具有一般均值回复的大型投资组合的随机偏微分方程

第5节致力于获得随机初边值问题的高正则f或s解以及一些相关引理，第6节我们建立了解的关键唯一性。最后，我们有一个附录，其中我们证明了第2节和第3节的结果以及第5节的引理，因为本文的主要贡献主要体现在第4节，它说明了在这种情况下如何处理相关系统噪声的情况，在第5节的主要结果的顶部，第4节的结果显然正是我们所需要的，在包含唯一性结果的第6节中。2经验测量过程的收敛性和限制SPD为了说明我们的收敛结果，我们需要首先更详细地描述我们的设置。让(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P）是一个完整的分级概率s空间，可分解为三个独立概率空间的乘积，表示三个不同的随机性源，如下所示(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P）=(Ohm× Ohm× OhmC、 F级 F FC，{Ft 英尺 FC}t≥0，P×P×PC），（2.1），其中s标准布朗运动在完全过滤概率空间上定义(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P），适用于过滤{Ft}t≥0，与dWt·dBt=ρdt相关，而{（W，B），（W，B），…}是在完全过滤概率空间上定义的成对独立标准布朗运动的有限序列(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P），并适应过滤{Ft}t≥0，最后Ci=（ki，θi，ξi，ri，ρ1，i，ρ2，i）表示i∈ N是定义在完全概率空间上的i.i.d 6维随机向量(OhmC、 FC，PC），这样PC-几乎可以肯定我们有ρ1，i，ρ2，i∈ (-1, 1), 我∈ N、 假设所有过滤都是完全连续的。

接下来，我们假设x、 σ,x、 σ, ...是二维随机向量的可交换有限序列，可测量σ-代数F=F F FC。交换性条件意味着F中存在一个σ-代数G，这使得上述二维arei。i、 d给定G（例如，见[2]），在不丧失一般性的情况下，我们可以假设G=G{, Ohm}{, OhmC} ，对于一些G F、 最后一点很清楚Ohm使r和dom向量相对于F是可测量的{, Ohm} {, Ohm},但考虑到ing对Ohm×Ohm如果我们决定在t>0时重新启动系统，那么将它们定义为与较大σ-代数相关的二维随机变量可以提供一定的一致性。在上述假设下，对于每个N∈ N、 我们考虑由方程（1.2）描述的相互作用粒子系统以及相应的经验测量过程和vN，它们分别由方程（1.3）和（1.4）定义。我们还通过vN2定义了流程vNt：=vNt-vN1，t，对所有t的vNtto{0}×R的限制≥ 0、【11】中还对CIR波动率情况定义了这些量，并且不难检查【11】第2节中的所有收敛定理证明是否不依赖于波动率过程满足的形式，只要这些过程是连续的，SDE的强解。此外，σ-代数G There扮演着σ-代数Ghere的角色，它可以分解为G=G{, Ohm}{, OhmC} 。因此，工作给定与工作给定相同，在一般随机波动率设置下，我们可以得到[11]第2节的收敛结果，如下：定理2.1。

对于每个N∈ N和任意t，s≥ 0，考虑vn3，t，s=NNXi=1δXit，σit，σis给出的随机测度。对于所有t，s，序列vN3，t，sof三维经验测度弱收敛到某个测度v3，t，sfo≥ 0，P-几乎可以肯定。此外，测度值过程{v3，t，s:t，s≥ 在弱拓扑下，0}在t和s上几乎肯定是P-连续的。推论2.2。（1.3）给出的二维经验测度序列vNtof弱收敛于所有t的某个测度Vttof≥ 0，P-几乎可以肯定。此外，路径{vt:t≥ 在弱拓扑下，0}是P-几乎肯定连续的。测量值过程vt是v3，t，对第三个变量中的函数空间的限制，对于任何t≥ 0、定理2.3。存在一个Ohm′ Ohm 带P(Ohm′) = 1使得对于任何ω∈ Ohm′, 我们有RRFDv3，t，s=EfXt，σt，σs|W、 ，B.，G对于任何t，s≥ 0和任意f∈ Cb（R；R）。推论2.4。设{vt:t≥ 0}是推论2.2中定义的度量值过程。存在一个Ohm′ Ohm 带P(Ohm′) = 1使得对于任何ω∈ Ohm′, 我们有RRFDVT=EfXt，σt|W、 ，B.，G对于任何t≥ 0和任何f∈ Cb公司RR.定理2.5。存在一个度量值过程{v2，t:t≥ 0}和Ohm′′ Ohm′withP公司(Ohm′′) = 1，对于任何ω∈ Ohm′′我们有vN2，tN-→+∞------→ v2，适用于所有t≥ 此外，我们有RRFDv2，t=EfXt，σtI{T<T}| W.，B.，G对于所有t≥ 0和所有f∈ Cb公司RR.根据推论2.2和定理2.5，我们得到弱收敛vN1，t=vNt-vN2，t-→及物动词- v2，t=：v1，t，适用于所有t≥ 0，P-几乎可以肯定。此外，根据推论2.4和定理2.5，我们可以写出tzrfdv1，t=EfXt，σtI{T>T}| W·，B·，G= EEfXt，σtI{T>T}| W·，B·，C，G|W·，B·，G,对于任何f∈ Cb公司RR和t≥ 0，P-几乎可以肯定。

还要注意，条件期望W·，B·，G定义在成分概率空间上(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P），而条件期望W·，B·，C，G确定产品空间(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P）×(OhmC、 FC、PC）。因此，下一步是研究vt，C（·）定义为vt，C（·）=P的测量过程Xt，σt∈ ·, T> T | W·、B·、C、G,论产品空间(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P）×(OhmC、 FC、PC）。然而，通过定义ωC∈OhmC=C时研究vt，C（·）ωC, 我们将这个问题简化为所有系数向量都等于确定性向量C=（k，θ，ξ，r，ρ，ρ）的情况。这个度量值过程的行为，我们用vt（·）（隐式抑制）表示，在下面的定理中给出，其证明遵循与[11]和d中定理2.6的证明完全相同的步骤，可以在附录中找到。定理2.6。设A为映射任意光滑函数f的二维微分算子：R+×R→ R toAf（x，y）=r-h（y）fx（x，y）+k（θ- y） fy（x，y）+h（y）fxx（x，y）+ξq（y）fy（x，y）+ξρρh（y）q（y）fxy（x，y）（对于所有（x，y）∈ R+×R。然后，定义了测度值随机过程vt（·）(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P）满足以下弱形式SPDEZRf（x，y）dvt（x，y）=ZRf（x，y）dv（x，y）+ZtZRAf（x，y）dvs（x，y）ds+ρzrh（y）fx（x，y）dvs（x，y）dWs+ρξZtZRq（y）fy（x，y）dvs（x，y）dBs，对于所有t≥ 0和任意f∈ Ctest测试=g级∈ Cb（R+×R）：g（0，y）=0，y∈ R.3【11】中的挥发度分析，在展示了经验测量过程对SPDE概率解的收敛性之后，我们通过遵循类似方法，证明了该解存在正则密度。

因此，我们的第一步是证明，对于溶液的挥发性成分，几乎可以肯定存在一个规则密度P，即一维分布值过程，其在时间t的值映射任何合适的函数f:R-→ Rto Ef（σt）| B·，G, 其中σ是由B·和B·共同驱动的一般均值回复波动过程，即满足dσt=k（θ）的过程- σt）dt+ξq（σt）q1-ρdBt+ξq（σt）ρdBt，t≥ 0（3.1），对于某些合适的函数q，σ是F×F-可测的。关于q的假设如下：假设3.1。函数q b延伸到空间C（R），位于上方，严格远离0，并已绑定到O|x个|（因为参数x趋于±∞) 三阶导数。重新标记3.2。满足假设3.1的函数类q显然包含与正常数相同的所有函数，这使得该定理适用于Ornstein-Uhlenbeck波动率设置。然而，它实际上是一个更大的类，它包含所有的正C函数，其行为几乎像大x的正常数。我们也可以在（0+∞), 这可以用来获得CIR模型的有效近似值，我们无法获得[11，12]中的每个od结果。如果我们假设ρ∈ (-下一个定理定理3.3给出了我们问题的答案。假设q满足假设3.1，σ是Lp中的随机变量Ohm, F、 P对于所有p≥ 那么P-几乎可以肯定，条件概率测度P（σt∈ A | B·，G），A R具有连续密度pt（y | B·，G），y∈ R表示所有t>0。

此外，对于任何T>0，如果我们定义（T）：=ess supy∈R、 ω∈Ohmpt（y | B·，G）ω,和alsoMαB·，G（t）：=supy∈R|y |αpt（y | B·，G）,对于所有0≤ t型≤ T和任意α≥ 0，我们都有M∈ L（[0，T]）和MαB·，G∈有限合伙人Ohm×【0，T】对于任何1≤ p＜2。注意，对于每个t，M（t）是给定密度B的一个确定界限，这是我们在[11，12]中获得的波动率密度界限所没有的，正如我们已经提到的，这将在获得所需结果中起决定性作用。上述定理的基础是一些涉及Malliavin可微性概念的结果，可在附录中找到。关于Malliavin演算的基础知识，我们参考文献[24]，关于应用于条件概率测度的partialMalliavin演算的扩展，我们参考文献[25]。在本节中，我们在条件概率测度e P（·| B·，G）下工作，这意味着部分Malliavin演算是证明我们结果的自然工具。然而，不难看出，在我们的设置中，我们几乎可以确定P-xω∈ Ohm, 和工作底架（σt∈ ·|B·，G）=P（{ω∈ Ohm: σt（ω，ω）∈ ·}) 对于给定的ω，其中可以对布朗运动B·使用普通Malliavin演算。

对于B·的任何连续路径，不难检查相对于B·的Malliavin导数是否与[25]意义上的部分Malliavin导数一致，而随机子空间K（ω）是由Br的Malliavin导数生成的空间的正交补B·，B·, 对于r∈ Q+。4二维密度和初始边值问题我们现在开始证明满足定理2.6中给出的SPDE的全二维分布值过程VT存在正则密度。首先，给定一个希尔伯特空间H，我们用L表示Ohm, F、 P×[0，T]；H概率空间中定义的H值随机过程空间Ohm, F、 P它是可积的，适用于二维布朗运动（W·，B·）。我们将使用[11]中的定理4.1和[12]中的引理E2.2，我们将在函数空间SLα=L中工作Ohm, F、 P×[0，T]；L | y |αR+×R对于α≥ 0和H=LOhm, F、 P×[0，T]；H0，w（x）R+×L（R）,对于w（x）=min{1，√x} [12]中也对其进行了定义。正如在该pap中一样，Lg（y）表示权重函数为{g（y）：y的加权Lspace∈ R} ，H0，g（x）（R+）表示权函数为{g（x）：x的加权H（R+）空间≥ 0}在Lnormof弱导数中，任何属于Hspace的函数u′也将满足limx→0+u′（·，x，·）L(Ohm×【0，T】×R）=0。最后一个是我们的随机初边值问题中的边界条件，因为w（·）在零附近爆炸，不允许通过跟踪算子定义该条件。此外，由于[12]中的基本结果是在ρ=0的条件下建立的，因此当波动路径依赖于ww时，具有[11]中的定理4.1也不那么重要。然而，既然允许关联Wand Bare，就需要这个扩展。这在以下定理定理4.1中给出。

设{Xt:t≥ 0}满足停止的SDEdXt公司=r-σtdt公司+√σtp1-ρdWt+√σtρdWt，0≤ t型≤ τ、 Xt=0，t≥ τ、 （4.1）对于τ=inf{t≥ 0：Xt=0}，在初始条件X=X下，其中xis是一个连续的随机变量，密度u=u（·| G）给定G σ（x）、W·和W·是成对独立的标准布朗运动，也与x、r＞0和ρ无关∈ (-1，1）是给定的常数，和{σt}t≥0是一个适应FW的进程，具有连续的路径和紧致子区间（0+∞). 设{Vt:t≥ 0}是给定b yVt（A）=P的度量值过程Xt公司∈ A、 τ≥ t | W·，G对于任何B orel se t A (0, ∞). 那么几乎可以肯定的是，对于所有T>0的情况，以下是正确的：；1、VT具有密度u（t，·）=ut、 ·；W·，G对于所有0≤ t型≤ T，这是SPDEdu（T，x）=-r-σtux（t，x）dt+σtuxx（t，x）dt-√σtρux（t，x）dWt（4.2）in LOhm, F、 P×[0，T]；H（R+）在初始条件u（0，·）=u下，其中Ui是给定G.2的x的密度。对于所有0≤ t型≤ T，以下标识保持SKU（T，·）kL（R+）+1.-ρZtσskux（s，·）kL（R+）ds=kukL（R+）。（4.3）证明（大纲）。我们将描述证明定理4.1所需的修改，以获得上述扩展。首先，我们需要从那篇论文中得到相应的引申，因为它是证明定理4.1的主要工具。这在以下lemmaLemma 4.2中给出。设W为概率空间中定义的布朗运动Ohm, 和{σt:0≤ t型≤ T}是一个正的、连续的、W适应的过程，它由一个逐点递减序列{{σmt:0}来近似≤ t型≤ T}}}m∈Nof W-自适应andL(Ohm ×[0，T]）-可积过程，每T收敛∈ [0，T]波钦L(Ohm) 对于某些全概率事件中的每个结果（与t无关）。

Forany m公司∈ N∪ {0}，用Xm表示。停止的Ito进程由dXmt=r-σmtdt+pσmtdWt，0≤ t型≤ τm，Xmt=0，t>τm，（4.4），其中τm=inf{t≥ 0:Xmt=0}，W·是标准布朗运动，初始条件为xm=maxnx- lm，xo，用于x≥ 0和lm=pσm。-pσ。L(Ohm×【0，T】）1/2次，对于序列{mk:k∈ N} N、 我们几乎可以肯定：Xmkt→ Xtuniformlyin[0，T]。上述证明与文献[11]中引理4.2的证明是相同的，因为在这里给出的扩展中进行了修改之后，所有的论证仍然有效。现在，在[11]中定理4.1的实际证明中，我们需要修改步骤1、2和3。对于步骤1，没有什么可做的，因为W适应常数过程总是确定性的。对于步骤2，我们只需要用一系列最终等于T的Wstopping时间来替换有限的d永恒时间集。然后，我们只需在（有限）归纳的每个步骤中使用强马尔可夫性质。最后，对于步骤3，我们不需要更改任何参数（即使勘误表[12]中的澄清仍然有效），但我们需要记住m=min0≤s≤T{σs}≥ c以导出unkinL的弱收敛性Ohm ×[0，T]；H（R+）, 在应用引理4.2之前，我们还需要证明近似序列的存在性。最后，我们需要一个逐点递减序列{{σmt}t∈[0，T]}m∈Nof p iecewise常数，W-自适应andL(Ohm ×[0，T]）-可积过程，可构造如下：∈N+我们定义tm=0和th entmk+1=inf{t>tmk：σtmk+m=σt}∧tmk+m∧ t对于任何k∈ N={0，1，2，…}，我们几乎可以肯定的是，对于较大的k，我们有tmk=T，否则，递增（在k中）序列tmk会有一个极限T≤ T，取σtmk+m=σtk+1k中的限值，则称为σОT=m+σОT=>m=0，矛盾。下一个定义σmt=σtmk+m，t∈tmk，tmk+1.

（4.5）对于任何k∈ N，tmk<T，这在W停止时间序列的项之间是常数，因此它也是W自适应的。最后，我们定义了σt=2C和σmt=inf0≤m′≤所有t的m▄σm′t≤ T和m∈ N+实现所需的单调性和可集成性。通过使用（4.5）和| tmk+1这一事实，不难检查最后一个过程序列是否具有所有必需的属性-tmk |≤对于所有的k和m，我们几乎可以肯定地看到（在L中(Ohm) 由支配收敛）它逐点收敛到{σt}t∈[0，T]。我们现在已经准备好证明vt正则密度的存在性，这是下面定理的主题。定理4.3。假设h是一个连续函数，取值于R+的某个紧子集。还假设，给定G，Xhas，L-可积密度u（·| G）inR+，使得Ehkw（·）（u）x（·）kL（R+）i<∞ 和EhkukL（R+）| Gi∈ Lp′Ohm对于某些p′>2。假设最终满足定理3.3中关于函数q和σ=σ的假设。然后，测度值随机过程vt有一个二维密度u=u（t，·，W·，B·，G），属于所有α的空间Lα≥ 0，以及空间H证明。设f是一个在R中紧支撑的smooth函数，使得f在y轴上消失。然后根据定理3.3，我们得到vt（f）=EfXt，σtI{T≥t} | W·，B·，G= EEfXt，σtI{T≥t} | W·，σt，B·，G|W·，B·，G=ZRE公司fXt，yI{T≥t} | W·，σt=y，B·，Gpt公司y | B·，Gdy.（4.6）接下来我们有fXt，yI{T≥t} | W·，σt=y，B·，G= EEfXt，yI{T≥t} | W·，σ。，G|W·，σt=y，B·，G= EZR+f（x，y）ut、 x，W·，G，h（σ）dx | W·，σt=y，B·，G=ZR+f（x，y）Eut、 x，W·，G，h（σ）|W·，σt=y，B·，Gdx，（4.7），其中ut、 x，W·，G，h（σ）是LOhm, F、 P×[0，T]；H（R+）当挥发性路径为h（σ）时，由定理4.1给出的密度。