具有一般均值回复的大型投资组合的随机偏微分方程

替代（4.6）中的（4.7），我们发现存在所需密度，并由U给出t、 x、y、W、B、G= pt公司y | B·，GEut、 x，W·，G，h（σ）|W·，σt=y，B·，G（4.8）在R+×R中。然后，通过Cauchy-Schwarz不等式，我们得到了w（x）ux个t、 x、y、W、B、G≤ M（t）pty | B·，G×w（x）E用户体验t、 x，W·，G，h（σ）|W·，σt=y，B·，G≤ M（t）pty | B·，G×Ew（x）uxt、 x，W·，G，h（σ）|W·，σt=y，B·，G,其中M（t）=ess supy∈R、 ω∈Ohmp·（y | B·，G）ω∈ L（[0，T]）（在定理3.3中定义）。将上述结果积分到y中，利用总期望定律，我们得到了zrw（x）ux个t、 x、y、W、B、Gdy公司≤ M（t）×Ew（x）uxt、 x，W·，G，h（σ）|W·，B·，G和thusE“ZTZR+ZRw（x）ux个t、 x、y、W、B、Gdydxdt#≤ EhZTM（t）×ZR+Ew（x）uxt、 x，W·，G，h（σ）|W·，B·，Gdxdti=ZTM（t）EZR+w（x）uxt、 x，W·，G，h（σ）dx公司dt公司≤ZTM（t）dtE“sup0≤s≤TZR+w（x）uxs、 x，W·，G，h（σ）dx公司#≤ M′eM′TZTM（t）dtEhkw（·）（u）x（·）kL（R+）i<∞根据Tonelli定理、定理3.3和引理E2.2，定义常数M′。我们之所以认为M′是确定性的，是因为h具有确定性（正）下界和确定性上界。这是u的x导数的估计。为了获得密度的加权可积性，我们使用CauchySchwarz不等式、Tonelli定理和2。对于任何α≥ 0我们有ZR+ZR+| y | aut、 x、y、W、B、Gdydx≤ZR+ZR+MαB·，G（t）pty | B·，G×Eut、 x，W·，G，h（σ）|W·，σt=y，B·，Gdydx≤ MαB·，G（t）ZR+ZR+pty | B·，G×Eut、 x，W·，G，h（σ）|W·，σt=y，B·，Gdydx=MαB·，G（t）ZR+Eut、 x，W·，G，h（σ）|W·，B·，Gdx=MαB·，G（t）E锆+铀t、 x，W·，G，h（σ）dx | W·，B·，G≤ MαB·，G（t）Ehku（·）kL（R+）| gi其中MαB·，G（·）=supy∈R|y |αp·（y | B·，G）∈ 有限合伙人Ohm×【0，T】对于任何p<2的情况（根据第3.3节）。

然后将p′>2充分地接近于2且p<2，使得p+p′=1，通过上述和H¨older不等式，我们得到ZTZR+ZR+| y | aut、 x、y、W、B、Gdydxdt≤ EZTMαB·，G（t）Ehku（·）kL（R+）| Gidt≤ Ep“ZTMαB·，G（t）dtp#Ep′hEp′hku（·）kL（R+）| Gii≤ Tp′EpZT公司MαB·，G（t）pdt公司Ep′hEp′hku（·）kL（R+）| Gii<∞这意味着密度属于任意α的空间Lα≥ 最后，我们需要证明limx→0+ku（·，x，·）kL(Ohm×[0，T]×R）=0，根据估计值得出锆+锆+ut、 x、y、W、B、Gdydt公司≤ E“ZR+ZR+M（t）pty | B·，G×Eut、 x，W·，G，h（σ）|W·，σt=y，B·，Gdydt公司#≤ E“ZR+M（t）ZR+pty | B·，G×Eut、 x，W·，G，h（σ）|W·，σt=y，B·，Gdydt#=EZR+M（t）Eut、 x，W·，G，h（σ）|W·，B·，Gdt公司=ZR+M（t）Eut、 x，W·，G，h（σ）dt由于我们可以使用文献[12]中引理E2.2中给出的最大值原理，M（·）的可积性和支配收敛定理表明，最后一个的RHS趋向于零，因为x-→ 0+. 定理的证明现已完成。重新标记4.4。将上述证明与[12]中定理E1.2的证明进行比较（在顺式决定论的情况下），我们可以看到，由于界M（t）是确定的，因此在这里可以获得H正则性，这是我们在顺式波动率情况下没有得到的。出于同样的原因，这是MαB·，G（·）=supy的随机性∈R|y |αp·（y | B·，G）这不允许为α>0的导数ux建立| y |α-加权可积性，即使我们可以通过使用ku（t，·）kL（R+）来为u本身建立该可积性≤ kukL（R+）几乎适用于所有t、 ω∈ [0，T]×Ohm根据定理4.1。

我们将看到，这里得到的正则性和加权可积性正是我们证明下两节结果所需要的。现在我们有一个正则密度u（t，x，y）=ut、 x、y、W、B、G对于测量值过程vt，我们可以在定理2.6的分布SPDE中替换RRf·dvt=RRf（x，y）u（t，x，y）dxdy，并通过分段积分得到u（t，x，y）=u（x，y | G）- rZt（u（s，x，y））xds+Zth（y）（u（s，x，y））xds-kθZt（u（s，x，y））yds+kZt（yu（s，x，y））yds+Zth（y）（u（s，x，y））xxds+ξρρZt（h（y）q（y）u（s，x，y））xyds+ξZtq（y）u（s，x，y）y码-ρZth（y）（u（s，x，y））xdWs-ξρZt（q（y）u（s，x，y））ydBs，（4.9），其中u（x，y | G）表示初始密度。这是二维密度u（t，x，y）满足的SPDE，其中x中的二阶导数和y中的导数在分布意义上考虑（在定理2.6中定义的测试空间C上，y具有额外的消失条件-→ ±∞ 以确保部件相对于y的积分不会留下边界项s）。5初边值问题解的更高正则性在本节中，我们为密度u（t，x，y）满足的随机初边值问题的解建立了更高的正则性，这是以后提供关键唯一性结果所必需的。这一结果的证明很有趣，因为它表明，在上一节中获得的u的| y |α加权可积性，而不是其导数ux（见备注4.4），正是我们需要处理无界系数k（θ- z） ，其原因是，这种有问题的效率与SPDE中的uxanywhere无关。附录中证明了证明本节主要结果所需的所有引理，因为它们是[11，12]中使用的引理的最小定义。

为了简化上一节的符号，我们设置了▄Lα=L▄y▄α（R+×R）和▄L0，w=Lw（x）（R+×R）。在陈述结果之前，我们需要明确定义初始边值问题。我们对α问题的α解给出以下定义≥ 0，如前一节所示，对于α的所有正值，密度函数u都满足其性质。定义5.1。对于实数ρ，设q:R-→ R+和h:R-→ R+是连续函数，而Ube是随机om函数，因此U∈ LOhm;Lα和（U）x∈LOhm;L0，w对于某些α>0的情况。给定ρ、α和函数q、h和U，我们说当满足以下条件时，ui是问题的α解；1、u适用于过滤{σG、 Wt，Bt: t型≥ 0}，属于空间Lα∩ H、 第4.2节中定义了Lα和Hare。u满足SPDEu（t，x，y）=u（x，y）- rZt（u（s，x，y））xds+Zth（y）（u（s，x，y））xds-kθZt（u（s，x，y））yds+kZt（yu（s，x，y））yds+Zth（y）（u（s，x，y））xxds+ρZt（h（y）q（y）u（s，x，y））xyds+ξZtq（y）u（s，x，y）y码-ρZth（y）（u（s，x，y））xdWs-ξρZt（q（y）u（s，x，y））ydBs，（5.1）对于所有x≥ 0和y∈ R、 其中，uy、uy和uxx在测试函数空间上的分布意义上考虑▄Ctest={g∈ Cb（R+×R）：g（0，y）=0y∈ R、 林茨-→±∞g（x，z）=limz-→±∞gy（x，z）=0x个∈ R+}。重新标记5.2。对于ρ=ξρρ，其中ρ表示WT和Bt之间的相关系数，我们得到了SPDE（4.9）。现在我们继续我们改进的正则性结果，这在下面的定理定理5.3中给出。固定实数ρ和初始数据函数U。设U为所有α问题的α解≥ 0，其中q满足假设3.1的条件，h如定理4.3所示。然后，u，e，xi sts的弱导数uy和我们haveuy∈ L[0，T]×Ohm;L0，w重新标记5.4。

该结果表明，任何满足定义5.1 f或所有α条件的u≥ 0在y中也是弱可微的，并且uy具有很好的可积性。高阶导数也有可能属于某些加权Lspacesexist，但这是我们在本文中不会研究的内容。eorem 5.3的证明几乎与[11]中定理5.2的证明相同，我们只需将每一步调整为vol函数qvol的新性质，而不是这里的平方根函数。其思想是用一个由适当函数组成的热核来测试SPDE，并导出一个包含u及其导数的smo oth近似的加权形式的估计。正如我们在[11]中所做的那样，我们用一个函数组成了平滑热核，该函数将我们的挥发过程映射为恒定的挥发差。这导致消除了一些扩展术语，如-→ 0+，使我们能够确定某些加权Sobolev规范的真实性。因此，我们用φ（z，y）测试你的速度=√2πe-（Q（z）-y） 2，y，z∈ R、 其中，对于某些z，Q（z）=Rzzq（z′）dz′∈ R、 我们显然有φ∈测试。当然，我们需要了解我们的内核如何具有良好的平滑和收敛性（如-→ 0+属性。这在[11]中引理5.3和引理5.4的以下模型中给出，其证明非常简单，并在附录中讨论。引理5.5。设（λ，u）为度量空间。对于∧×R中支持的任何函数u，我们定义函数JU，（λ，y）=ZRu（λ，z）φ（z，y）dzandJu（λ，y）=qQ-1（y）u（λ，Q-1（y））y∈ R现在支持Ju∈ L(Λ, u) ; L（R）. 然后我们得到了以下正则性和收敛性结果；1、Ju，（·，·）是光滑的∈ N我们有nynJu，（·，·）∈ L(Λ, u) ; L（R）;2、朱，（·，·）-→ Ju（·，·）在L中很强(Λ, u) ; L（R）, as-→ 0+..引理5.6。

在引理5.5的表示法中，假设存在一个常数C>0和一个n∈ 对于任何大于0的lylJu，（·，·）L（∧，u）；L（R））≤ C（5.2）对于∧×R和所有l中支持的某些函数u∈ {1，2，…，n}。那么我们有lylJu公司∈L(Λ, u) ; L（R）还有lylJu，-→l我刚好在L(Λ, u) ; L（R）as-→+, 对于所有l∈ {1，2，…，n}。在X上写入标准Lebesgue测量值的uX和uWX X上的R和加权lebesgue测度 R的重量分别为w（x），我们可以写Ohm;L= LOhm×R+，P×uR+; L（R）,LOhm;L0，w= LOhm×R+，P×uwR+; L（R）,L[0，t]×Ohm;L= L[0，t]×Ohm×R+，u[0，t]×P×uR+; L（R）,安德尔[0，t]×Ohm;L0，w= L[0，t]×Ohm×R+，u[0，t]×P×uwR+; L（R）,这是上面两个引理将被使用的空间。现在是所有α问题的α-解u≥ 0我们设置：I，g（z）（s，x，y）=ZRg（z）u（s，x，z）φ（z，y）dz，对于z和>0的任何函数g，我们得到以下结果MMA 5.7。对于α-溶液u，我们有以下等式yki，1（t，·）kL(Ohm;L0，w）=ZRU（·，z）φ（z，·）dzL(Ohm;L0，w）+rZtI[0，1]×R（·）I，1（s，·）L(Ohm;L）ds+ZtxI，h（z）（s，·），I，1（s，·）L(Ohm;L0，w）ds+2kθZtI，Q′（z）（s，·），yI，1（s，·）L(Ohm;L0，w）ds-ξZtI，q′（z）（s，·），yI，1（s，·）L(Ohm;L0，w）ds-2kZtI，zQ′（z）（s，·），yI，1（s，·）L(Ohm;L0，w）ds-Zt公司xI，h（z）（s，·），xI，1（s，·）L(Ohm;L0，w）ds-Zt公司xI，h（z）（s，·），I[0，1]×R（·）I，1（s，·）L(Ohm;L）ds+ρZtxI，h（z）（s，·）L(Ohm;L0，w）ds-ξ1.- ρZt公司yI，1（s，·）L(Ohm;L0，w）ds。-2 (ρ -ξρρ）×ZtxI，h（z）（s，·），yI，1（s，·）L(Ohm;L0，w）ds。（5.3）上述标识中的所有术语均为有限的。上述引理的证明也可以在附录中找到。我们现在准备证明定理5.3的主要结果证明。

对于引理5.7中给出的等式（5.3）中的所有内积，除了第一个和第十个外，我们可以使用Cauchy-Schwartz不等式，然后使用众所周知的不等式ab≤a4C+Cb用于标准产品，以获得Ki，1（t，·）kL(Ohm;L0，w）≤ZRU（·，z）φ（z，·）dzL(Ohm;L0，w）+rZtI[0，1]×R（·）I，1（s，·）L(Ohm;L）ds+ZtxI，h（z）（s，·），I，1（s，·）L(Ohm;~L0，w）ds+kθZtC′I，Q′（z）（s，·）L(Ohm;~L0，w）ds+kθZtC′yI，1（s，·）L(Ohm;~L0，w）ds+ξZtC′I，q′（z）（s，·）L(Ohm;~L0，w）ds+ξZt4C′yI，1（s，·）L(Ohm;~L0，w）ds+kZtC′I，zQ′（z）（s，·）L(Ohm;~L0，w）ds+kZtC′yI，1（s，·）L(Ohm;L0，w）ds-Zt公司xI，h（z）（s，·），xI，1（s，·）L(Ohm;L0，w）ds+ρZtxI，h（z）（s，·）L(Ohm;L0，w）ds-Zt公司xI，h（z）（s，·），I[0，1]×R（·）I，1（s，·）L(Ohm;L）ds-ξ1.-ρZt公司yI，1（s，·）L(Ohm;~L0，w）ds+C′|ρ-ξρρρ| ZtxI，h（z）（s，·）L(Ohm;~L0，w）ds+C′|ρ- ξρρρ| ZtyI，1（s，·）L(Ohm;~L0，w）ds（5.4），对于任何C′，C′大于0。取C′’=1和一个足够大的C′，如kθ+ξ+|ρ- ξρρρ|+kC′<ξ1.-ρ,从（5.4）中，我们可以得出formkI，1（t，·）kL的估计值(Ohm;L0，w）+MZtyI，1（s，·）L(Ohm;L0，w）ds≤ZRU（·，z）φ（z，·）dzL(Ohm;L0，w）+MZtxI，h（z）（s，·）L(Ohm;L0，w）ds+MXg（z）∈{Q′（z），zQ′（z），Q′（z）}ZtI，g（z）（s，·）L(Ohm;L0，w）ds+rZtI[0，1]×R（·）I，1（s，·）L(Ohm;L）ds-Zt公司xI，h（z）（s，·），I[0，1]×R（·）I，1（s，·）L(Ohm;L）ds+ZtxI，h（z）（s，·），I，1（s，·）L(Ohm;L0，w）ds-Zt公司xI，h（z）（s，·），xI，1（s，·）L(Ohm;L0，w）ds，（5.5）对于某些正常数和M。

然后，用引理5.5表示，我们得到i，g（z）=Jg·u，和xI，g（z）=Jg·ux，对于任何f函数g，通过使用该引理，上述两个量可以在L中收敛[0，t]×Ohm;L0，wtoJg·u（s，x，v）=gQ-1（v）qQ-1（v）us、 x，Q-1（v）andJg·ux（s，x，v）=gQ-1（v）qQ-1（v）用户体验s、 x，Q-1（v）分别为-→ 0+，前提是最后一个属于空间L[0，t]×Ohm;L0，w.为了验证最后一个，我们使用转换v-→ Q（v）（Q的范围为clearlyR）到computekJg·ukLw（x）（[0，t]×Ohm×R+×R）=中兴通讯ZR+ZRw（x）g（y）q（y）u（s，x，y）dvdxds（5.6）和kjg·uxkLw（x）（[0，t]×Ohm×R+×R）=中兴通讯ZR+ZRw（x）g（y）q（y）ux（s，x，y）dvdxds（5.7），其中第一个始终是有限的，因为（5.5）中与非导数项配对的所有函数g都有多项式增长，第二个也是如此，因为（5.5）中与导数项配对的所有g都有界。现在回顾内积是连续的，我们推断（5.5）的RHS中的所有项都收敛为-→ 0+，因此（5.5）的RHS以为界。最后一个允许我们对（5.5）的LHS中的y导数项应用引理5.6，并推导出vJu=vqQ-1（v）us、 x，Q-1（v）存在于L中[0，t]×Ohm;L0，w在这个空间里vI，1=vJu，-→vJuas-→ 0+. 如果紧随其后，那么弱导数yu（s，x，y）存在，并且通过使用乘积规则和不等式（a-（b）≤ 我们可以得到中兴通讯ZR+ZRuy（s，x，y）dydxds=中兴通讯ZR+ZRqQ-1（v）uy公司s、 x，Q-1（v）dvdxds=中兴通讯“ZR+ZRq-1.Q-1（v）vus、 x，Q-1（v）dvdx#ds≤ 2ZtZR+ZRE“q-3.Q-1（v）vqQ-1（v）us、 x，Q-1（v）#dvdxds+2ZtZR+ZREhq-1.Q-1（v）q′Q-1（v）us、 x，Q-1（v）idvdxds。自从vJu=vqQ-1（v）us、 x，Q-1（v）∈ L[0，t]×Ohm;L0，w, 最后的RHS，因此我们最终获得uy∈ L[0，T]×Ohm;L0，w.重新标记5.8。

与CIR波动率情况（见[11]中的备注5.7）一样，ρ的选择灵活性允许我们将结果扩展到特殊噪声具有非零相关性的情况w。6解的唯一性前面的章节已经建立了一类由大型投资组合的随机波动率模型产生的偏微分方程的存在性和正则性结果。现在，我们想研究对于给定的初始数据，SPDE的解决方案是否是唯一的。在定理5.3的假设下，我们能够证明问题（定义5.1）解的唯一性。因此，在本节中，我们再次假设我们的SPDE（4.9）中的函数q满足假设3.1的条件，该函数驱动相应大型投资组合模型中资产价格的波动率。正如我们在备注3中提到的，这些函数是正光滑函数，其行为几乎类似于大x的正常数，最简单的例子是常数函数，其对应于具有Ornstein-Uhlenbeckvolatility过程的模型。此外，我们需要假设（4.9）的系数满足条件|ρ- ξρρρ| ≤ ξq1- ρq1- ρ、 （6.1）当SPDE从大型投资组合模型中产生时，这一点总是令人满意的（即使在特殊噪声相关的情况下，注释5.8）。为了证明我们的独特性，我们回顾vJu=vqQ-1（v）us、 x，Q-1（v）存在于L中[0，t]×Ohm;L0，w在这个空间里vI，1=vJu，-→vJuas-→ 0+，如定理5.3的证明所示。

立即采取行动-→ 在引理5.7的一致性上，利用上述收敛性以及引理5.5和Linner积的连续性，我们发现Zr+ZRw（x）EqQ-1（v）ut、 x，Q-1（v）dxdv=ZR+ZRw（x）EqQ-1（v）Ux、 Q-1（v）dxdv+RZTZZERqQ-1（v）ut、 x，Q-1（v）DXDVD+ZtZR+ZRw（x）Eh类Q-1（v）qQ-1（v）us、 x，Q-1（v）x×qQ-1（v）us、 x，Q-1（v）DXDVD+2kθZtZR+ZRw（x）EQ′Q-1（v）qQ-1（v）us、 x，Q-1（v）×qQ-1（v）us、 x，Q-1（v）vDXDVD-ξZtZR+ZRw（x）Eq′Q-1（v）qQ-1（v）us、 x，Q-1（v）×qQ-1（v）us、 x，Q-1（v）vDXDVD-2kZtZR+ZRw（x）EvQ′Q-1（v）qQ-1（v）us、 x，Q-1（v）×qQ-1（v）us、 x，Q-1（v）vDXDVD-ZtZZRE公司h类Q-1（v）qQ-1（v）us、 x，Q-1（v）x×qQ-1（v）us、 x，Q-1（v）DXDVD-ZtZR+ZRw（x）Eh类Q-1（v）qQ-1（v）us、 x，Q-1（v）x×qQ-1（v）us、 x，Q-1（v）x个DXDVD+ρZtZR+ZRw（x）×Ehh类Q-1（v）qQ-1（v）us、 x，Q-1（v）x个idxdvds-ξ1.- ρZtZR+ZRw（x）×EhqQ-1（v）us、 x，Q-1（v）vidxdvds-2 (ρ - ξρρ）ZtZR+ZRw（x）×Eh类Q-1（v）qQ-1（v）us、 x，Q-1（v）x×qQ-1（v）us、 x，Q-1（v）vDXDVD。（6.2）由于我们的SPDE是线性的，并且具有相同初始数据的两个解的差异是具有零初始数据的解，唯一性问题被简化为表明，当u=0时，上述恒等式意味着u在这里处处消失。要做到这一点，首先要注意，如果我们固定了一个T>0并计算了f或T∈ [0，T]，通过使用Girsanov定理，我们可以将W·转化为任何漂移r<0的漂移布朗运动。