执行延迟对Kelly股票交易的影响：

我们将证明分为两种情况：情况1：如果X（k）≥ 0，然后使用Kand上的假定界，以及I（k）的事实≥ 0，我们获得i（k+1）≤ （1+Xmax）KV（k）≤ V（k）≤ V（k）+I（k）X（k）=V（k+1）。案例2：如果X（k）<0，那么借助假设归纳假设I（k）≤ V（k），我们有i（k）X（k）≥ V（k）X（k）。现在，使用0≤ K≤ 1/（1+x最大）<1和x（k）>-1，我们观察到V（k+1）=V（k）+I（k）X（k）≥ V（k）+V（k）X（k）=1·（1+X（k））V（k）>k（1+X（k））V（k）=I（k+1）。这就完成了足够的证明。要完成引理的证明，还需要显示v（k）≥ 0表示所有k。注意到V（0）=V（1）>0，使用k上的假设不等式，我们首先看到V（2）=V（1）+N（0）（S（2）- S（1））=（1+K（1+X（0））X（1））V（0）≥ （1+1+Xmax（1+Xmax）Xmin）V（0）=（1+Xmin）V（0）≥ 然后，继续使用与上面类似的n归纳论点，它遵循t V（k）≥ 0表示所有k。五、 延迟：买入并持有与高频交易在本节中，我们表明交易执行延迟会导致买入并持有与高频交易相比表现更好。为了实现这一点，我们提供了涉及股票收益的二进制晶格模型的示例。对于这种模型，X（k）取值Xmaxwithprobability p和值xmin with probability 1-p、 使用二元晶格的理由是，接下来的计算不太复杂，并且该模型用于实际。此外，该模型还具有当时的特性阶段之间的t变小，在EOB上获得了经典几何布朗运动的近似值，该近似值在金融界广泛使用；e、 g.，见【7】。我们在无延迟情况下的理论结果适用于一类广泛的收益分布。特别是，涵盖了近似真实市场收益的分布。

相反，在关于延迟的这一节中，我们使用特定的例子来推断真实市场。因此，重要的是，我们使用的分布要接近实际情况。在我们提供n=100步的主要示例以及真实世界交易的合理模拟回报之前，我们首先分析一个只有三次交易且回报不切实际的玩具示例。对于这种简单的情况，很容易从数学上而不是通过模拟表明，执行延迟与自我融资需求相结合会导致*n> g级*.为此，我们让n=3，并使用retur ns Xmax=0.8和Xmin=-0.2，概率相等。Sin ce n很小，AsRightFor ward计算允许以闭合形式获得g（K）和gn（K）。首先，我们发现限制K以保证自己的财务状况*= K*n=1+x最大值≈ 0.556相关ELG由are g给出*≈ 0.1009和g*n≈ 0.1104. 因此，buy和h older的表现优于高频交易者约9.44%。如果取消了自我融资约束，比如允许K∈ [0，1]，然后直接计算得出最佳分数K*= K*n=1，对应于以下杠杆。也就是说，相关的最优投资令人满意*i（k）=k*i（1+X（k））Vi（k）≤ （1+Xmax）Vi（k）=i的1.8Vi（k）∈ {1，n}。在这种情况下，相关的ELG为g*≈ 0.1237和g*n≈ 0.1262. 因此，买入和持有者卖出的高频交易率约为2.11%。因此，在这个例子中，当存在延迟时，我们看到，如果一个人放弃了自我融资约束，买方和买方仍然超过了高频交易者。

这表明，延迟本身，而不是与自我融资约束相结合，可以让买入和持有人超越高频交易者。由于我们的目标是证明，当出现执行延迟时，实际市场也可能会看到买入和持有超过高频交易者，在下面的主要示例中，我们使用n=100而不是n=3，而SMALLER返回一个重复使用的值。请注意，虽然下面使用的回报率很小，但它们并没有实际市场中的回报率那么小；参见第六节中关于这个问题的讨论。示例（二进制晶格模型）：我们考虑返回Xmax=0.02，概率p=0.6，Xmin=-0.01，概率为1- p=0.4。在没有延迟的情况下，我们从第三节中回顾了足够的吸引力质量f，并注意到，对于在Xmin、xmax和p中定义的更一般的线性晶格模型参数，其质量降低了s top≥Xmin（1+Xmax）Xmin- X最大值。对于Xmin=-0.01和Xmax=0.02欠考虑，充分的吸引力条件降低到p≥ 0.34. 由于假设值为p=0.6，因此满足了要求。从V（0）=10000开始，在阶段n=100停止，我们获得了最佳分数K*= K*n=1，相同的预期对数增长；i、 例如，g*= g级*n、 对于同一个股票模型示例，我们现在考虑单元执行延迟的影响。根据第四节中的自筹资金引理，我们需要0≤ K≤ 1/（1+x最大）≈ 0.9804. 现在，对于买方和持有人，我们使用第IV节中的闭合形式解来计算gn（K）。

事实上，一个冗长而复杂的htforward计算会导致n（K）=npn-1Xi=0pilog（1+K（1+Xmax）zi）+n（1- p） n个-1Xi=0pilog（1+K（1+Xmin）zi），其中zi=（1+Xmax）i（1+Xmin）n-1.-我- 1和PI=n- 1ipi（1- p） n个-1.-i、 然后，通过绘制gn（K）与K的对比图，我们可以在图1中看到最佳分数K*n≈ 0.9804 c或对应于自我融资施加的限制。我们还得到了关联的最优ELG*n≈ 0.007719; 请参见图1中的虚线。另一方面，对于高频交易者，g（K）的sinc-ea闭式是不可用的，我们使用500000条样本路径进行了一次蒙特卡罗模拟。在图1中，从g（K）和gn（K）与K的曲线图中，我们得到了K*= K*n≈ 0.9804，这导致了最佳的预期对数增长*≈ 0.0076. 回顾thatg*n≈ 0.00 7719，买入并持有策略的最佳ELG超过高频交易策略约1.1%。差异g*n- g级*> 当一个执行多次重复模拟时，可以一致观察到0。同样值得注意的是，如果一个人放弃了自我融资约束，那么最优分数就会变成K*= K*n=1，这对应于我们在n=3的情况下看到的允许杠杆。也就是说，最优投资令人满意*i（k）=k*i（1+X（k））Vi（k）≤ （1+Xmax）Vi（k）=i的1.02Vi（k）∈ {1，n}。在这种情况下，我们得到g*≈ 0.0077 andg*n≈ 0.0 07826，表明买入并持有策略的表现优于高频策略约0.56%。这再次表明，单独而不是与自我融资约束相结合，可以导致*n> g级*.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1投资分数，K-3高频，g（K）买入并持有，gn（K）图1：n=100分数l Kelly策略的预期对数增长：p=0.6的上述最佳值要求几乎所有基金都投资于基础股票。

由于这对许多交易者来说可能被视为是一种过度的行为，许多作者建议使用所谓的分数凯利策略。这是通过缩小分数K来实现的，这样投资水平就会降低；e、 g.，见【4】、【5】、【14】和【15】。现在，如果对上述二元晶格模型使用传统的Kelly策略，如图1所示，买方和持有人的“胜利边缘”可能会更大。实际上，对于整个重新打开间隔0<K<1，gn（K）>g（K）。具有可变概率的二进制晶格：我们现在使用相同的参数Xmax=0.02，Xmin=-0.01，n=100，但现在让概率p变化。回顾前一小节的分析，如果没有延迟，如果p>0.34，则贸易具有足够的吸引力。因此，在p的这个范围内，对于无延迟的情况，买入和持有者匹配高频交易者的表现。然而，当单元执行延迟起作用时，图2显示买入和持有成为“赢家”百分比差异图（g*n- g级*)/g级*图中x 100%与p的对比显示，随着p在其范围内变化，买方和持有方的“胜利边缘”增加。0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.20.40.60.81.21.41.61.8图。2： （g）*n- g级*)/g级*x 100%对pVI。结论与未来工作本文以Kelly期望对数增长准则为绩效指标，研究了一个股票交易问题。我们首先证明了一个定理，表明在没有交易成本和执行延迟的情况下，高频交易是无敌的。然后，当考虑执行延迟时，我们使用二元晶格模型表明，在某些情况下，高频交易可能不如买入和持有。

第五节中使用的二元晶格股票模型基于数学模型，其收益率X（k）大于真实“高频”交易数据。因此，根据从历史数据获得的真实世界模型，询问买方和持有人是否仍能获得比高频交易者更高的E LG，这一点很重要。下面讨论这种情况。使用历史数据进行测试：在本小节中，我们通过描述如何使用历史日内滴答数据而不是数学价格模型进一步研究本文中的观点，为未来的研究提供了一个通道。对于这样的数据，每个“滴答”对应于一个新的股价，订单交易之间的时间可以低至微秒。让t和s分别表示时间戳和交易价格的数组。对于执行延迟为n的TraderConfrontt、 在secon ds中，用于模拟的价格选择如下：如果交易发生在t（k），则应使用的下一个交易时间发生在t（k′）处，其中k′=min{i:t（i）≥ t（k）+t} 。根据上述约定，我们得到了t（k）的子序列t（kj），总交易次数由m表示，并且我们计算了相关的股票价格s（kj）和相应的回报sxj=s（kj+1）- s（kj）s（kj）。这些回归定义了经验概率质量函数，由冲击波bfx（x）=mm之和给出-1Xj=0δ（x- xj），用于生成蒙特卡罗模拟的随机回报，该模拟需要最大化预期对数增长。使用上述步骤t=1，我们使用苹果公司（ticker AAPL）2015年12月2日上午9:30:0至上午10:00:00的高频历史交易日数据进行了初步实验。我们获得了m=12 93个交易，其中t（kj+1）的平均值约为1.4秒- t（kj）。

OurMonte-Carlo模拟，对每个K值使用50000个样本路径，得出最佳分数为K*= K*n≈ 0.9978和相关的最佳ELGsg*≈ 3.9 966 × 10-6和g*n≈ 4.002 × 10-6、由于这些量之间的差异太小，无法排除舍入误差，我们认为我们的模拟无法确定这两种交易中哪一种表现更好。另一个需要提及的令人困惑的因素是，在我们的模拟中，在整个三十分钟的市场时间低估期间，两名交易员都拥有85.1至85.5股股票。总之，利用真实市场数据对ELG绩效进行的研究将被归入未来的研究。其他未来研究方向：关于延迟相关问题的进一步研究，另一个有趣的方向是将我们在交易执行方面的结果扩展到包括信息获取方面的延迟。未来研究的第二个额外方向是因为我们在本文中只处理了一只股票。在未来，我们设想了一个包含多支股票的投资组合的公式。到目前为止，我们的初步工作表明，第三节中给出的高频最大值理论的数据推广应该是可能的。如果这被证明是真的，那么这样的结果将成为未来工作的良好起点。参考文献【1】J.L.Kelly，“信息率的新解释”，《贝尔系统技术期刊》，第35.4卷，第917–9261956页。[2] N.H.Hakanson，“关于有收益率和无收益率序列相关性的最优短视投资组合政策”，《商业杂志》，第44卷，第324-3341971页。[3] R.C.Merton，《连续时间金融》，Wiley Blackwell，1992年。[4] E.O.Thorp，“21点体育博彩和股票市场中的凯利标准”，《资产负债管理手册：理论与方法》，第1卷，pp。

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