发现相对市场规模（qt/Vt）t≥0是一个鞅（其方差在经纪人看涨期权货币市场中的长期反馈a.Garivatis图9：随机变量的经验分布limt→∞[（Vt/V）÷（St/S）]，基于参数（q、V、ν、σ）：=（1、1、0.09、0.15）生成的100000次模拟。Epanechnikov kernelbandwidth：=0.0193；Kelly标准在所有样本路径中的2.1%表现不佳。倾向于）但概率收敛到零；（qt/St）t≥0是一个概率收敛到零的变量。因此，保证金贷款利率是一个次比例（通常预计会增加），其均方收敛于阻塞价格r∞= ν - σ/2，其中σ是股票市场的年度对数波动率。如果货币市场的相对规模变得出乎意料地大（例如，由于股票市场表现不佳），那么保证金贷款利率可能在达到r∞; 我们找到了一条很好的经验法则来限制这种情况发生的可能性（从这里到永远）：概率最多为1- （当前利率÷阻塞价格）。

基于微分方程的数值解，我们观察到，该主要值通常在实际值的3%以内。同样，我们得出结论，凯利杠杆率（bt）t≥0是均方收敛到1:1的超鞅；因此，他们非常成功，但不是在均方根！经纪人通知货币市场中的长期反馈A.GarivatisLeverabled investor导致其机会集的质量逐渐下降。这表现在凯利赌徒对具有相同起始资本的买入并持有投资者的绩效相关性的渐近分布中，例如随机变量ms limt→∞[（Vt/V）÷（St/S）]。事实上，当考虑到所有反馈效应时，凯利赌徒不再以指数因子击败市场；他的渐近复合增长率，即ms limt→∞[log（Vt/V）/t]等于股市增长率，ν。已实现货币市场增长率对数（qt/q）/t均方根收敛到r∞.我们证明了杠杆投资者的相对增长因子（Vt/V）÷（St/s）是一个次鞅（总是期望增加）；然而，其极限预期值最多为1+q/V。因此，如果货币市场一开始就与凯利资金持平（q/V：=1），那么凯利赌徒的最终财富预计不会超过同等买入持有投资者的两倍。模拟研究（使用标准普尔500指数的程式化参数值（ν，σ）：=（0.09，0.15）表明，渐进相对增长因子（负倾斜）的平均值为1.87，标准偏差为0.24；Kelly标准在所有（100000）模拟中的97.9%最终击败了市场。

模拟中获得的最大最终相对增长因子为2.13；在一些精选的实验中，赌徒让自己大吃一惊：经验最小最终增长相对值为0.012。祈祷这永远不会发生在你身上。北伊利诺伊大学认可我感谢莱比锡马克斯·普朗克科学数学研究所的Omri Tal博士，感谢他就经纪人电话货币市场中的凯利/索普/盖尔渐进长期反馈理论进行了精辟的交流。A.加里瓦提斯资本增长和竞争性最优交易。强烈推荐Omri的最新论文《重新审视适应性贝塞金：对风险和时间范围的考虑》。披露本论文仅为作者的作品，作者声明自己没有利益冲突；这项工作的资金完全来自他在北伊利诺伊大学的定期学术任命。参考文献[1]Bj"ork，T.，1998年。连续时间套利理论。纽约：牛津大学出版社。[2] 布雷曼，L.，1961年。有利游戏的最佳赌博系统。第四届伯克利数理统计与概率研讨会论文集，第1卷：对统计理论的贡献。加利福尼亚大学的校董们。[3] Calin，O.，2015年。随机微积分的非正式介绍及其应用。新泽西州哈肯萨克：世界科学出版公司。[4] 埃文斯，L.C.，2010年。随机微分方程简介。普罗维登斯：美国数学学会。[5] 加里瓦蒂斯，A.，2019a。事后看来，最佳再平衡规则的准确复制。《衍生品杂志》，26（4），第35-53页。[6] 加里瓦蒂斯，A.，2019b。融资融券定价之谜的两种解决方案。《经济学研究》（73）2，pp.199-207。《经纪人通知货币市场的长期反馈》A.Garivatis【7】Hoel，P.，Port，S.，Stone，C.，1972年。随机过程简介。

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