二元预测与真实世界的统计差异

此外，当一方增加分布的峰度时（同时保留前三个时刻），或者在对数正态环境下，例如，当一方增加分布的峰度时，具有执行价格K的二元下注和具有相同执行价格K的看涨期权，且K位于分布的尾部，其估值几乎总是以相反的方式反应，whenone通过分布的规模增加不确定性。评论4（条款清单）。请注意，由于“条款清单”在法律上和数学上都是必要的，金融衍生品实践提供了精确的付款法律映射，以突出其数学、统计和经济差异。预测市场和金融市场之间一直存在紧张关系。正如我们在这里所展示的，预测市场可能对赌徒有用，但它们无法对冲经济风险。差异的数学和边缘的不可能性可以在下面显示。设X是一个随机变量inR，我们有下注的收益或预测θK:R→ {0，1}，θK（x）=1，x≥ K0，否则，（1）和g:R→自然暴露的R。自从xθK（x）是K，δ（K）和)xgk（x）对于x至少是一次可微分的≥ K（如果风险敞口是全局线性的，则为常数，或者像期权一样，在K以上分段线性），为抵消变量而匹配衍生品不是一种可行的策略。该点如图4所示。三、 胖尾巴下没有定义“崩溃”、“灾难”或“成功”。事实上，“事件”的大小具有一定的不确定性，这带来了一些数学后果。

2019年，一些言辞论文仍然认为[0，∞): 最近一篇关于信念校准的论文说，“……如果有人声称美国正处于经济崩溃的边缘或即将发生气候灾难……”经济“崩溃”或气候“灾难”不能表示为{0，1}中的一个事件，而在现实世界中，它可以具有许多价值。为此，需要一个特征量表。事实上，在厚尾条件下，不存在“典型”的崩塌或灾难，由于缺乏特征尺度，因此无法使用口头二元预测或信念作为衡量标准。我们将细尾肌和厚尾肌之间的差异（图5中直观地说明了差异）展示如下。定义4：特征量表X是一个随机变量，存在于（0，∞)或(-∞, ∞) Ande是“真实世界”（物理）分布下的期望运算符。根据经典结果【15】：limK→∞KE（X | X>K）=λ，（2）o如果λ=1，则称X为细尾类，且具有特征尺度o如果λ>1，则称X为厚尾幼虫调节类，且无特征尺度oIflimK→∞E（X | X>K）- K=u，其中u>0，则X处于临界指数级。该点可明确如下。一个人不能有一个二元合约来充分对冲一个人的“崩盘”，因为他不能事先知道崩盘的规模，或者面值或此类合约需要多少。另一方面，具有持续回报的保险合同或期权将提供令人满意的对冲。

另一种看法是：将这些事件减少到口头上的“崩溃”、“灾难”相当于一个人“重病”时的一次性医疗保险支出，而不管疾病的性质和严重程度，否则为0。分离收益和概率非常令人震惊。要用二进制复制开放式连续收益，需要一系列的赌注，通过将预测市场转化为金融市场来取消预测市场的整个想法。具有紧凑型支持的分布始终具有有限的时刻，而不是实际线路上的时刻。在预期收益的积分中。图I-5所示类型的一些实验询问代理人，他们对肉毒杆菌中毒或某些此类疾病死亡的估计是什么：代理人被指责误解了这种可能性。这是实验的一个大问题：人们不必将概率与回报分开。四、 心理学文献中对尾部概率的虚假高估定义5：整数K的替代∈R+为阈值，f（.）密度函数和pk∈ [0，1]超越它的概率，以及g（x）animpact函数。设Ibe为K以上的预期收益：I=Z∞Kg（x）f（x）dx，并让Ibe在K处的冲击乘以超过K的概率：I=g（K）Z∞Kf（x）dx=g（K）pK。替代来自于冲突的土地I，当且仅当g（.）在K上是常数（例如g（x）=θK（x），Heavisideθ函数）。锻件（.）作为一个具有正一阶导数的变量函数，我只能在细尾分布下接近，而不能在厚尾分布下接近。对于本节中的讨论和示例，假设（x）=x，因为我们将在第七节中考虑更高级的非线性。定理1:IIF X的收敛性在2，limK中描述的细尾类Das中→∞II=1（3），如果X在规则变化类别D中，limK→∞II=λ>1。（4） 证明。来自等式2。

进一步评论：A.细尾根据我们对细尾分布的定义（更一般地说，任何次指数类以外的分布，从20世纪60年代起，几乎所有经济和信息变量都被证明属于数据类，或至少属于中间次指数类（包括对数正态分布），[16]、[17]、[18]、[19]、[9]，此外还有社会变量，如城市规模、语言词汇、网络联系、企业规模、企业收入、宏观经济数据、货币数据、州际冲突和内战受害者[20]、[12]、运营风险、地震、海啸、飓风和其他自然灾害的破坏、收入不平等[21]，这就给我们留下了一个更合理的问题：高斯变量在哪里？在需要正式预测的决策中，这些似乎最多少了一个数量级。按（g）索引，其中f（g）（.）是PDF:limK→∞R∞Kxf（g）（x）dxKR∞Kf（g）（x）dx=II=1。（5） 高斯函数的特例：Let g（.）是主要使用的高斯分布（居中和归一化）的PDF，Z∞Kxg（x）dx=e-K√2π（6）和Kp=erfcK√, 其中，erfc是互补误差函数，kpi是对应于概率p的阈值。我们注意到kpi对应于保险中的逆Mills比率。B、 肥尾对于规则变化类中的所有分布，由其尾部生存函数确定：对于K大，P（X>K）≈ 斯里兰卡-α、 α>1，其中L>0，f（p）是该类成员的PDF:limKp→∞R∞Kxf（p）（x）dxKR∞Kpf（p）（x）dx=αα- 1> 1（7）C.矛盾1）I和I的矛盾：在许多实验中，包括卡尼曼和特沃斯基（1978）的前景理论论文[3]，已经反复证实，在实验中，代理人高估了小概率概率，而实验的概率是向他们显示的，并且结果对应于单个回报。

众所周知的Kahneman-Tversky结果被证明是可靠的，但解释会产生错误的结论。实际上，所有后续文献都依赖于我，并将其与我相联系，这就是作者所说的《黑天鹅》中的逻辑谬论，因为游戏必须从现实中运行一个维度。心理结果可能是强大的，因为它们在完全相似的条件下重复时会复制，但这些条件之外的所有主张和对真实风险的延伸将是一个极其普遍的概括，因为我们在现实世界中的暴露很少映射到I。此外，人们可能会高估可能性，但低估预期回报。2） 矛盾的粘性：在卡尼曼·特沃斯基（KahnemanTversky，1979）之后的四十年里，人们对矛盾的曲解仍然存在。Barberis（2003）[5]treats I=I.AndArrow et al.（10）]在《行为经济学评论》中强调概率计算错误，一长串决策科学家呼吁放松博彩市场管制，但他们也歪曲了这些二元预测对现实世界的适用性（特别是在存在真实金融市场的情况下）。3） 风险价值问题：另一个严格且危险的例子是“违约VaR”（风险价值，即在一定时期内，预计损失的最小值，例如1%的概率，即1%的分位数，见[22]），明确给出为i，即违约概率x（1- 预期回收率）。该数量可能与违约情况下的实际损失预期大不相同。条件风险价值（CVar）衡量违约条件下的预期总损失，这是另一个实体，尤其是在厚尾条件下（当然，要高得多）。

此外，金融监管机构提出了CVaR的长期近似值，而该近似值是可能导致2008年危机的风险管理法【23】。错误的论点是，他们将回收率计算为抵押品的预期价值，而不考虑违约事件。有条件违约的共同预期值通常远低于其无条件预期值。2007年，在经历了一系列大规模的停业整顿之后，大多数抵押品的价值下降到了预期价值的1/3左右！此外，VaR不是一个一致的风险度量，因为它违反了次可加性属性【24】：对于随机变量（或资产）X和Y以及阈值α，度量必须满足不等式μα（X+Y）≤ uα（X）+uα（Y）。另一方面，CVaR满足一致性约束；像Ewisei一样，由于其结构类似于VaR，因此违反了其内在质量。4） 对哈耶克知识论据的误解：“哈耶克”关于通过价格巩固信念的论据不会导致预测市场，如【25】或Sunstein【26】所述：价格存在于金融和商业市场；价格不是二元押注。哈耶克认为，知识的整合是通过价格和套利者（他的话）来完成的，套利者交易产品、服务和金融证券，而不是二元押注。定义6：二值化实验中的校正概率let p*是使I=I消除误差影响的等效概率，sop*= {p:I=I}现在让我们用概率p求解“尾部”中的Kp。

对于高斯分布，Kp=√2erfc-1（2p）；对于帕累托尾分布，Kp=p-1/α.因此，对于帕累托分布，实数连续体的比率是具有分布函数F和阈值α的随机变量X的风险值VaR的数学表达式∈ [0，1]VaRα（X）=- inf{x∈ R:FX（x）>α}，相应的CVarESα（x）=E-X | X≤- VaRα（X）表I俄罗斯拟高估KpR∞Kpxf（x）dx KpR∞Kpf（x）dx p*p*p1.28 1.75×10-11.28 × 10-11.36 × 10-11.362.32 2.66 × 10-22.32 × 10-21.14 × 10-21.143.09 3.36 × 10-33.09 × 10-31.08 × 10-31.083.71 3.95 × 10-43.71 × 10-41.06 × 10-41.06表II帕累托伪高估P KpR∞Kpxf（x）dx KpR∞Kpf（x）dx p*p*p8.1 8.92 0.811 1.1（原文如此）11.65.7 7.23 0.65 0.11 11.533 5.87 0.53 0.011 11.4328 4.76 0.43 0.0011 11。二元概率*p=αα- 1在荒谬的情况下允许p*当分布严重错误时，超过1。表一和表二显示，对于概率水平p，对应的尾部水平Kp，如Kp={inf K:p（X>K）>p}，以及相应的调整概率p*这将事件二元化——这里的概率需要在下半部分，即p<。注意，我们是在已知概率分布的mildcase下操作的，因为它在参数不确定性下变得更糟。公众中最常见的分布是“帕累托80/20”（基于帕累托发现意大利20%的人拥有80%的土地），这一分布图的尾部指数α=1.16，因此调整后的概率大于原始概率的7倍。5） 在不确定性增加的情况下，概率和预期收益在正方向上反应的示例：下面是一个示例，说明在偏态分布下，二进制和预期如何在相反方向上反应。考虑风险中性对数正态分布L（X-σ、 σ）带pdf fL（.），平均X和方差eσ- 1.十、

我们可以用参数σ增加其不确定性。我们期望合同在X以上，E>X:E>X=Z∞XxfL（x）dx=x1+erfσ√以及超过X的概率，P（X>X）=1.- erf公司σ√,分析对于使用右尾还是左尾是不变的。按照惯例，财务使用负值表示损失，而其他风险管理领域则表示随机方差的负值，因此关注右尾。KPI相当于风险价值与ARP融资，其中p是损失的可能性。请注意范德维克定律，参见Cirillo【28】：IIs与Kp预期缺口的融资相关-10-50510二进制-10-50510细尾-1000-50005001000Pareto 80/20图。5、比较两种分布下的三个收益时间序列–无论分布是细尾分布还是厚尾分布，二进制都具有相同的特性。前两个子图是按比例的，第三个子图（用α=1.16表示80/20的比例）需要将比例乘以两个数量级。其中erf是误差函数。随着σ的升高，erfσ√→ 1，E>X→ XandP（X>X）→ 这个例子是期权交易者所熟知的（见动态对冲[13]），因为在X点行使的二元期权变为0，而同一行使的标准看涨期权大幅上升，以达到资产水平——无论行使如何。风险投资的典型情况是这样的：项目风险越高，成功的可能性越小，但成功的回报越高。因此，期望值可以达到+∞ 而成功概率为0。D、 分布不确定性我们可以通过检查参数的二阶效应来衡量分布不确定性的影响，这表明误差是否会导致偏差或加速发散。

一个稳定的模型必须与误差成线性关系，见【29】。注1：分配不确定性由于Jensen不等式，差异（I- 一） 在参数不确定性下，通过σ的随机性（即双尾分布的尺度）或α的随机性（即帕累托分布的尾部指数）增加，以更高的峰度表示。证据首先，高斯世界。我们考虑了-I=R∞Kxf（g）（x）-R∞随机波动率下的Kf（g）（x），即波动率增加的参数。设σ为高斯的标度，K常数：（8）（R）∞Kxf（g）（x）dx）σ-（R）∞Kf（g）（x）dx）σ=e-K2σ（K）- 1） K级- （K）- 2） Kσ√2πσ，对于K>0的所有值均为正值（假设K-K- K+2K>0表示K正）。其次，考虑在Paretan情况下，Ratioito参数不确定性对α的敏感性（对于这种情况，我们可以得到一个与差异相比较的流线型表达式）。对于α>1（有限平均值的条件）：（9）R∞Kxf（p）（x）dx/R∞Kf（p）（x）dxα=2K（α- 1） 这是正的，并且在α值较低时显著增加，意味着尾巴越胖，预期回报的不确定性越大，I.V.校准和误校准之间的差异越大。心理学文献还研究了概率评估的“校准”——评估某人提供事件发生几率的平均值（在大数定律的某些操作下被认为是令人满意的）[1]，[32]，见图1，2和I-5。出于我们在这里所展示的原因，这些方法非常令人震惊，除非是在纯二元回报的极端情况下（例如那些认为“赢/输”的结果），从这些回报中概括出来要么是不可能的，要么会产生误导性的结果。相应地，图。

I-5在经验上没有什么意义。此外，分布不确定性本身就是FATTAIL的一个发生器：方差的异方差性或可变性在产生的分布中产生了更高的峰度【13】、【30】、【31】。表IIISCORING METRICS FOR PERFORMANCE evaluation metric Name Fitness to realityP（r）（T）适应真实世界分布的累积损益，特别是在生存过滤器P（P）（n）计数的下注下，误报了胖尾下的绩效，仅适用于二元下注和/或细尾域。λ（n）Brier分数在厚尾条件下歪曲了性能精度，忽略了更高的时刻。λ（M4）1,2nM4 First momentscore（点估计）表示精度，而不是真实世界的性能，但映射到基础变量的重新分配。λ（M4）nM4色散分数表示置信区间评估的精度。λ（M5）n提出的m5score通过预测时间序列的极值来表示精度和生存条件。g（.）机器学习非线性支付函数（非ametric）表示无需口头表述的风险敞口，并反映真实的经济或其他损益。类似于金融衍生品条款表。从核心来看，当被测变量为厚尾时，校准指标（如Brier分数）始终是细尾的，这会恶化可跟踪性。再重复一下“你不吃预测”这句话，大多数企业都严重扭曲了回报，因此在概率上进行校准是毫无意义的。备注2：分布差异通过Brierscore进行的二元预测和校准指标属于细尾类。六、 评分指标表三总结了本节，通过明确的公式或将其与某个概率类别联系起来，比较了用于衡量绩效的各种指标的概率分布。