连续监测波动恒等式及其应用

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英文标题：
《Fluctuation identities with continuous monitoring and their application
  to price barrier options》
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作者：
Carolyn E. Phelan, Daniele Marazzina, Gianluca Fusai, Guido Germano
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We present a numerical scheme to calculate fluctuation identities for exponential L\\\'evy processes in the continuous monitoring case. This includes the Spitzer identities for touching a single upper or lower barrier, and the more difficult case of the two-barriers exit problem. These identities are given in the Fourier-Laplace domain and require numerical inverse transforms. Thus we cover a gap in the literature that has mainly studied the discrete monitoring case; indeed, there are no existing numerical methods that deal with the continuous case. As a motivating application we price continuously monitored barrier options with the underlying asset modelled by an exponential L\\\'evy process. We perform a detailed error analysis of the method and develop error bounds to show how the performance is limited by the truncation error of the sinc-based fast Hilbert transform used for the Wiener-Hopf factorisation. By comparing the results for our new technique with those for the discretely monitored case (which is in the Fourier-$z$ domain) as the monitoring time step approaches zero, we show that the error convergence with continuous monitoring represents a limit for the discretely monitored scheme.
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中文摘要：
我们提出了一个数值格式来计算连续监测情况下指数L拞evy过程的涨落恒等式。这包括接触单个上部或下部屏障的斯皮策标识，以及两个屏障出口问题的更困难情况。这些恒等式在Fourier-Laplace域中给出，需要进行数值逆变换。因此，我们填补了主要研究离散监控案例的文献中的一个空白；事实上，目前还没有处理连续情况的数值方法。作为一种激励性应用，我们通过指数利维过程建模的基础资产，对障碍期权进行持续监控。我们对该方法进行了详细的误差分析，并给出了误差界，以说明基于sinc的快速Hilbert变换用于Wiener-Hopf分解的截断误差是如何限制性能的。当监测时间步长接近零时，通过将我们的新技术的结果与离散监测情况（在Fourier-$z$域）的结果进行比较，我们表明，连续监测的误差收敛代表了离散监测方案的一个极限。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Fluctuation_identities_with_continuous_monitoring_and_their_application_to_price.pdf (713.87 KB)

2022-6-25 02:13:46 上传

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关键词：恒等式 Applications Quantitative Application Exponential

具有连续监测的波动恒等式及其在价格壁垒期权中的应用伦敦大学学院计算机科学系CarolynE.PhelanFinancial Computing and Analytics Group。phelan@cs.ucl.ac.ukDaniele马拉齐纳数学系，Politecnico di Milanodaniele。marazzina@polimi.itGianlucaLondongianluca城市大学卡斯商学院新金融学院皮埃蒙特东方大学经济与商业研究系（DiSEI）。fusai@unipmn.it，gianluca。福赛。1@city.ac.ukGuidoGermanoFinancial Computing and Analytics Group，伦敦经济学院伦敦大学学院系统风险中心计算机科学系。germano@ucl.ac.uk，g。germano@lse.ac.ukDecember2017年4月摘要我们提出了一种数值方案，用于计算连续监测情况下指数L'evyprocess的波动恒等式。这包括接触单个上部或下部屏障的斯皮策身份，以及两个屏障出口问题的更困难情况。这些恒等式在Fourier-Laplace域中给出，需要进行数值反演。因此，我们填补了主要研究离散监控案例的文献中的一个空白；事实上，目前还没有处理连续情况的数值方法。作为一种激励性应用，我们通过指数L'evy过程建模的基础资产对障碍期权进行持续监控。我们对该方法进行了详细的误差分析，并给出了误差界，以说明基于sinc的快速希尔伯特变换（用于维纳hopffactoriation）的截断误差是如何限制性能的。

当监测时间步长接近时，我们将新技术的结果与离散监测情况（在Fourier-z域）的结果进行比较，结果表明，连续监测的误差收敛性是离散监测方案的一个极限。关键词–金融、维纳-霍普夫因式分解、希尔伯特变换、拉普拉斯变换、频谱滤波器。1简介Spitzer（1956）首次发布了提供离散间隔监测的随机路径极值概率分布函数的Fourier-z变换的恒等式。Baxter和Donsker（1957）将其扩展到连续案例，Kemperman（1963）将其扩展到doublebarriers。Fusai et al.（2016）在离散监测案例中全面描述了路径的最小值和最大值、用于单个上下势垒以及两个势垒退出问题的等式，他提出了计算指数L'evy过程的数值方法。离散和连续监控实体分别位于Fourier-z域和Fourier-Laplace域。这意味着，如果适当地应用逆z或拉普拉斯变换，它们可以与Infourier变换期权定价方法一起使用，本文将以其为例。如今，斯皮策身份在运筹学的几个领域的相关性已得到广泛认可。

例如，我们提到了排队系统的应用，参见Cohen（1975、1982）和Prabhu（1974）的经典贡献，以及Bayer和Boxma（1996）最近的工作，Markov链（Rogers，1994），保险（Chi和Lin，2011），库存系统（Cohen和Pekelman，1978；Grassmann和Jain，1989），应用概率（Grassman，1990），以及数学金融。衍生工具的定价，尤其是奇异期权的定价，是一个富有挑战性的问题，运筹学文献中也经常涉及到这一问题，如Kou（2008）。Fusai et al.（2016）对此以及希尔伯特变换的许多非金融应用以及保险、排队论、物理、工程、应用数学等领域的维纳-霍普夫因式分解和斯皮策恒等式的相关主题提供了广泛的参考。赫斯顿（1993）首先研究了傅立叶变换的衍生品定价。Carr和Madan（1999年）发表了第一种在傅里叶域中同时使用特征函数和payoff的方法。Fang和Oosterlee（20082009）设计了基于傅里叶余弦展开的COS方法。Hilbert变换（King，2009）也已成功应用：Feng和Linetsky（2008）在傅立叶空间中使用反向归纳法对BarrierOption进行定价，Marazzina et al.（2012）和Fusaiet al.（2016）通过PlemeljSokhotsky关系计算Spitzer恒等式所需的因式。Feng和Linetsky指出，根据Stenger（1993，2011）的研究，使用thesinc展开计算希尔伯特变换会产生误差，随着快速傅立叶变换（FFT）网格点数量的增加，误差会呈指数减少。然而，Feng和Linetskymethod不能扩展到连续监控选项，因为其递归结构使其成为固有的离散方案。相反，Green等人。

（2010）表明，基于斯皮策恒等式的方法可以扩展到在时域使用拉普拉斯变换而不是z变换的连续监测。在本文中，我们实现了一种数值计算连续时间内所需的维纳-霍普法因子和斯皮策恒等式的方法；我们将其应用于具有一般指数L'evy过程的价格连续监控期权。对于连续监测，如果特征指数是有理的，即对于高斯和Kou双指数过程，或在某些特殊情况下，例如跳跃仅为正或负，则可以通过分析进行维纳-霍普夫分解。也可以用易于分解的有理指数近似非有理指数（Kuznetsov，2010）。然而，尚未找到可用于任何指数L'evy过程且不需要近似值的连续监测情况的解析解。在离散情况下，只能对高斯过程进行分析维纳-霍普法分解（Fusai et al.，2006），但从数值角度来看，这个问题更容易解决，而且有许多论文涉及指数函数过程。然而，众所周知，离散监测的数值方法收敛到连续监测极限的速度非常慢，见Broadie等人（1997）。因此，这项工作为概率以及非应用数学和运筹学方面的文献做出了贡献，提供了一种用非理性特征指数确定连续监测情况下的退出概率的方法，而以前的数值方法都集中在离散监测情况下。该方法遵循Green等人提出的方法。

（2010）并基于Fusai、Germano和Marazzina（FGM）方法（Fusai等人，2016）和光谱过滤（Phelanet al.，2017）。后者用于离散监测，因此在Fourier-z域中，我们在Fourier-Laplace域中操作。除了离散傅里叶变换（DFT），或者实际上是快速傅里叶变换（FFT），这是一种标准技术，我们还需要一种数值逆拉普拉斯变换；对于后者，我们使用了Abate和Whitt（1992a，1995）提出的算法，该算法基于傅立叶级数，并以类似于其公认的数值逆z变换的方式推导（Abate和Whitt，1992b）。误差收敛性略差于一阶多项式；我们以基于sinc的离散Hilbert变换的截断误差为参考详细解释了这一点。我们的结果表明，当监测间隔变为零时，误差收敛与误差界一致，并且离散监测技术的性能也与误差界一致。本文的结构如下。在第2节中，我们简要介绍了傅立叶变换、希尔伯特变换、拉普拉斯变换和z变换，并解释了它们如何用于计算斯皮策恒等式。然后，我们提出了一种用于连续监控的数字定价方案，并解释了其与具有离散监控的FGM定价方案的关系。第3节讨论了定价技术的误差收敛性，特别是基于sinc的希尔伯特变换的截断误差。第4节显示了所获得的结果，并将其与用于离散监控选项的FGM方法的结果进行了比较。2期权定价的傅立叶变换方法本文广泛使用傅立叶变换（见Kreyszig，2011；Polyanianand Vladimirovich，1998），这是一种具有多种应用的积分变换。

从历史上看，它已被广泛应用于光谱学和通信领域，因此许多文献将傅里叶域中的函数称为其光谱。根据金融文献中的通常惯例，正向和反向傅立叶变换定义为BF（ξ）=Fx→ξ[f（x）]=Z+∞-∞eiξxf（x）dx，（1）f（x）=f-1ξ→xhbf（ξ）i=2πZ+∞-∞e-iξxbf（ξ）dξ。（2） 设S（t）为标的资产的价格，x（t）=log（S（t）/S为其对数价格。当标的物的初始价格为S（0）=S，因此其对数价格为x（0）=0时，为了确定时间t=0时期权的价格v（x，t），我们需要贴现无补偿支付φ（x（t））e的预期值-对于初始条件为p（x，0）=δ（x）的适当风险中性概率分布函数（PDF）p（x，T），到期时的αx（T）T=T。如Lewis（2001）所示，这可以使用Plancherel关系v（0，0）=e来实现-rTEhφ（x（T））e-αx（T）| x（0）=0i=e-rTZ公司+∞-∞φ（x）e-αxp（x，T）dx=e-rT2πZ+∞-∞bφ（ξ）bp*（ξ+iα，T）dξ=e-rTF公司-1ξ→xhbφ（ξ）bp*（ξ+iα，T）i（0）。（3） 这里，bp*（ξ+iα，T）是e的傅里叶变换的复共轭-αxp（x，T）。要使用这种关系定价期权，我们需要阻尼payoff和thePDF的傅立叶变换。双屏障期权的阻尼payofffφ（x）=eαxS（θ（ex- ek））+[l，u]（x），（4），其中eαxis是阻尼因子，θ=1，对于呼叫，θ=-1对于put，1A（x）是集合a的指示函数，k=log（k/S）是原木走向，u=log（u/S）是上原木屏障，l=log（l/S）是下原木屏障，k是执行价格，u是上屏障，l是下屏障。

阻尼payofffφ（x）的傅里叶变换在解析上可用，bφ（ξ）=Se（1+iξ+α）a- e（1+iξ+α）b1+iξ+α-ek+（iξ+α）a- ek+（iξ+α）biξ+α！，（5） 其中，对于看涨期权a=u，b=max（k，l），而对于看跌期权a=l，b=min（k，u）。随机过程x（t）的PDF p（x，t）的傅里叶变换是特征函数ψ（ξ，t）=Eheiξx（t）i=Z+∞-∞eiξxp（x，t）dx=Fx→ξ[p（x，t）]=bp（ξ，t）。（6） 对于L'evy过程，特征函数可以写成ψ（ξ，t）=eψ（ξ）t，其中特征指数ψ（ξ）由L'evy-Khincine公式给出，即ψ（ξ）=iuξ-σξ+ZR（eiξη- 1.- iξη1[-1,1]（η））ν（dη）。（7） L'evy-Khincine三重态（u，σ，ν）唯一定义了L'evy过程：u定义了过程的线性漂移，σ是过程扩散部分的波动性，过程的跳跃部分是特定的，因此ν（η）是具有跳跃大小η的泊松过程的强度。在风险中性测量下，三重态的参数通过方程式u=r联系起来- q-σ-ZR（eη- 1.- iη1[-1,1]（η））ν（dη），（8），其中r是无风险利率，q是股息率。通常，L'evy过程的特征函数以闭合形式可用，例如高斯函数（Schoutens，2003），正态逆高斯函数（NIG）（Barndorff-Nielson，1998），CGMY（Carr et al.，2002），Kou双指数函数（Kou，2002），Merton跳跃扩散函数（Merton，1976），L'evyα稳定函数（Nolan，2017），方差伽马（VG）（Madan和Seneta，1990）和Meixner（Schoutens，2003）过程。一些基于傅立叶变换的定价技术也使用希尔伯特变换，这是一种与傅立叶变换相关的积分变换。与傅里叶变换不同，变换下的函数保持在同一个域中，而不是在x域和ξ域之间移动。