估计矩的信息性

这使得V[β+βx1，i+βx2，i]=1，P（yi=1）=0.66。我们考虑了θ=（β，β，β）的基于矩的估计量的渐近分布，其中我们使用了六个矩来解^θ=arg minθg（θ）′W g（θE[E（θ）]E[E（θ）x]E[E（θ）x]E[E（θ）x]E[E（θ）xx]E[E（θ）x]′ei（θ）=yi- Φ（β+βx1，i+βx2，i）。在相应的logit模型中，前三个矩对应于m最大似然估计的一阶条件。虽然它们在形式上有所不同，但logit和probit模型非常相似。因此，我们预计前三个时刻是关于θ的信息量最大的时刻。此外，我们预计第一个时刻对测定gbβ最重要，第二个和第三个时刻分别对测定Bβ和Bβ最重要。表1显示了使用最佳加权矩阵的结果，表2显示了使用对角线上矩方差的倒数的对角线加权矩阵的结果。我们认为后者是有效加权矩阵的实用替代方案。从表1可以清楚地看出，前三个时刻确实分别是关于β、β和β的信息量最大的时刻。如上所述，这是意料之中的，因为这些时刻将是logit模型最大似然估计的一阶条件。我们通过使用模拟观测值对期望值进行Mont e Carlo模拟来说明所提出的敏感性度量。Min表1最后三列中的元素远小于前三列中的元素。这表明，与前三个矩的误判相比，最优GMM估计量对前三个矩的误判的敏感性要低得多。原因是前三个时刻几乎得到了所有的权重（在相应的logitmodel中，它们实际上得到了所有的权重）。正如预期的那样，这在表2中不太明显。

Ein表1和表2的值证实，θ的有效GMM估计量由前三个矩驱动。将噪声添加到最后三个矩基本上不会影响θ的最优GMM估计的精度，而将噪声添加到第一个元素可能会产生很大的影响。Ein表2的值表明，非最优GMM估计器的精度对最后三个时刻的噪声不太敏感（因为它们的权重相对较小），而对在前三个时刻添加噪声更敏感（因为它们的权重相对较大）。接下来，EAN和e建议，例如，忽略二阶矩将使β的有效和无效GMM估计量的渐近方差增加约400%。这证实了E[ex]是精确估计β的工具。表1的最终测量结果为0（按结构）。由于我们使用加权矩阵th来最小化θ的每个元素的估计量的方差，方差相对于加权矩阵元素的导数必须为0。表2显示，在这种情况下，对角线加权矩阵与对角线上的矩方差的倒数对前三个矩的权重太小。3.2示例2：持续时间模型之所以选择第3.1节中的概率示例，是因为在这个示例中，我们对哪些时刻对应于什么参数有很好的先验直觉。现在我们来看一个例子，这个例子不太明显。考虑一个过程T，它遵循一个混合比例风险模型，该模型具有时变协变量和威布尔作为基线危险h（T）=αTα-1expx′（t）βη、 Ein表1和表2仅因模拟误差而不同。其中，α是表示持续时间依赖性的尺度参数，x′（t）β是时变解释变量的影响。

二维时变解释变量集的一个例子可以是x（t）=（x1,1，x2,1）如果t<t（x1,2，x2,2）如果t≤ t型≤ t、 。。。。。。（x1，k，x2，k）如果tk-1.≤ t、 最后，ηcap发现了未观察到的异质性。除力矩假设外，未对η的分布进行假设。然后我们得到T的生存函数，S（T | x（·），η）=exp-ηZtαsα-1expx′（s）βds公司.正弦（T | x（·），η）~ U（0，1），我们有ηZTαsα-1expx′（s）βds公司~ Exp（1），以x（·）为条件，ηorlogZTαsα-1expx′（s）βds公司~ 日志（Exp（1））- 对数（η），以x（·）为条件，η。（2） 这里，Exp（1）表示平均值为1的指数分布随机变量，并且-log（Exp（1））遵循标准的Gumbel分布，带有E[-log（Exp（1））]=γ≈ 0.57721（欧拉常数）和V[-log（Exp（1））]=π/6。方程式（2）给出了E型力矩条件日志ZTαsα-1expx′（s）βds公司+ γ - βψ（x（·））= 0（3）对于协变量的函数，ψ。这里，β表示-对数（η）假设为有限。当x（t）是时不变的时，（2）变慢Tαexpx′β~ 日志（Exp（1））- 对数（η）或对数（T）=-x′（β/α）+“误差”。换言之，对于时不变协变量，（3）所暗示的矩不能识别（β，α），而只能识别β/α。事实证明，可以通过其他方法估计α（例如，见Honor\'e（1990）），但不可能在通常情况下估计（β，α√氮含量（见Hahn（1994））。这使得研究（β，α）的估计精度如何依赖于（3）中的各种矩变得有趣，因为x确实包含时变协变量。我们考虑一个具有一个时不变和一个时变协变量的数据生成过程。具体而言，x（s）=（x（s），x（s）），其中x（s）=（x，x）表示s≤ 1（x，x）表示1<s≤ 2（x，x）表示2<开关x=Z，x=Z，x=（x+Z）/√2和x=（x+Z）/√2、Zthrough Zfollowstandard正态分布。

异质性项η遵循对数正态分布，其中基本正态分布的均值为0，方差为1/2。η与x（·）无关。最后，β=-1, 1/√2, 1/√′α=2。这样，平均持续时间约为1.3，约38%的持续时间小于1，29%的持续时间大于2。之所以选择这种设计，是因为它是一个简单的例子，具有相当大的未观察到的异质性和时间依赖性，并且我们预计时变协变量可能会产生影响。该设计并不是为了模仿任何现实的经验例子。我们再次考虑θ=（β/α，β/α，β/α，α）的基于矩的估计器解^θ=arg minθg（θ）′W g（θ），其中我们使用（3）给出的五个矩，其中ψ（x（·））=（1，x，x，x，x）。表3和表4给出了灵敏度测量值。在本设计中，真实参数值处的前两个力矩的导数分别相对于θ和θ为非零。对于其他p参数，导数为0。这意味着当我们排除前两个矩中的任何一个时，G变得奇异。这解释了表3和表4中EandEin的极端条目。敏感性指标其余部分得出的结论相当一致。最有趣的是，基于时变协变量形成的矩有助于识别α，而基于时不变协变量的矩则没有。这正是上述讨论所预测的。有趣的是，第一时刻对α也很重要。这大概是因为这一时刻决定了未观察到的异质性（对数）平均值的估计。众所周知，在持续时间文献中，未观察到的异质性与持续时间依赖性很难区分。

因此，我们并不认为这令人惊讶。4应用：联合退休计划在本节中，我们将提出的敏感性措施应用于双职工夫妇联合退休计划的一个极其简单的结构模型。4.1数据和机构设置我们使用英国家庭小组调查（BHPS），这是一个由18个波组成的完整小组，从1991年到2009年收集。在BHP的第11波和第16波中，每个成年家庭成员都会被问到，“即使离退休还有一段时间，你预计你会在多大年龄退休？”我们用它来衡量每个配偶的主观退休计划。根据访谈时的年龄和预期退休年龄，我们可以计算每个家庭成员的预期退休年，并用它来调查联合退休计划。除了退休计划外，我们还使用BHP中关于年度劳动力市场收入、全科医生就诊次数、对未来健康的主观预期的信息。第11波中的确切表述略有不同：“你预计在多大年龄退休/你会考虑退休吗？”身份、雇主提供的养老金计划（EPP）的资格，以及个人是否将其收入存入私人养老金计划（PP P）。最后，如果个人完成了高等教育的第一或第二阶段（ISCED co des 5或6），我们将其定义为高技能。我们使用由两名已婚或同居的异性家庭成员组成的家庭信息，这些家庭成员符合以下样本选择标准：i）两名成员在接受采访时都在40至59岁之间，ii）至少有一名成员在接受采访时没有退休，以及iii）对于至少一名在面谈时未退休的成员，在50至70岁的年龄范围内遵守退休计划。

如果hous ehold在两种波（11和16）中都满足标准，我们将在分析中使用这两种调查结果。我们把每个家庭成员称为丈夫或妻子，虽然我们也包括夫妻同居但不一定结婚的家庭。国家养老金年龄（SPA）英国的国家养老金年龄（SPA）是个人有资格从ZF领取国家养老金的年龄。达到SPA并为该方案捐款多年的个人有资格每周接受一次转移，无需进行经济状况测试。2009年，周利率约为95英镑。参见Bozio、Crawford和Tetlow（2010）、Blundell、Meghir和Smith（2004）以及Cribb、Emmerson和Tetlow（2013）对英国养老金制度的出色描述。在1995年《养老金法案》实施之前，SPA为男性65人，女性60人。1995年《养老金法案》增加了1950年4月6日以后出生的女性的养老金。虽然男性SPA不受影响，但女性SPA每月逐渐增加一个月（到出生日），直到1955年（包括1955年）以后的队列中女性SPA达到65。有关改革的全面讨论，请参见Thurley和Keen（2017）。由于这可能会影响个人期望，我们的建模框架明确指出，EPP包括已定义和贡献的效益（DB和CB）计划，我们无法区分它们。然而，Blundell、Meghir和Smith（2004）表明，DB计划在此期间在英国最为常见。在BHP（11和16）掀起相关浪潮后，《2007年养老金法案》进一步增加了男性和女性的SPA。

由于受访者在这项改革通过之前接受了采访（mostinterviews不迟于2006年完成），我们从这项改革和其他后续改革中提取了一些信息。考虑到1995年养老金法案对退休计划的影响。描述性统计表5报告了我们使用的变量的描述性统计数据。所有统计数据都是基于访谈时两位成员都没有退休的家庭，这大约占我们样本的97%。估计样本中的丈夫比妻子大约1.5岁，计划比妻子晚退休两年（平均63岁），计划退休年的平均差异约为0.83年。应根据男性的SPA为65这一事实来看待这种差异，而在我们的样本中，大多数女性的SPA实际上较低，而1950年之前出生的女性的SPA则低至60。为了说明同步退休计划，图1显示了丈夫和妻子在计划退休年份的差异分布。左图显示了丈夫比妻子至少2岁的无条件分配和右面板条件。年零分左右的峰值表明了联合退休计划，零分左右的数量可能是由于男性年龄大于女性，以及女性的SPA水平较低。在右图中，当丈夫比妻子大至少2岁时，我们看到大量的体重为0（同一计划退休年）；我们现在还看到-2（相同的计划退休年龄）。表5还显示，大约16%和14%的男性和女性分别被归类为高技能人群，我们发现男性就诊的机会远少于女性。然而，有趣的是，男性更可能期望自己的健康在未来恶化。

丈夫s的劳动收入约为25000英镑，而妻子的平均收入约为14000英镑。只有约13%的妻子和28%的丈夫缴纳了私人养老金（PPP），而约47%的妻子和51%的丈夫有资格享受某种职业退休计划（EPP）。4.2双职工家庭退休计划模型在本节中，我们制定了Honore和de Paula（2018）提出的连续时间双变量持续时间模型的离散时间版本。具体而言，我们将退休和工作之间的效用流差异参数化。效用最大化为夫妻共同退休计划提供了一个可估计的模型。首先考虑丈夫。我们指定了与工作asUh（t，tw）=x′hβh+δh（t）+γ1{Ch（t）相比，在t期间退役的效用差异≥Cw（tw）}+εh，其中Ch（t）是日历时间e，twi是妻子的退休年龄，Cw（tw）因此是妻子计划退休的日历时间。我们解释了术语γ1{C（t）≥C（tw）}作为一种效用外部性，如果妻子当时也计划退休，那么丈夫可以享受计划退休后更高的效用流。我们将计划退休年龄函数δh（t）参数化为t的线性趋势加指标函数≥ 55，t≥ 60和t≥ 65、下图2所示的组图表明，这些在经验上是重要的。我们将前两项解释为反映社会规范或堆积，而第三项也反映了SPA formen是65岁的事实。同样，妻子的效用流差异为uw（t，th）=x′wβw+δw（t）+γ1{Cw（t）≥Ch（th）}+α1{tw≥SP Aw}+εw。我们再次将函数δw（t）参数化为t的线性趋势加指示函数≥ 55，t≥ 60和t≥ 65、α1{tw≥SP Aw}反映了一种观点，即对于女性而言，SPA中存在上述变化。

这使得人们可以从反映堆积或机构特征（如提前退休和法定退休年龄）的总结中，分别推断SPA的影响，分别为55岁、60岁和65岁。为了关闭模型，我们假设（εh，εw）是均值为零和协方差矩阵的联合正态wOhm, 什么是对角线元素Ohm captur可能与家庭的退休偏好相关。我们还假设r etirement是吸收态。当退休与工作的年龄差异越来越大时，这并不是一个必然的限制，因为个人一旦退休就不想重新进入劳动力市场。如果丈夫和妻子计划在rh和rw岁退休，他们的折扣个人效用是VH（rh，rw）=TmaxXt=rhρt-Agehh（t，rw）对于年龄为agehandVw（rw，rh）=TmaxXt=rwρt的丈夫-agewUw（t，rh），适用于年龄为agew的妻子。最后，确定了hou sehold的最优退休计划，其中a（·，·）是一个家庭聚合器。对于估算，我们从Honore\'e和de Paula（2018）的纳什谈判环境中选择A（Vh，Vw）=Vh+λVwas，或者更一般地，从Browning、Ch iappori和Weiss（2014）调查的集合模型框架中选择A（Vh，Vw）=Vh+λVwas。很明显，为了估计模型，需要进行两次尺度归一化。首先，A的尺度无法确定，因此我们将εhto的方差标准化为σh=1。其次，λ的唯一影响是重新缩放Vw中的所有参数。因此，我们规范化λ=1。该模型是效果单一的。我们的参数化受有序probit模型的启发。想想丈夫。如果γ=0（因此不存在效用外部性）且δhis增加，则效用最大值将导致首次计划退休x′hβh+δh（t）+εh>0。

在其他国家，选择的计划退休年龄令人满意-δh（Rh）<x′hβh+εh≤ -δh（Rh- 1） ，这正是有序概率模型。从这个意义上说，所提出的模型是有序probit模型在两个结果同时存在的双变量情况下的推广。4.3间接推断估计我们通过间接推断估计模型的参数向量θ=（γ，α，βh，βw，δh，δw，σw，σhw），^θ=arg minθ∈Θg（θ）′W g（θ）。例如，见Smith（1993）和Gouri'eroux、Monfort和Renault（1993）。虽然我们使用WaldCriteria函数，但也可以使用其他度量（例如，似然比或拉格朗日乘数）进行间接推断。见Smith（2008）。加权矩阵W与对角线中矩的方差的倒数成对角线。g（θ）是数据中统计/矩与基于模拟数据的固有矩之间差异的K×1向量。对于每一对i，我们通过从联合正态分布中绘制出tasteshock的Ssimvectorsεi={ε（s）i，h，ε（s）i，w}Ssims=1来模拟综合退休计划，并计算所有退休年龄组合的值sv（s）i（rh，rw）=Vh（rh，rw | xi，ε（s）i，h，ε（s）i，w）+λVw（rw，rh | xi，ε（s）i，h，ε（s）i，w），其中按（？）计算和（？？）。然后，我们找到在给定θ值下使效用最大化的模拟基准年龄，（R（s）i，h（θ），R（s）i，w（θ））=arg maxrh，rwV（s）i（rh，rw）。为了估计模型参数，我们使用四组辅助模型/矩，原子数K=52个元素，单位为g（θ）。我们在补充材料中详细描述了这些力矩的构造，仅在此处列出：1。OLS系数来自计划退休年龄的个人回归和配偶协变量xi，hand xi，W与妻子出生队列的指标1{1950<cohortw，i≤ 1954年}和1{1955年≤ cohortw，我}。2.