一种自上而下的员工多重练习和评估方法

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英文标题：
《A Top-Down Approach for the Multiple Exercises and Valuation of Employee
  Stock Options》
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作者：
Tim Leung, Yang Zhou
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We propose a new framework to value employee stock options (ESOs) that captures multiple exercises of different quantities over time. We also model the ESO holder\'s job termination risk and incorporate its impact on the payoffs of both vested and unvested ESOs. Numerical methods based on Fourier transform and finite differences are developed and implemented to solve the associated systems of PDEs. In addition, we introduce a new valuation method based on maturity randomization that yields analytic formulae for vested and unvested ESO costs. We examine the cost impact of job termination risk, exercise intensity, and various contractual features.
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中文摘要：
我们提出了一个新的框架来评估员工股票期权（ESO），该框架捕获了随时间变化的不同数量的多次行使。我们还对ESO持有人的工作终止风险进行了建模，并将其对既得和非既得ESO回报的影响纳入其中。开发并实现了基于傅里叶变换和有限差分的数值方法来求解相关的偏微分方程组。此外，我们还介绍了一种基于到期随机化的新估值方法，该方法可以得出既得和未既得ESO成本的分析公式。我们考察了工作终止风险、锻炼强度和各种合同特征对成本的影响。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> A_Top-Down_Approach_for_the_Multiple_Exercises_and_Valuation_of_Employee_Stock_Options.pdf (355.11 KB)

2022-6-25 06:05:41 上传

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关键词：Quantitative contractual derivatives differences QUANTITATIV

员工股票期权多重行使和估值的自上而下方法Tim Leung*Yang Zhou+2019年9月17日摘要我们提出了一个新的员工股票期权（ESO）价值评估框架，该框架涵盖了随时间推移的不同数量的多次行使。我们还对ESO持有人的工作终止风险进行建模，并将其对既得和未既得股票支付的影响纳入其中。发展并实现了基于傅里叶变换和有限差分的数值方法来求解相关的偏微分方程组。此外，我们还介绍了一种基于成熟度随机化的新估值方法，该方法可以得出已投资和未投资ESO成本的分析公式。我们考察了工作终止风险、锻炼强度和各种合同特征对成本的影响。*华盛顿大学应用数学系，华盛顿州西雅图，邮编98195。电子邮件：timleung@uw.edu.通信作者+华盛顿大学应用数学系，华盛顿州西雅图，邮编98195。电子邮件：yzhou7@uw.edu.1简介在美国，使用员工持股期权（ESO）作为薪酬的一部分是大公司和小公司的常见做法。财务会计准则委员会（FASB）要求公司对这些股票期权进行估值，并报告总授予成本。这一要求提出了对估值方法的需求，这种方法可以有效地捕获这些股票期权的支付结构和行使模式。实证研究表明，经理股票期权持有人倾向于提前行使期权，通常是在行权期后不久，然后在到期前的多个日期逐步行使剩余期权。Huddart和Lang（1996年）、Marquardt（2002年）和Bettis et al.（2005年）指出，对于离成熟还有10年的ES Os，预计锻炼时间为4到5年。

Huddart和Lang（1996）研究了ESO实践是如何随时间分布的，结果表明，典型员工在同一时间行使的期权的平均分数在0.18到0.72之间变化。对于更多的实证研究，我们参考了Huddart和Lang（1996）、Bettis等人（2001）、Marquardt（2002）、Arms-trong等人（2007）、Hallock和Olson（2007）、Heron和Lie（2016）以及Carpenter等人（2017）。这些经验发现促使我们考虑一个估价模型，该模型考虑了不同时间各种期权单位的多次行使。正如Jain和Subramanian（2004）所指出的，“合并多日期行使具有重要的经济和会计后果。”在本文中，我们从基金经理的角度来确定股票期权授予的成本。AnESO grant通常涉及多个长期期权。还有一个授予期，在此期间，禁止行使期权，而终止工作会导致期权被没收。我们提出的估值框架的关键组成部分是一个外生的j ump过程，该过程对随时间变化的随机练习进行建模。在我们的框架内，员工的锻炼强度可以是恒定的，也可以是随机的，每次锻炼的期权数量可以是确定性的，也可以是随机的。本质上，这种自上而下的方法提供了一个灵活的设置来模拟任何运动模式。这种想法类似于信贷风险中自上而下的方法（Giesecke和Goldberg（2011）），其中外生跳跃过程代表投资组合损失。由于ESO薪酬在很大程度上取决于员工何时离开公司，我们还包括了arandom工作期限，并允许在行权期间和行权后的工作终止率有所不同。估值问题导致了与既得期权和非既得期权相关的偏微分方程（PDE）系统的研究。

为了计算ESO成本，我们提出了两种数值方法来求解偏微分方程。我们讨论了快速傅立叶变换（FFT）的方法，然后讨论了有限差分法（FDM）。通过应用傅立叶变换，我们将原始的二阶偏微分方程简化为常强度情况下的常微分方程，并将一阶偏微分方程简化为随机强度情况下的常微分方程。通过快速傅立叶逆变换回收ESO成本。在确定性和随机运动强度下，对两种方法的结果进行了说明和比较。此外，我们还介绍了一种新的基于成熟度随机化的估值方法。这种方法的主要优点是它简化了分析公式，允许即时计算。使用这三种数值方法，我们计算了成本，并检验了解雇风险、锻炼强度、行权期和其他特征的影响。在我们的发现中，我们举例说明了不同模型规范下的行权时间分布，以及《FASB会计准则汇编》（ASC）第718号（原FASB报表123R），股票薪酬会计。显示平均锻炼时间的th倾向于随着ESOsgranted的数量非线性增加，导致单位成本更高。换言之，在假设ESO将逐步执行的情况下，更大的ESO授予会间接影响延迟执行，并导致更高的ESO成本。在文献中，ESO的风险中性估值和费用化主要有三种方法。模型往往因其对运动时间的假设而有所不同。一种方法是指定一个行使边界，该边界决定了员工对单个ES O的行使策略。反过来，ESO作为屏障类型的选项进行定价（Hull and White（2004）；Cvitani\'c等人（2008年））。

边界通常被选择为明确的，并便于计算，但没有经验或行为的公正性。另一种方法是在某种风险中性定价措施下，获得最佳行使时间，最大限度地提高预期折扣支付效果（Leung和Wan（2015））。与风险中性假设不同，许多相关研究将员工的风险偏好和对冲约束纳入其中，并通过解决效用最大化问题得出最佳行使策略。关于这方面的研究，我们参考了Jain和Subramanian（2004）；格拉塞利和亨德森（2009）；Leu ng和S ircar（2009a，b），Carmon a等人（2011）。特别是Jain和Subramanian（2004）以及Leung和Sircar（2009a）分别提出了具体时间和连续时间模型，允许风险厌恶型员工在一段时间内而不是在同一日期战略性地行使ESO。除了《多日行使的会计》，格拉塞利和亨德森（2009）还表明，风险平均的员工可能会发现在不同的行使时间同时行使多个期权是最佳的。事实上，企业不知道何时行使ESO。因此，将ESO演习作为一些外部事件进行建模是合理的，这样企业就不会被假定有权了解员工的风险偏好和演习策略。这导致了Jennergren和Naslund（1993）研究的方法；Carr和Linetsky（2000）等人通过外源性跳跃过程的首次到达时间对ESOexercise进行建模。虽然锻炼是外源性的，但锻炼的频率和时间可能取决于企业的库存和其他契约特征。

我们提出的方法本质上是该方法的扩展，用于在期权的生命周期内建模多个ESO练习。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了ESO评估模型。第3节讨论了数值方法。在第4节中，我们讨论了强迫症运动强度的情况。然后在第5节中，我们介绍了一种新的基于自然随机化的估值方法。最后，第7.2节ESO估值模型提供了结论。我们首先描述了ESO的支付结构，然后介绍了捕获各种随机性来源的随机模型。对既得和非既得ESO的估值进行了阐述。2.1支付结构ESO是一种在公司股票上提前行使的看涨期权，到期时间从5年到10年不等。为了保持ESO的激励效果，公司通常禁止ESO持有人（员工）在授予日期后的行权期内行权。在1至5年的行权期内，持有人自愿或被迫离开公司将导致期权被没收，使其一文不值。我们将[0，tv]表示为行权期，在tv日期之后，ESO行权并可自由行权，直到时间T到期。任何时间的ESO支付τ为（Sτ- K） +{电视≤τ≤T}，其中Sτ是公司在τ时的库存p价格，K是执行价格。离职后，员工应行使所有剩余的选择权。图1显示了与ESO相关的所有四种支付场景。（）tv（）（）TTimeSS（）-KST（）-KK图1：ESO支付结构e.从底部路径到顶部路径：（i）员工在行权期间离开公司，导致ESO被没收，支付为零。

（ii）由于希望清算或终止工作，员工在到期前行使既得ESO，并收到报酬（Sτ（ω）- K） +。（三）职工因任职期限届满，在到期前行使既得ESO，但未收到任何报酬。（iv）雇员在到期日T行使期权。2.2工作终止和行使流程员工的工作终止在ESO的行使时机和最终支付中起着至关重要的作用。我们用指数随机变量ζ对等待期内的工作终止时间进行建模~ exp（α），带α≥ 当E SO在tv后被授予时，我们用另一个指数随机变量ξ来模拟员工的工作终止时间~ exp（β），带β≥ 我们假设ζ和ξ是相互独立的。Jennergren和Naslund（1993年）、Carpenter（1998年）、Carr和Linetsky（2000年）、Hull和White（2004年）、Sircar和Xiong（2007年）、Leung和Sircar（2009b）、Carmona等人（2011年）以及Leung和Wan（2015年）等也使用了这种通过外部随机变量建模工作终止的方法。在我们的模型中，使用两个不同的指数时间，我们可以解释行权期间和之后工作期限风险的不同水平。ESO授权通常包含多个选项。实证研究表明，员工倾向于随着时间的推移逐步行使期权，而不是一次行使所有期权。这促使我们对训练的顺序随机时间进行建模。在我们提出的模型中，我们考虑授予M个相同的早期可行权ESO单位，具有相同的执行价格和到期日T。这些M ESO只能在行权期后行使【0，tv】≤ t型≤ T是代表一段时间内行使的ESO数量的积极激励过程。因此，LTI是一个在[0，M]上取值的整数进程。

相应的跳跃时间由序列（τ，τ，…）表示，运动频率由跳跃强度过程（λt）tv决定≤t型≤T、 跳跃s size f或L的第i次跳跃表示执行ESO的数量，并由离散随机变量δi描述。执行过程从时间tv开始，Ltv=0。根据定义，我们有≤ M、 这意味着任何时候的随机跳转大小t必须取[1，M]以内的值-书信电报-]. 此外，一旦Lt达到上限M，此后必须将跳跃强度λt设置为零。假设员工仍持有m个期权，则随机跳跃大小的p概率函数ispm，z，p{δi=z | Lτi-= M- m} 。（1） 反过来，在每个行使时间行使的预期期权数量由“pm，mXz=1zpm，z，（2）”给出，这同样取决于当前持有的ESO数量。随着时间的推移，员工可以行使一个或多个单位的ESO。在支出或工作终止之日，必须行使任何未行使的期权。因此，ESO在[0，T]上的贴现付款额是两项的总和，由下式得出：ZT公司∧ξtve-rt（St- K） +dLt+e-r（T∧ξ） （M）- 书信电报∧ξ） （ST∧ξ- K）+{ζ≥电视}。（3） 指示器1{ζ≥tv}表示如果员工在行权期内离开公司，ESO报酬为零。例1（单元练习）假设Ltbe为非齐次泊松过程（Nt）0≤t型≤t随时间变化的跳跃强度函数λ（t），对于0≤ t型≤ T每次跳转时，都会执行一个选项。在图2中，我们说明了三种可能的场景。在情景（i）中，员工逐个练习10个选项中的6个，但在时间ξ（ω）时，必须练习4个剩余选项。在情景（ii）中，员工在到期前逐一行使所有10项期权。

在场景（iii）中，员工尚未在到期日前行使所有期权，因此所有剩余期权均在时间T行使。（）TTIME图2:10个ESO泊松练习过程的三个示例路径。从路径顶部到底部路径：（i）员工一个接一个地行使10个选项中的6个，但在时间ξ（ω）实现工作终止后，被迫行使其余4个选项。（二）员工在到期和终止工作之前，逐一行使所有选择权。最后一个选项在图中的τ（ω）sh own处执行。（三）员工在到期前逐一行使3项期权，到期后剩余7项期权。示例2（模块练习）假设员工可以在每次练习时练习一个或多个选项。作为一个例子，我们假设要行使的期权数量是均匀分布的，所以我们设置pm，z=m-1对于z=1，m、 在图3中，我们用τ=PNi=1δi定义了加权平均运动时间τ的分布* τiM，（4）其中δiis是在第i个执行时间τi执行的ESO数，N是在时间T之前或时间T执行的不同执行次数。对于每个模拟路径，我们取不同行使时间的平均值，该时间由每次行使的期权数量加权。当公共参数M=20、tv=0、T=10时，(R)τ的直方图对应于λ和β的不同值。由于低工作终止率β和低运动强度λ（面板（a），其中β=0，λ=0.3），在成熟时往往会执行更多选项。与小组（b）和小组（c）以及小组（b）和小组（d）相比，我们发现，较高的工作终止率或较高的锻炼强度会降低平均锻炼时间，并减少成年锻炼的次数。在实证研究中也可以发现类似的模式（Heron和Lie，2016，图。

3).（a） （b）（c）（d）图3：加权平均行使时间直方图，如（4）所述，基于20个10年期既得ESO的10000个模拟行使过程。小组有工作终止β和运动强度λ的不同。（a） ：β=0，λ=0.3；（b） ：β=0.1，λ=0.3；（c） ：β=0.3，λ=0.3；（d） ：β=0.1，λ=0.5.2.3偏微分方程对于ESO估值，我们考虑风险中性定价度量Q f或模型中的所有随机过程和随机变量。我们对公司的库存p大米流程（St）t进行建模≥0通过几何体向下运动DST=（r- q） Stdt+σStdWt，（5）其中正常数r、q和σ分别是利率、股息率和波动率参数，W是q下的标准布朗运动，与指数分布的工作终止时间ζ和ξ无关。我们对员工运动强度的默认假设是，它是时间的决定函数，用λ（t）表示。我们将在第4节讨论随机运动强度的情况。在任何时候t∈ [电视，T]，ESO被授予。既得ESO成本函数C（m）（t，s），形式=1，2，M、 其中，M是当前持有的期权数量，由贴现的未来ESO支付的风险中性预期给出，前提是员工没有离开公司。C（m）（t，s）=IEZT公司∧ξte-r（u-t） （苏- K） +dLu+e-r（T∧ξ-t） （M）- 书信电报∧ξ） （ST∧ξ- K） +| St=s，Lt=M- m级=IE中兴通讯-（r+β）（u-t） （苏-K） +dLu+e-（r+β）（T-t） （M）- LT）（ST- K） ++ZTtβe-（r+β）（v-t） （M）- Lv）（Sv- K） +dv | St=s，Lt=M- m级, （6） 对于m=1，2，M、 和（t，s）∈ [电视，T]×R+。接下来，我们定义了与股价过程S byL·=（r- q） ss·+σsss·。