一种自上而下的员工多重练习和评估方法

（7） 我们通过求解以下PDE系统来确定既得ESO成本。-（r+λ（t）+β）C（m）+C（m）t+LC（m）+λ（t）m-1Xz=1pm，zC（m-z） +（λ（t）(R)pm+mβ）（s- K） +=0，（8）表示（t，s）∈ [电视，T]×R+和m=1，2，M、 这里，’pmi是预期行使的期权数量，pm，zi是在剩下M个期权的情况下行使z个期权的概率。终端条件为C（m）（T，s）=m（s- K） +用于s∈ R+。在行权期[0，tv]内，ESO是未行权的，如果员工离开公司，则该ESO将被没收。我们将m个未行权ESO单位的成本表示为C（m）（t，s）。由于持有未行权ESO实际上使持有人有权在tv时获得已行权ESO，前提是持有人仍在公司。如果ESO持有人在任何时候离开公司∈ [0，tv），未授予ESO成本为零。否则，如果ζ>t，则（折旧前）未授予ESO成本为C（m）（t，s）=IEne-r（电视-t） C（m）（tv、Stv）1{ζ≥tv}| St=so=IEne-（r+α）（tv-t） C（m）（tv，Stv）| St=so。（9） 为了确定未授予的ES O成本，我们解决了PDE问题-（r+α）~C（m）+~C（m）t+LC（m）=0，对于（t，s）∈ [0，tv）×R+，~C（m）（tv，s）=C（m）（tv，s），用于s∈ R+。（10） 这里，C（m）（tv，s）是在time tv评估的ves ted ESO成本。3数值方法与实现在本节中，我们提出了两种数值方法来求解PDE（8）。我们首先讨论了快速傅立叶变换（FFT）在ESO估值中的应用，然后讨论了有限差分法（FDM）。第3.3.3.1节快速傅立叶变换比较了两种方法的结果。我们首先考虑既得ESO（t∈ [tv，T]）。设x为s=Kex，并定义函数f（m）（t，x）=C（m）（t，Kex），（t，x）∈ [tv，T]×R，（11）对于每个m=1，M、 f（M）（t，x）的PDE由下式给出-（r+λ（t）+β）f（m）+f（m）t+eLf（m）+λ（t）m-1Xz=1pm，zf（m-z） +（λ（t）(R)pm+mβ）（Kex-K） +=0，（12），其中EL·=（r- q-σ)x·+σxx·。

（13） 终端条件为f（m）（T，x）=m（Kex- K） +，对于x∈ R、 f（m）（t，x）的傅里叶变换由f[f（m）]（t，ω）=Z定义∞-∞f（m）（t，x）e-iωxdx，（14）对于m=1，M、 角频率ω，以弧度/秒为单位。将傅里叶变换应用于PDE（12），我们得到了F[F（m）]（t，ω）的ODE，时间t的函数，用ω参数化，foreach m=1，M、 精确地说，我们有ddtf[f（M）]（t，ω）=h（t，ω）f[f（M）]（t，ω）+ψ（M）（t，ω），（15），其中h（t，ω）=r+λ（t）+β- iω（r- q-σ） +ωσ，（16）ψ（m）（t，ω）=-λ（t）m-1Xz=1pm，zF[f（m-z） ]（t，ω）- （λ（t）(R)pm+mβ）Д（ω），（17）Д（ω）=F[（Kex- K） +]（ω），（18），终端条件F[F（m）]（T，ω）=mД（ω）。求解常微分方程，我们得到f[f（m）]（t，ω）=e-RTth（s，ω）dsF[f（m）]（T，ω）-中兴通讯-Ruth（s，ω）dsψ（m）（u，ω）du。（19） 因此，我们可以通过傅里叶逆变换来恢复给定的成本函数：f（m）（t，x）=f-1[F[F（m）]]（t，x）。（20） 对于每m=1，M、 和（t，x）∈ （tv，T）×R.在文献中，Leung和Wan（2015）应用傅立叶时间步进（FST）方法Itt来计算公司股票由Levyprocess驱动时美式ESO的成本。Jackson等人（2008）更广泛地应用FST方法来解决期权定价问题中出现的部分积分微分方程（PIDE）。备注3如果λ是常数，则（19）中的傅立叶变换可以简化为f[f（m）]（t，ω）=m-1Xk=0F（m）k（ω）（T- t） ke公司-（T-t） h（ω）+F（m）（ω），（21），其中F（m）（ω）=h（ω）λm-1Xz=1pm，zF（m-z） （ω）+（λ′pm+mβ）Д（ω）, （22）F（m）k（ω）=λkm-kXz=1pm，zF（m-z） k级-1（ω），k=1，2，m级- 1，（23）F（m）（ω）=F[F（m）]（T，ω）-h（ω）λm-1Xz=1pm，zF（m-z） （ω）+（λ′pm+mβ）Д（ω）, （24）h（ω）=r+λ+β- iω（r- q-σ) + ωσ.

（25）在（22）和（24）中，Д（ω）在（18）中定义。对于数值实现，我们使用有限域[tv，T]×[xmin，xmax]，对长度δT=（T）进行统一离散- tv）/n和δx=（xmax- xmin）/（Nx- 1） 在时空分布中。我们设置δt=0.01，xmin=-10，xmax=10，Nx=2。类似地，我们将有限频率空间[ωmin，ωmax]离散为均匀的网格大小δω，其中我们应用了Nyquist临界频率ωmax=π/δx和δω=2ωmax/Nx。对于j=0，Nt，andk=0，Nx公司- 1，表示tj=tv+jδt，xk=xmin+kδx，ωk=（kδω，0≤ k≤ Nx/2，kδω- 2ωmax，Nx/2+1≤ k≤ Nx公司- 1] .（26）然后我们数值计算离散傅里叶变换f[f]（tj，ωk）≈Nx公司-1Xn=0f（tj，xn）e-iωkxnδx=φkNx-1Xn=0f（tj，xn）e-i2πkn/Nx，（27），φk=e-iωkxminδx。在（27）中，我们评估了sumPNx-1n=0f（tj，xn）e-i2πkn/nx，采用标准的快速傅立叶变换（FFT）算法。通过逆FFT进行相应的傅立叶反演，得到既得ESO成本f（tj，xn）。请注意，在此过程中，系数φk将被取消。对于未授予的ESO，我们定义了相关的成本函数f（m）（t，x）=C（m）（t，Kex），（28），每m=1，M、 从PDE（10）中，我们推导出▄f（M）（t，x）的PDE- （r+α）~f（m）+~f（m）t+eLf（m）=0，（29）对于（t，x）∈ [0，tv）×R，终端条件f（m）（tv，x）=f（m）（tv，x），对于x∈ R、 正如我们所看到的，一旦既得ESO成本被计算出来，它就决定了未设定ESO问题的最终条件。将傅立叶变换应用于（29），我们可以导出F[F（m）]（t，ω），ddtF[F（m）]（t，ω）=h（ω）F[F（m）]（t，ω），（30），其中h（ω）=r+α- iω（r- q-σ） +ωσ，（31）表示（t，ω）∈ [0，tv）×R，终端条件为F[~F（m）]（tv，ω）=F[F（m）]（tv，ω）。我们将theODE解为getF[~f（m）]（t，ω）=e-~h（ω）（tv-t） F[~F（m）]（tv，ω）。

（32）反过来，我们应用傅立叶逆变换来恢复未授予的ESO成本：~C（m）（t，Kex）=~f（m）（t，x）=f-（t，x）为1[F[F（m）]]（t，x），（33）∈ [0，tv）×R.再次，我们应用FFT数值计算傅立叶变换，并使用逆FFT恢复成本函数。3.2有限差分方法为了进行比较，我们还使用有限差分方法计算ESO成本。具体而言，我们在均匀网格上应用Crank-Nicolson方法。这里我们提供了一个轮廓，重点介绍了我们应用的边界条件。更多详细信息，我们参考Wilmott et al.（1995），以及其他参考文献。至于网格设置，我们将域[tv，T]×R+限制为有限域D={（T，s）| tv≤t型≤ T、 0个≤ s≤ S*}, w这里是S*必须相对非常大，如果当前股价St=S*, 那么股票价格很可能会大于履约价格K，大于[t，t]。确定s=s时的边界条件*, 我们引入了一个新的函数C（m）（t，s）=IE中兴通讯-（r+β）（u-t） （苏- K） dLu+e-（r+β）（T-t） （M）- LT）（ST- K） +ZTtβe-（r+β）（v-t） （M）- Lv）（Sv-K） dv | St=s，Lt=M- m级.对于m=1，M、 当s=s时*, 我们看到C（m）（t，s）≈\'C（m）（t，s）。因此，我们可以将边界条件设置为s=s*为C（m）（t，S*) =\'C（m）（t，S*). 根据Feynman-Kac公式，C（m）（t，s）满足PDE-（r+λ（t）+β）’C（m）+C（m）t+L‘C（m）+λ（t）m-1Xz=1pm，z？C（m-z） +（λ（t）(R)pm+mβ）（s-K） =0，（34）对于m=1，M、 和（t，s）∈ （tv，T）×R+，终端条件为“C（m）（T，s）=m（s-K） ，用于∈ R+。然后，\'C（m）（t，s）有安萨兹解\'C（m）（t，s）=Am（t）s- Bm（t）K，（35），其中Am（t）和Bm（t）分别满足一对常微分方程，-（q+λ（t）+β）Am+A′m+λ（t）m-1Xz=下午1点，zAm-z+（λ（t）(R)pm+mβ）=0，-（r+λ（t）+β）Bm+B′m+λ（t）m-1Xz=1pm，zBm-z+（λ（t）(R)pm+mβ）=0，（36）对于m=1，M、 和t∈ （tv，T），终端条件Bm（T）=Am（T）=m，形式=1，M

我们可以解析地求解常微分方程（36），也可以使用后向欧拉方法进行数值求解。接下来，我们用δt=（t）的均匀网格大小离散域D-tv）/指令δS=S*/N、 然后，我们应用C（m）i，jt表示C（m）（ti，sj）的离散近似，其中ti=tv+iδt，sj=jδS。应用Crank-Nicolson方法求解C（m）满足的偏微分方程，对于m=1，M通过时间倒转，我们得到了时间tv时的既得ESO成本，它成为未授予ESO估值问题的最终条件值。对于未授予的ESOcost，我们将域[0，tv]×R+限制为有限域D={（t，s）| 0≤ t型≤ 电视，0≤ s≤ S*},其中S*相对来说非常大，以至于▄C（m）（t，S*) = 伊恩-（r+α）（tv-t） C（m）（tv、Stv）| St=S*o（37）≈ 伊恩-（r+α）（tv-t） （Am（t- 电视）Stv- Bm（T- tv）K）| St=S*o（38）=e-（q+α）（tv-t） Am（t- 电视）S*- e-（r+α）（tv-t） Bm（t- tv）K.（39）我们再次应用Crank-Nicolson方法求解满足▄C（m）（t，s）的偏微分方程，对于m=1，M3.3数值示例使用FFT和FDM，我们通过改变授予期tv、工作终止率α和β以及锻炼强度λ来计算不同的ESO成本。在表1中，我们给出了ESOcosts并比较了两种数值方法。众所周知，看涨期权的价值随着其到期日的增加而增加。本着类似的精神，如果员工倾向于更早地行使ESO，那么预计ESO成本会更低。如表1所示，ESO成本随着运动强度λ的增加而减少，或者随着工作终止率α或β的增加而减少，其他因素保持不变。另一方面，归属期的影响不是单调的。在行权期内，如果员工的工作终止率很高，那么在期权未授予的情况下，员工很可能会离开公司，从而导致零薪酬。因此，电视的成本正在下降。

这对应于表1中α=1的情况。然而，如果α很小，那么员工很可能会在行权期内离开公司并失去期权。因此，更长的行权期将有效地使员工持有期权的时间更长，从而推迟行使。因此，与电视相关的ESO成本正在增加，如表1中其他情况所示。参数tv=0 tv=2 tv=4FDM FFT FDM FFT FDM FFTα=0.1，β=0λ=15.4729 5.4753 7.8399 7.8405 8.2845 8.2849λ=23.7067 3.7101 6.9164 6.9170 7.7054 7.7058α=0.1，β=1λ=13.2483 3.2522 6.7063 6.7069 7.5746 7.5750λ=22.7024 2.7069 6.4655 6.4661 7.4253 7α=22.4257 0，β=0.1λ=15.0603 5.0629 9.3022 9.3031 12.1510 12.1517λ=23.5595 3.5630 8.3622 8.3631 11.4298 11.4306α=1，β=0.1λ=15.0603 5.0629 1.2579 1.2590 0.2219 0.2226λ=23.5595 3.5630 1.1310 1.1318 0.2087 0.2094表1：不同行使意图λ和不同工作终止率α和β下的已授予和未授予ESO成本，使用FFT和FDM计算以进行比较。常用参数：S=K=10，r=5%，q=1.5%，σ=20%，pm，z=1/m，m=5，T=10。InFDM:S*= 30，δS=0.1，δt=0.1。FFT中：Nx=2，xmin=-10和xmax=10。在图4中，我们将ESO成本绘制为T=5、8和10时运动强度λ的函数。结果表明，ESO相对于λ是递减的和凸的。锻炼强度高的员工往往比锻炼强度低的员工更早锻炼ESO。由于看涨期权的价值随着到期日的增加而增加，因此提前行使ESO将导致更低的成本。随着运动强度从零增加，ESO成本比运动强度高时下降更快。此外，图4还显示，随着λ的增加，与不同到期日T=5、8和10相关的ESO成本彼此接近。

假设λ较大时，期权将很早行使，到期日不会对期权价值产生重大影响。在图4的右面板上，我们将期权值绘制为股票价格的函数，其运动强度λ=0、1或5。结果表明，当cr中的λ从0减小到1时，期权值迅速减小。当运动强度非常高，即图中λ=5时，立即运动的可能性很高，因此ESO值非常接近ESO p ayo fff（S- K） +。接下来，我们考虑授予的ESO总数的影响。直觉上，我们预计总成本会随着选项数量M的增加而增加，但影响远不是线性的。在图5中，我们看到平均单位成本和平均运动时间都在增加，asM也在增加。换言之，在假设ESO将逐步行使的情况下，更大的ESO授予会间接推迟行使，从而导致更高的ESO成本。对于不同的运动强度，增加的趋势保持不变，但对于大运动强度，增加的速度显著降低。此外，运动强度越高，佩鲁尼成本和平均运动时间越低。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1锻炼强度（）T=5T=8T=109 9.5 10.5 11股价=0=1=5图4：左：当到期日T=5、8或10时，ESO成本作为员工锻炼强度λ的函数。右图：ESO成本是初始股价的函数，λ=0、1或5。参数：K=10，r=5%，q=1.5%，σ=20%，pm，z=1/m，m=5，T=10，tv=0，β=0.1。FFT中：Nx=2，xmin=-10，xmax=10.0 5 10 15 20期权数量（M）1.251.31.351.41.451.5=0.1=0.2=0.40 5 10 15 20期权数量2.82.93.13.23.33.43.5=0.1=0.2=0.4图5：左：根据授予M的期权数量和不同的激励强度λ，按非it ESO成本计算。

右图：在不同运动强度λ下，M=20个选项，我们通过10条模拟运动过程路径的蒙特卡罗模拟计算平均运动时间。通信参数：S=K=10，r=5%，q=1.5%，σ=20%，pm，z=1/m，T=10，tv=1，β=0.5，α=0.1。FFT中：Nx=2，xmin=-10，xmax=10.4随机运动强度现在我们讨论随机运动强度，这是对先前模型的扩展，λt=λ（t，St），这不仅取决于时间t，还取决于储存价格St。因此，相应的既得ESO成本C（m）（t，s）w将满足-（r+λ（t，s）+β）C（m）+C（m）t+LC（m）+λ（t，s）m-1Xz=1pm，zC（m-z） +（λ（t，s）~pm+mβ）（s- K） +=0，（40）对于m=1，M和（t，s）∈ [tv，T]×R+，终端条件C（m）（T，s）=m（s- K） +，用于s∈ R+。由于我们只讨论随机运动强度，而员工在行权期内不会行使期权，因此未行权ES O的PDE将保持不变。接下来，我们将讨论如何通过FFT数值求解（40）。对于应用傅里叶变换，我们使用与第3.1节中相同的符号，即f（m）（t，x）=C（m）（t，Kex），（41）表示m=1，M、 （t，x）∈ [tv，T]×R，and f[f（m）]（T，ω）=Z∞-∞f（m）（t，x）e-iωxdx，（42）对于m=1，M、 在本节中，我们假设λ（t，x）=A（t）处的th- B（t）x，对于一些正时间相关函数A（t）和B（t）。对于实现，我们假设B（t）相对较小，使得λ（t，x）在截断空间（tv，t）×中保持为正[-xmax，xmax]。然后，f（m）（t，x）满足-（r+A（t）- B（t）x+β）f（m）+f（m）t+eLf（m）+（A（t）- B（t）x）m-1Xz=1pm，zf（m-z）+A（t）- B（t）x？pm+mβ（千盎司-K） +=0，（43），其中EL在（13）中定义。

终端条件为f（m）（T，x）=m（Kex- K） +，对于x∈[-xmax，xmax]。利用（42）和F[xf]（t，ω）=i的傅里叶变换性质ωF[F]（t，ω），我们将PDE（43）转化为tF[f（m）]（t，ω）+iB（t）ωF[F（m）]（t，ω）- h（t，ω）F[F（m）]（t，ω）+ψ（m）（t，ω）=0，（44），其中h（t，ω）=-（r）- q-σ） iω+σω+r+A（t）+β，（45）ψ（m）（t，ω）=m-1Xz=1pm，zF[λf（m-z） [（t，ω）+F[（λ′pm+mβ）（Kex- K） +]（t，ω），（46）表示（t，ω）∈ [tv，T）×R.观察（44）是一个T阶偏微分方程，其终端条件为F[F（m）]（T，ω）=mД（ω）（见（18））。因此，我们采用特征线法和getF[f（m）]（t，ω）=e-RTth公司s、 ω-iRtsB（u）dudsF【f（m）】T、 ω+iZTtB（u）du+ZTtg（m）（τ，ω；t）dτ。（47）式中，g（m）（τ，ω；t）=e-Rτths、 ω-iRtsB（u）dudsψ（m）τ、 ω+iZτtB（u）du. （48）对于数值实现，我们可以使用第3.1节中提到的类似方法。我们可以使近似值zttg（m）（τ，ω；t）dτ≈g（m）（t，ω；t）+g（m）（t，ω；t）+i=N-1Xi=1g（m）（t+iδt，ω；t）δt，（49），其中δt=（t- t） /N.（47）和（48）中的积分rb（u）du可以近似或显式计算，具体取决于B（t）的选择。表2列出了在恒定运动强度λ=0.2和随机强度λ（s）=0.2的情况下的ESO成本- 不同行权期和工作终止率下的0.02 log（s/K）。此处规定的随机强度可以大于或小于恒定水平0.2，这取决于当前股票价格s是高于还是低于打击价格K。对于每种情况，我们使用FFT和FDM计算ESO成本。对于后者，我们在均匀网格上应用Crank-Nicolson方法，并在边界s=s处采用Neumann条件*（见第3.2节）。正如我们所看到的，这两种方法的成本实际上是相同的。随着等待期的延长，从tv=1到tv=4，在不同的运动强度和工作期限比率下，ESO成本往往会增加。

当工作终止率β为零时，具有随机强度的ESO成本似乎更高，但随着工作终止率的增加，这种影响会大大减少。这是很直观的，因为高的工作终止率意味着大多数E So将在离开时行使或被没收，而不是根据期权有效期内的行使流程行使。参数tv=1 tv=2 tv=4FDM FFT FDM FFT FDM FFTλ=0.2β=0α=012.8052 12.8065 13.7122 13.7134 15.0953 15.0967α=0.111.5867 11.5878 11.2266 11.2276 10.1187 10.1196β=0.5α=07.8849 7.8859 9.6380 9.6388 12.4029α=0.17.1347 7 7.1355 7.8910 7.8916 8.3135 8.3139λ（s）=0.2- 0.02*对数（s/K）β=0α=012.8310 12.8379 13.7364 13.7445 15.1130 15.1235α=0.111.6099 11.6163 11.2464 11.2531 10.1305 10.1376β=0.5α=07.8895 7.8887 9.6428 9.6423 12.4068 12.4076α=0.17.1387 7.1381 7.8948 7.8946 8.3165 8.3172表2：具有恒定强度λ和随机运动强度λ（s）的ESO成本不同的工作终止率α和β以及授予期tv，使用FFT和FDM计算以进行比较。常用参数：S=K=10，r=5%，q=1.5%，σ=20%，pm，z=1/m，m=5，T=10。在FDM中：S*= 30，δS=0.1，δt=0.1。FFT中：Nx=2，Xmin=-10和xmax=10.5成熟度随机化在本节中，我们提出了一种评估股票期权的替代方法。这是一种近似于第2.3节中讨论的原始ESO估值问题的分析方法。该方法的核心思想是通过指数随机变量τ将ESO的最终到期日随机化~ exp（κ），其中κ=1/T，其中T为原始恒定成熟度。该参数的选择意味着IE[τ]=T；也就是说，ESO预计将在时间T到期。例如，如果ES Os的成熟度为10年，则随机成熟度由τ~ exp（0.1）。