不对称连接：maxmin与反射maxmin连接函数

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英文标题：
《Asymmetric linkages: maxmin vs. reflected maxmin copulas》
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作者：
Damjana Kokol Bukov\\v{s}ek, Toma\\v{z} Ko\\v{s}ir, Bla\\v{z}
  Moj\\v{s}kerc, and Matja\\v{z} Omladi\\v{c}
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In this paper we introduce some new copulas emerging from shock models. It was shown earlier that reflected maxmin copulas (RMM for short) are not just some specific singular copulas; they contain many important absolutely continuous copulas including the negative quadrant dependent part of the Eyraud-Farlie-Gumbel-Morgenstern class. The main goal of this paper is to develop the RMM copulas with dependent endogenous shocks and give evidence that RMM copulas may exhibit some characteristics better than the original maxmin copulas (MM for short): (1) An important evidence for that is the iteration procedure of the RMM transformation which we prove to be always convergent and we give many properties of it that are useful in applications. (2) Using this result we find also the limit of the iteration procedure of the MM transformation thus answering a question proposed earlier by Durante, Omladi\\v{c}, Ora\\v{z}em, and Ru\\v{z}i\\\'{c}. (3) We give the multivariate dependent RMM copula that compares to the MM version given by Durante, Omladi\\v{c}, Ora\\v{z}em, and Ru\\v{z}i\\\'{c}. In all our copulas the idiosyncratic and systemic shocks are combined via asymmetric linking functions as opposed to Marshall copulas where symmetric linking functions are used.
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中文摘要：
本文介绍了冲击模型中出现的一些新的copula。前面已经证明，反射的最大最小copula（简称RMM）不仅仅是一些特定的单数copula；它们包含许多重要的绝对连续copula，包括Eyraud-Farlie-Gumbel-Morgenstern类的负象限依赖部分。本文的主要目的是发展具有相依内生冲击的RMM copulas，并证明RMM copulas可能表现出比原始maxmin copulas（简称MM）更好的一些特性：（1）一个重要的证据是RMM变换的迭代过程，我们证明它总是收敛的，并且我们给出了它的许多性质，这些性质在应用。（2） 利用这个结果，我们还发现了MM变换迭代过程的极限，从而回答了Durante、Omladi{c}、Ora{z}em和Ru{z}i{c}之前提出的一个问题。（3） 我们给出了多元相关RMM copula，它与Durante、Omladi{c}、Ora{z}em和Ru{z}i{c}给出的MM版本进行了比较。在我们所有的连接函数中，特质冲击和系统冲击通过不对称连接函数组合，而马歇尔连接函数使用对称连接函数。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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关键词：max Min 不对称 Applications Multivariate

不对称连接：MAXMIN VS.REFLECTED MAXMIN COPULASDAMJANA KOKOL BUKOVˇSEK、TOMAˇZ KOˇSIR、BLAˇZ MOJˇSKERC和MATJAˇZ OMLADIˇCAbstract。本文介绍了冲击模型中出现的一些新的copula。文献[21]表明，反映的maxmincopulas（简称RMM）不仅仅是一些特定的单数Copula；它们包含许多重要的绝对连续copulan，包括依赖于负象限的EyraudFarlie-Gumbel-Morgenstern类的“一半”。本文的主要目的是发展具有依赖内生冲击的RMM copulas，并证明RMM copulas可能表现出比原始maxmin copulas（简称MM）更好的一些特性：（1）证明这一点的一个重要证据是Therm变换的迭代过程，我们证明它总是收敛的，并且我们给出了它的许多性质，这些性质在应用。（2） 利用这一结果，我们还发现了MM变换迭代过程的极限，从而回答了[10]中提出的一个问题。（3） 我们给出了多元相关的RMM copula，与文献[10]中给出的MM版本进行了比较。在我们所有的连接函数中，异向冲击和系统冲击通过不对称连接函数组合，而马歇尔连接函数使用对称连接函数。1、引言依赖概念在多元统计文献中起着至关重要的作用，因为人们认识到独立假设不能方便地描述随机系统的行为。其中一个主要工具最终成为了copulas，因为它们的理论全能性来自于Sklar定理【30】。关于这个问题已有大量文献，包括[14、19、16、17、18]；2010年数学学科分类。一次：60E05；次要：60E15,62N05。关键词和短语。

连接词；依赖性概念；最大最小连接函数；分布函数的变换；PQD属性；生存分析；冲击模型。DKB&TK&BM&MO感谢斯洛文尼亚研究机构的财政支持（研究核心资金编号P1-0222）。2 D.KOKOL BUKOVˇSEK、T.KOˇSIR、B.MOJˇSKERC和M.OMLADIˇcelent对这些方法和copulas性质的概述参见【27】和最近的专著【11】。有关probabilitybackground的概述，请参见示例【13】。在本文中，我们致力于研究在应用中发挥重要作用的冲击模型中出现的copula（参见[15、26、22]等）。这一理论始于马歇尔·安道尔金（Marshall andOlkin）[24]，尽管马歇尔（Marshall）[23]才是真正将copulasinto引入冲击模型的人。我们认为，这条道路上的第三个里程碑是由Durante、Girard和Mazo【6】设定的，参见更一般的【2】。这篇论文可能激发了人们对这一领域的浓厚兴趣。我们想指出[28]这篇论文中引入了马歇尔copulas的不对称版本，称为maxmaxmin copulas。[10]中介绍了这些copula的依赖版本和多变量版本，而[21]中引入了反映最大最小copula的概念，简称RMM；这里还表明，这些copula总是以乘积copula∏为界，这特别意味着它们是负象限依赖的。这些观点使RMM copulas成为一些先前研究的方法的焦点，并拓宽了它们的应用范围。这种类型的copula出现在[7，命题3.2]中。此外，这些copula可被视为乘积copula∏的扰动。[4]和[25]研究了copulas的一般扰动，其中考虑了一类我们称之为反射maxmin copulas的函数（参见[25，§3]）。

RMM连接函数也可以与[9，定理7.1]中给出的结果相关，其中最大值替换为最小值；我们相信这种相似性不仅仅是巧合。[29]中产生的copulas不仅非常接近我们的RMM copulas，正如[21]中所说的那样，事实证明，在我们的示例3（a）中，它们基本上是MM copulas。让我们还指出，maxmin（以及由此反映的maxmin）copula具有一些性质，这些性质在与模糊集理论和多准则决策相关的各种上下文中都会出现。该类包括非对称copula，例如用作更一般的模糊连接词[1，8]。例如，考虑一个系统的两个内生冲击X和XO，以及一个外生冲击Z。让pX，Xq的依赖性由一个copula C开始，而Z独立于它。分配方案，Yq“pmaxpX，Zq，maxpX，Zqq，正如我们所知，是由马歇尔copula的两种形式之一给出的，而另一个则是通过将两个链接对称链接替换为链接函数min来获得的：MAXMIN VS.REFLECTED MAXMIN COPULAS 3 functions max与链接函数min。关键在于，系统冲击要么对与两个特殊冲击相关的两个分量都有影响，要么与两个冲击相冲突。另一方面，如果我们取非对称连接函数（术语在[6]中介绍）max和min，我们得到了在[28]中介绍的maxmin copula。这可能被视为冲击Z对两个组件X和X有相反的影响。

因此，它对一个组件有好处（通过链接函数max看到），对另一个组件有坏处（通过链接函数min看到），因此，Yq公司“pmaxpX、Zq、minpX、Zqq。我们可以认为Xas和Xas r.v.代表两组人各自的财富，而外源性冲击Z被解释为对其中一组有利而对另一组不利的事件。类似地，Xas和Xc可以分别被视为短期和长期投资，而Z只对其中一种类型的投资有利。然而在[21]之后，我们认为，在这种情况下，有一个概念上的理由，可以用相应的生存函数来取代与特质冲击相对应的一个分配函数。这样，我们又得到了这样一种情况，即系统性冲击与向斜冲击的作用方向相同（或相反），但对两个分量的作用方式相同。本文的第一个重要新结果是构建了反映的maxmin copulas（简称RMM）的依赖版本；二元情况在第2节推导，参见公式（4），这些copula的多元扩展在第6节，参见定理14；原始maxmin copulas的多元形式如【10】所示。在第2节末尾，我们略微扩展了[21]的结果，表明Eyraud Farlie Gumbel MorgensterClass的每个copula都属于MM或RMM类（参见示例3（b）），而这些显然只是MM和RMMcopulas的一个非常特殊的子类。有一些证据表明，RMM copulas在概念上是研究MM copulas的更好、更自然的方法。这个方向上的一个重要结果是RMM变换的迭代过程，我们证明了它总是收敛的，并给出了许多在应用中有用的性质。

我们在这个方向上的主要结果是定理8，该定理给出了极限copula，该极限copula依赖于起始copula C（控制向斜冲击的依赖性），以及两个函数f和g（“一步反射maxmin变换的生成器”），以及许多D.KOKOL BUKOVˇSEK，T.KOˇSIR，B.MOJˇSKERC，和M.OMLADIˇCdependence第4节中所述构建模型的属性。更重要的是，也许我们给出了定理10中maxmin变换的极限，从而回答了[10]中提出的问题。在第2节中，我们概述了关于反射maxmincopulas的结果，将其扩展到相依情况，给出了一些性质，并定义了迭代RMM变换。在第3节中，我们实际形成了迭代过程，并证明它总是收敛的。这使我们能够在第4节中研究当这种转换应用于copula时，依赖性属性是如何继承的。为了读者的利益，RMM copula的多变量情况首先在第5节中针对3变量情况给出，最后在第6.2节中针对一般情况给出。依赖冲击的反射maxmin Copula在本节中，我们介绍了[21]中所述的双变量反射maxmin Copula的依赖版本。我们从两个特异性冲击X和X以及一个系统性冲击Z开始。我们寻求Py，Yq“pMaxx，Zq，minpX，Zqq的分布。此外，我们假设具有d.f.G的外源性冲击Z独立于内源性冲击pX，Xq，而联合d.f。

这个向量的值可以表示为CpF，Fq，其中C是一个给定的copula。[10]的作者介绍了maxmin copula的依赖版本，介绍了有助于通过maxmin copula表达pY，Yq依赖性的函数φ，ψ，φ，ψ（让我们指出，我们在这里使用的符号与[10]中的符号略有不同）。（1）Tφ，ψpCqpu，vq：“u` pCpφpuq，ψpvqq'φpuqq maxt0，φpuq'ψpvqu。在这里，我们回顾了在[10]中给出的函数集，其中包含生成函数φ，ψ和相应的辅助函数φ，ψ：（1）Fis非减量函数的类φ：r0，1s~nr0，1，使得φp0q“0，φp1q”1和函数φ：“id{φ在p0，1s上是非减量的；和（2）Fis——一类非减量函数ψ：r0，1s~nr0，1使得ψp0q“0，ψp1q”1和函数ψpvq：“v'ψpvq1'ψpvq，如果v P r0，1q；1，如果v“1.是非减量的。不对称连接：MAXMIN VS.反射MAXMIN COPULAS 5我们想用[21]的思想和符号从（1）发展反射MAXMIN copula。首先，我们用第二个变量中的一个flip从C获得的copula替换Cpu，vq。接下来是[21]用Cσ：Cpu，vqTh~nCσpu，vq：“u'Cpu，1'vqto getTφ，ψpCσqpu，vq：”u'Cσpφpuq，1'ψpvqq maxt0，φpuq'ψpvqu。通过对该变换的结果进行flip，我们得到（2）Tφ，ψσpCσqpu，vq：“Cσpφpuq，1'ψp1'vqq maxt0，φpuq'ψp1'vqu。文献[10]的作者正在研究变换C'T¨，¨pCq inour符号）以及将此转换应用于copula C时，copula C的属性是如何继承的。我们的目标是为转换CσTh~nT¨σpCσq实现这一点。

在【21】之后，我们将maxmin copula的“生成函数”φ，ψ替换为反射maxmin copula的“生成函数”f，g，并引入辅助函数f，g，pf，pg:fpuq“φpuq'u，gpvq“1'v'ψp1'vq，fpuq”fpuqu，pfpuq“u'fpuq，gpvq”gpvqv，pgpvq“v'gpvq”。（3）一个简短的计算将公式（2）转换为（4）Tf，gσpCσqpu，vq：“uvCσppfpuq，pgpvqpqfpuqpqpqpqpqmaxt0，1'fpuqgpvqu。这是我们对公式[21，（3）]的从属情况的扩展。.作为测试，如果我们将公式C“π”放入，我们首先得到Cσ“π，因此（4）被转换为[21，（3）]。结果表明，（3）中给出的生成函数和辅助函数满足[21]（G1）中引入的条件：f p0q“gp0q”0，f p1q“gp1q”0，fp1q“gp1q”0，（G2）：函数spfpuq“fpuq`u和pgpuq“gpuq`u在r0，1s上是不变的。（G3）：函数f和g在p0、1s上不增加。实际上，[21，引理1]和[21，引理2]表明，这些条件等价于[28，10]中研究的函数φ，ψ的起始条件（F1）–（F3）。6 D.KOKOL BUKOVˇSEK、T.KOˇSIR、B.MOJˇSKERC和M.OMLADIˇcPosition 1。如果C是任意copula，且f和g满足条件（G1）、（G2）和（G3），则由（4）定义的Tf，gσpCσq是一个普遍值。证据在考虑到其中一个变量的波动将copula传递给copula这一事实后，上述考虑从【10，定理2.7】立即得出。"我们在图1中给出了当转换Tσ应用于三个典型的copulas，π，M，和W代替C。在本例中，生成函数的选择是fpuq“up1'uq”和gpvq“vp1'vq。将在命题2.Comment后对图1进行进一步注释。本文中的所有散点图均使用Mathematica软件绘制【31】。

在双变量情况下，我们使用copulas的精确表达式和算法从[27，第2.9章]中给出的给定copula生成样本，即：（i）生成两个独立的统一p0，1q变量u和t；（ii）设置v“Cp'1quptq，其中Cp'1qu表示导数Cu的准逆；（iii）样本项为pu，vq。"0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.00 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.81.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.60.81.0图1.连接函数∏、Mσ和wσ上的变换Tσ分别观察到，反射的maxmin copulas公式[21，（2）&（3）]在冲击独立的情况下，与maxmin copulas[21，（1）]（从[28，（2）]改写）的概念更为清晰。我们现在已经看到，当我们比较公式（4）和公式（1）（从[10，（2.3）]改写）时，依赖性冲击的情况显然也是如此。此时，我们要展示变换CσTh~nT¨σpCσq继承的第一个属性。在这里，我们使用缩写PQD（分别为NQD）表示随机向量pY，Yq（或copula CY，Y）正象限依赖（分别为负象限依赖）的属性；这意味着对称联系：MAXMIN VS.反映的MAXMIN COPULAS 7，CY，Ypu，vqě∏pu，vq（分别为CY，Ypu，vqd∏pu，vq）为ALU，v P r0，1s。有关PQD/NQD特性的进一步解释，请参阅【27，第5章】和【11，第64页】。结合该结果和明显的事实，即反射正在交换PQD copula和NQD copula，可以清楚地获得对[10，定理3.1（i）]的阐述。提案2。设C为PQD copula，或等价地设Cσ为anNQD copula，则Tf，gσpCσqpu，vq为NQD copula。评论我们可以通过图1来说明这个结果。

连接词W isNQD，因此，Wσ“M是PQD，在这种情况下，命题2没有给出关于象限依赖性的信息。这与图1的第三幅图像一致，很难找到任何规律性。另一方面，copula M是PQD，因此Mσ“W是NQD，第二幅图显示了与该命题一致的规律性。我们用两个简单的例子来结束本节，我们认为这可能有助于我们强调RMM和MM copulas的重要性。第一幅图涉及[29]（5）Cpu，vq“uv ` fpuqgpvq）中引入的copulas，第二幅图涉及著名的Eyraud Farlie Gumbel Morgensterncopulas（参见[11，p.26]），即对于αP r'1，1s（6）Cpu，vq“uv`αup1'uqvp1'vq。示例3。（a）：让函数f ptq和gp1'tq满足条件（G1）、（G2）和（G3），让函数f和g满足[29，定理2.3]的条件。然后copula C，由（5）isa maxmin copula定义。（b）：如果αě0，则EFGM copula是maxmin copula，如果αd0，则EFGM copula是反射的maxmin copula。证明。考虑Cσpu，vq“u'Cpu，1'vq“uv'fpuqgp1'vq得到（a）。权利要求（b）如下，因为f puq“αup1'uq”和gpvq“vp1'vq满足条件（G1），（G2）和（G3）。3.迭代反射的maxmin copula在本节中，我们迭代了上一节中介绍的变换CσTh~nT¨，¨σpCσq，作为迭代变换CThT¨，¨pCq（在我们的符号中）的作者，即我们定义了T，¨pnq：“8 D.KOKOL BUKOVˇSEK、T.KOˇSIR、B.MOJˇSKERC和M.OMLADIˇCT¨σpT¨、¨σpn'1qq。数学归纳原理的直接应用产生（7）Tf、gσpnqpCσqpu、vq：“uvCσppfpnq、pgpnqpnqpnqpnqpnqpnqpn'1'zk”0maxt0、1'fppfpkqpuqgppgpkqpqpqqqqqqqq，其中pfp0q“pgp0q”id.Sincepfpuq，pgpvq在r0，1s上由[21，引理1，（G2）]，其值不大于等于1的1处的值，也不小于等于0的0处的值。