一个具有随机波动率的双因素正演曲线模型

y轴表示波动率百分比的标准误差，X轴表示α值。图7：在极端市场和模型参数下，模拟货币外隐含效用的近似误差为远期的1.4倍。y轴表示隐含波动率差异的百分比，x轴表示α值。波动率约为40%时到期。图7显示了作为α函数的百分比波动率近似误差。图8显示了相同α范围内模拟隐含波动率的标准误差。与之前一样，近似误差很小，最大为0.007%，而隐含波动率的标准误差为0.2-0.5%。这些测试中使用的参数相对极端，在更实际的用例中，近似误差甚至更低。6结论和未来工作我们在衍生产品定价的背景下引入了一个商品远期价格演变的新模型，该模型包括商品现货价格的均值回归、远期曲线波动的去相关以及隐含波动性skew和smile。我们提供了一种通过双数值积分有效计算普通期权和早期行使期权价格的方法，该方法允许相对图8：蒙特卡罗模拟中的货币外隐含波动率预期值的标准误差，具有极端市场和模型参数，为远期的1.4倍。y轴表示波动率百分比的标准误差，x轴表示α值。快速了解模型参数对交易期权价格的最佳拟合。我们还包括一个基于因子的蒙特卡罗模拟的衍生品定价算法，该算法的近似值避免了在支付中包含的每个结算日显式模拟远期的综合漂移因子。

对于实际情况，近似误差被验证为非常小。未来工作的几个方面表明：o为σ添加确定性时间依赖性。目前，使用constantmodel参数，该模型将无法精确拟合所有交易到期的MoneyImplemented波动率。获取精确fit的通常方法是让σ是日历时间t或结算时间t的分段常数函数（对于crudeoil等非季节性市场，通常为σ（t），对于电力和天然气等季节性市场，通常为σ（t）。o将确定性时间相关性添加到α、ρ和/或ρ。虽然α、β、ρ和ρ的常数值可以产生相当普遍的微笑和歪斜期限结构，但通常不可能校准模型，以重现参数如此之少的所有交易到期期限的隐含波动率微笑和歪斜的市场水平。将参数设为t或t的分段常数函数可实现精确校准添加第二个波动系数。一些衍生产品价格对不同到期期限的隐含波动率变动的相关性很敏感，在该模型中，这种相关性是100%，因为只有一个随机因素。

添加第二个因素可以在一定程度上控制波动率相关性的期限结构。参考文献[1]Schwartz，ES《商品价格的随机行为：估值和对冲的含义》，《金融杂志》，第52卷，第3期，1997年7月，第923-973页[2]Hilliard，JE和Reis，《商品期货和期权在短期便利收益率、利率和跳跃差异下的估值》，《金融和定量分析杂志》，第33卷，第1期，1998年3月，第61-86页[3]Gabillon，J《石油期货价格的期限结构》一书：牛津能源研究所，1991年[4]Zolotko，M和Orkhrin，O《商品远期曲线与能源经济学之间的一般依赖性建模》，第43卷，2014年5月，第284页[5]Rebonato，R《利率衍生品的现代定价：伦敦银行同业拆借利率市场模型及其后》一书：普林斯顿大学出版社，2002年【6】Geman，《石油和天然气价格中的均值回归与随机游走：Fu MC、Jarrow、RA、Yen JYJ、Elliott RJ（eds）数学金融进展》。应用和数值谐波分析。