保险支付的税费修正风险最小化

我们假设γ取[0，1]中的值，从左边开始有限制，并且远离1，而δ仅假设有界（且可测量）。税收以γ作为所有收益的分数（正和负）连续支付从投资策略中，费用也会持续支付，但作为投资策略价值的一部分。这里介绍的税收和费用计划是现实生活制度的理想化。例如，丹麦PAL税是对养老基金收益征收15.3%的浮动税，但它是按年（非连续）支付的，并且是不对称的：负的年度收益将导致未来的税收扣除，而不是负的税收支付。通过设置γ≡ 0.153我们实现了丹麦税收制度的理想化。总的来说，我们认为我们的理想化方法是朝着理解和处理广泛的税收和费用制度迈出的重要一步。考虑税后和税后价格过程71sj（0）=Sj（0）和d71sj（t）=Sj（t-)(1 - γ（t-))dSj（t）Sj（t-)- δ（t）dt, （3.1）对于j=0，1，d、 其中，SJ是第2节中介绍的税前和费用前价格过程。在下文中，我们假设分数ˇSj/Sj定义良好，并且（3.1）存在适当的正则（强）解。我们将税后和费用后价格过程解释为在费用后市场存在税收和费用的情况下，人工税后和3风险最小化的价格过程；这是基于以下观察：重写（3.1），我们看到dˇSj（t）ˇSj（t-)= (1 - γ（t-))dSj（t）Sj（t-)- δ（t）dt，表明税后和费用后资产的相对收益是原始税前和费用前资产相对收益的有效转换。相对回报率按系数（1）进行缩放- γ） 并减少δ。

换言之，回报（3.1）对应于投资者根据本小节开头描述的方案支付税费所获得的回报。储蓄账户的税后和税后版本采用ˇS（t）=exp的形式Zt（（1- γ（u））r（u）- δ（u））du= e-Rt（γ（u）r（u）+δ（u））duS（t）。（3.2）这可以解释为使用税后和税后短期利率（（1- γ） r- δ） 而不是最初的短期利率r。我们现在在第2节的设置中研究税后和税后市场（S，S，…，Sd）。因此，我们使用税后和税后储蓄账户作为计价单位，并为税后和税后市场中的保险支付流程寻找风险最小化的投资策略。可以看出，税后和税后折扣价格过程由*j=ˇSj/ˇShave dynamics*j（t）=ˇS*j（t-) (1 - γ（t-))dSj（t）Sj（t-)- r（t）dt=ˇS*j（t-)Sj（t-)S（t）（1- γ（t-))（S（t））-1dSj（t）- r（t）S*j（t-) dt公司=ˇS*j（t-)S*j（t-)(1 - γ（t-)) dS公司*j（t）。（3.3）请注意，在定义税后折扣和费用后价格过程中，使用了比Sis更大的数值。由于税前和税前折扣价格处理*jare Q-鞅，从（3.3）可以看出，税后和税后价格处理*jare Q-局部鞅。

在下面，为了简单起见，我们假设税后和税后价格过程实际上是Q鞅。3存在税收和费用时的风险最小化从（3.2）我们看到*j（t）=ˇSj（t-)Sj（t-)eRt（γ（u）r（u）+δ（u））du（1- γ（t-)) dS公司*j（t），（3.4），将税后折扣价格和费用后价格过程的动态与税前折扣价格和费用前价格过程的动态联系起来。在此设置中，贴现保险支付流程ˇAb，*由ˇAb给出，*（0）=Ab（0）和DˇAb，*（t） =ˇS-1（t）dAb（t）=eRt（γ（u）r（u）+δ（u））duS-1（t）dAb（t），（3.5）未贴现和贴现价值过程*与h相关的是ˋV（h，t）=dXj=0h（t）ˋSj（t），V*（h，t）=dXj=0h（t）ˇS*j（t），以及未贴现和贴现成本过程ˇC和ˇC*与h相关的是ˋC（h，t）=ˋV（h，t）-dXj=1Zthj（u）dˇSj（u）+Ab（t），（3.6）ˇC*（h，t）=V*（h，t）-dXj=1Zthj（u）dˇS*j（u）+Ab，*（t） 。（3.7）从第2节审查的结果可以看出，在税后和税后市场中，保险支付过程的风险最小化投资策略可以用Galtchouk Kunita WatanabedecompositionVˇAb表示，*（t） =EQhˇAb，*（T）F（t）i=VˇAb，*（0）+dXj=1ZtˇhˇAb，*j（u）dˇS*j（u）+LˇAb，*（t） ，（3.8）其中零均值鞅ˇLˇAb，*与税后折扣和费用后价格过程正交*, . . . ,ˇS*d） 。有了这个符号，我们可以写出以下结果，这是第2.3节风险最小化（在存在税收和费用的情况下）建议3.1中审查的结果的直接顺序。独特的风险最小化投资策略*在税后和税后市场中，由ˇh给出*j（t）=hˇAb，*j（t）（3.9）对于j=1，d和h*（t） =VˇAb，*（t）-ˇAb，*（t）-dXj=1ˇh*j（t）ˇS*j（t）。

（3.10）关联值过程为ˋV（ˋh*, t） =相等中兴通讯-Rst（（1-γ（u））r（u）-δ（u））dudAb（s）F（t）. （3.11）从（3.11）中我们可以看出，投资策略的现值可以作为未来付款的有条件预期值获得，并用税后和税后短期利率（1- γ） r- δ） 而不是最初的短期利率r。回想一下，我们的兴趣在于税前和费用前市场，而不是特定的税后和费用后市场。因此，我们现在将根据税前和税前市场的数量重申风险最小化投资策略。VˇAb的另一种Galtchouk Kunita Watanabe分解，*通过采用税前和费用前折扣价格过程获得*, . . . , S*d） 作为积分器，yieldsVˇAb，*（t） =VˇAb，*（0）+dXj=1ZthˇAb，*j（u）dS*j（u）+LˇAb，*（t） ，（3.12）其中零均值鞅LˇA*,bis与税前和费用前折扣价格过程正交*, . . . , S*d） 。此外，它来自（3.4）thats*j（t）=Sj（t-)ˇSj（t-)e-Rt（γ（u）r（u）+δ（u））du1- γ（t-)dˇS*j（t）。（3.13）因为洛杉矶*,bis与（S）正交*, . . . , S*d） 因此，我们发现它也与（S）正交*, . . . ,ˇS*d） 。根据（3.13），我们还发现VˇAb，*（t） =VˇAb，*（0）+LˇAb，*（t） +dXj=1ZthˇAb，*j（u）Sj（u-)ˇSj（u-)e-Ru（γ（τ）r（τ）+δ（τ））dτ1- γ（u-)dˇS*j（u）。（3.14）3存在税收和支出时的风险最小化CE（3.14）是VˇAb的另一个Galtchouk Kunita Watanabe分解，*w、 r.t.（ˇS*, . . . ,ˇS*d） 。分解的唯一性则意味着ˇLˇA*,b=LˇA*,带ˇSj（t-)Sj（t-)ˇhˇAb，*j（t）=1- γ（t-)e-Rt（γ（u）r（u）+δ（u））duhˇAb，*j（t）（3.15）对于j=1，d、 虽然提案3.1中的风险最小化投资策略涉及税后和支出后市场，但可以根据税前和支出前资产进行重述。

假设价格过程是连续的，thusSj（t-) = Sj（t）。时间t为h时的投资*税后和税后资产j中的j（t）对应于h的投资*j（t）=ˇSj（t）Sj（t）h*税前和税前资产j中的j（t）（3.16）。根据（3.15）和（3.9）得出*j（t）=1- γ（t-)e-Rt（γ（u）r（u）+δ（u））duhˇAb，*j（t），（3.17），对于j=1，d、 从（3.10）和（3.2）得出*（t） =e-Rt（γ（u）r（u）+δ（u））duVˇAb，*（t）-ˇAb，*（t）-ˇS（t）S（t）dXj=1ˇh*j（t）ˇS*j（t）=e-Rt（γ（u）r（u）+δ（u））duVˇAb，*（t）-ˇAb，*（t）-dXj=1h*j（t）S*j（t）。（3.18）即使价格过程不是连续的，我们也可以考虑投资策略*byh给出*j（t）=ˇSj（t-)Sj（t-)ˇh*j（t）（3.19）对于j=1，d和H*（t） =ˇS（t）S（t）ˇh*（t） +（S（t））-1dXj=1ˇh*j（t）ˇSj（t）1.-Sj（t）Sj（t-)ˇSj（t-)ˇSj（t）, （3.20）税前和费用前储蓄账户的投资已准确确定，总价值保持不变，即V（h*, t） =ˋV（ˋh*, t） 。（3.21）3存在税收和费用时的风险最小化特别是h*0-可接受（与税前和税前市场相关）。此外，直接计算表明h*此外，在不连续案例满意度（3.17）和（3.18）中。在下一小节中，我们通过明确构建与税收和费用相关的支付流程，并应用税收和费用调整风险最小化的新概念，而不是经典的风险最小化，从而得出相同的投资策略。3.2税费调整风险最小化在本小节中，我们考虑了一种替代方法，并明确构建了与税费相关的支付流程。设γ和δ为第3.1小节中产生的税费率。

由于税收和费用导致的支付取决于投资策略和投资回报，我们引入了两个额外的税收和费用支付过程Atax（h）和Ae（h），分别由Atax（h，0）=0、Ae（h，0）=0和DATAX（h，t）=γ（t）定义-)dXj=0hj（t）dSj（t），（3.22）dAe（h，t）=δ（t）V（h，t）dt。（3.23）我们注意到，税收是对称的，即正投资回报导致纳税，而负投资回报导致税收收入（负支付）。通过引入Dj（0）=0和ddj（t）=给出的dividend过程Dj，我们可以将税费解释为负股息-γ（t-) dSj（t）- δ（t）Sj（t）dtj=0，d、 当DAX（h，t）+dAe（h，t）=-dXj=0hj（t）dDj（t）。然后，具有价格过程（S、S、…、Sd）的交易资产将被视为交易除息（或税前和费用）。相比之下，第3.1小节中价格过程（S，S，…，Sd）的艺术市场被解释为后轴和费用。如第1节所述，存在分歧时的风险最小化似乎是一个尚未探索的研究领域；有关连续时间股息的一般介绍，请参阅第16章【2】。我们感兴趣的是确定组合支付的风险最小化投资策略的问题，该组合支付包括三个支付流程Ab、Atax（h）和三个存在税收和支出的风险最小化SAE（h）。因此，我们将存在税收和费用的未贴现成本过程定义为总付款的成本过程，这取决于我们的利益目标选择，即投资策略h。从这个意义上讲，我们面临着一个定点问题。定义3.2。

存在税收和支出的未贴现成本过程C与投资策略h和保险支付过程Abis定义为C（h，t）=V（h，t）-dXj=0Zthj（u）dSj（u）+Ab（t）+Atax（h，t）+Ae（h，t），（3.24），其中Atax（h）和Ae（h）分别由（3.22）和（3.23）定义。我们看到，C（h，t）包括[0，t]期间的累计成本，包括付款SAB（t）、Atax（h，t）和Ae（h，t）。因此，时间t的价值过程，即V（h，t），应以与之前类似的方式，解释为在[0，t]期间的所有付款后，在时间t持有的投资组合h的价值，包括税收和费用。贴现成本过程C*通过（2.4）从未贴现成本流程中定义，即*（h，t）=C（h，0）+ZtS-1（u）dC（h，u）。（3.25）我们现在分别介绍以下税务和费用调整价值、成本和风险流程的定义。定义3.3。税收和费用修正价值和成本过程通过▄V（h，t）=eRt（γ（u）r（u）+δ（u））duV确定*（h，t），（3.26）~C（h，t）=C*（h，0）+ZteRu（γ（τ）r（τ）+δ（τ））dτdC*（h，u），（3.27），其中C*定义为（3.25），其中C定义为（3.24）。在税收和费用存在的情况下，如果一个策略是0-可容许的，并且对于所有t∈ [0，T]R（h，T）=等式C（h，T）-C（h，t）F（t）.

（3.28）请注意，税费修改数量与通常的折扣数量相对应，但使用税后和税后储蓄账户作为计数，而不是税前和税前储蓄账户。3在存在税收和费用的情况下，风险最小化使用类似于[5]中应用的方法，我们观察到ERT（γ（u）r（u）+δ（u））dudC*（h，t）=deRt（γ（u）r（u）+δ（u））duV*（h，t）+ eRt（γ（u）r（u）+δ（u））dudAb，*（t）-dXj=1hj（t）（1- γ（t-)) eRt（γ（u）r（u）+δ（u））dudS*j（t）。根据（3.27）给出的定义和上述计算，dC（h，t）=dV（h，t）-dXj=1hj（t）（1- γ（t-)) eRt（γ（u）r（u）+δ（u））dudS*j（t）+eRt（γ（u）r（u）+δ（u））dudAb，*（t） 。（3.29）因此，与（2.5）相比，税费调整成本流程的动态结构与传统环境下贴现成本流程的动态结构相似。这一观察结果使我们能够使用与经典环境中类似的技术来确定风险最小化的投资策略，而无需缴纳税款和费用。为了做到这一点，我们首先定义了一个税务和费用修改版本，即贴现保险支付流程Ab，*通过▄Ab（t）=Ab，*（0）+ZteRs（γ（u）r（u）+δ（u））dudAb，*（s） 。请注意，税费调整后的保险支付流程与通常的贴现保险支付流程相对应，但以税后和税后储蓄账户而非税前和税前储蓄账户为基数，即▄Ab=ˇAb，*, （3.30）其中ˇAb，*由（3.5）给出。

新注释仅强调与第3.1小节相比的解释变化。我们再次定义了与▄Abas相关的内在价值过程，即Q-鞅v▄Ab（t）=EQh▄Ab（t）F（t）i（3.31）=Ab（t）+等式中兴通讯-Rsr（u）dueRs（γ（u）r（u）+δ（u））dudAb（s）F（t）, （3.32）和（重新）将其Galtchouk Kunita Watanabe分解写入asV▄Ab（t）=V▄Ab（0）+dXj=1Zth▄Abj（u）dS*j（u）+LAb（t）。（3.33）3存在税收和费用时的风险最小化由于分解的唯一性，我们有VAb=VˇAb，*, L▄Ab=LˇAb，*, andhAbj=hˇAb，*j对于j=1，d、 还可与（3.30）和（3.12）协商。下面的定理包含了本文的主要结果。定理3.4。存在一种独特的风险最小化投资策略▄h for abin存在税收和费用▄hj（t）=1- γ（t-)e-Rt（γ（u）r（u）+δ（u））duhAbj（t），（3.34），j=1，d和▄h（t）=e-Rt（γ（u）r（u）+δ（u））duVAb（t）-Ab（t）-dXj=1hj（t）S*j（t）。（3.35）相关风险过程由▄R（▄h，t）=等式LAb（T）- LAb（t）F（t）, （3.36）和相关的值过程isV（|h，t）=等式中兴通讯-Rst（（1-γ（u））r（u）-δ（u））dudAb（s）F（t）. （3.37）结果证明如下。首先，我们对结果进行解释，并将其与税后和税后市场中的风险最小化投资策略联系起来，讨论命题3.1及其后的讨论。通过比较（3.33）和（2.8），我们可以看出，数量hAbj（t）可以被解释为在无税收和费用的经典环境下，修改支付流程的风险最小化投资策略中时间t的资产数量j，见第2节。

定理3.4的解决方案是对该策略的修改，通过因子（1）调整税费- γ（t-))-1和e-Rt（γ（u）r（u）+δ（u））du。从（3.37）中，我们可以看出，如果信息当前可用，但使用修改后的短期利率贴现（1），投资策略的现值可以作为未来付款的有条件预期值获得-γ） r-δ） 而不是原始短期利率r。修改后的贴现系数对应于使用税后和税后储蓄账户，而不是税前和税前储蓄账户作为货币时间价值的参考。此外，该值与第3.1节中获得的税后和税后市场的值一致，与（3.11）一致，即V（|h，t）=V（h*, t） 3存在税收和费用时的风险最小化*由（3.9）和（3.10）给出。实际上，我们看到▄h=h*带h*由（3.19）和（3.20）给出。这证明了第3.1小节末尾提到的税后和费用后风险最小化与税后和费用调整风险最小化之间的关系。换言之，两种概念上不同的策略在数学上是等价的，即投资于每个问题集的金额是相等的。定理3.4的证明原则上可以基于命题3.1。直截了当的计算表明，修改和贴现的成本过程▄C和▄C*, 分别通过根据（3.19）和（3.20）给出的映射调整投资策略直接相关。因此，通过将（3.15）和（3.12）与它们的同一性（3.30）基本结合，可以建立证明。为了更好地揭示场景背后的情况，我们提供了直接证据。定理3.4的证明。通过确定数量（3.28）并将其最小化，证明了该结果。