期权的算法做市

附录A.1对基础资产的最佳头寸及其对我们问题的影响进行了研究。在下文中，我们表示为(t） t型∈[0，T] 投资组合的：t： =NXi=1所有t的SOi（t，St，νt）QIT∈ [0，T]。现金流程的结果动态（Xt）t∈做市商的[0，T]为：dXt：=NXi=1锆*+zδi，bt（z）Ni，b（dt，dz）+δi，at（z）Ni，a（dt，dz）- Oitdqit公司+ 标准t+d, St、 我们用（Vt）t表示∈[0，T]做市商投资组合（现金、股票和期权）的按市值计价（MtM）值的过程，即Vt：=Xt- tSt+NXi=1qitOit。该过程的动力学由DVT=dXt给出- 标准t型- tdSt公司- d, St+NXi=1 ITDQIT+NXi=1 QIT=NXi=1 ZR*+zδi，bt（z）Ni，b（dt，dz）+δi，at（z）Ni，a（dt，dz）+ qitdOit！- tdSt=NXi=1ZR*+zδi，at（z）Ni，a（dt，dz）+δi，bt（z）Ni，b（dt，dz）+qit公司νOi（t，St，νt）aP（t，νt）- aQ（t，νt）dt公司+√νtξqitνOi（t，St，νt）dWνt！。就我而言∈ {1，…，N}，第i个选项的织女星定义为：√νOi（t，St，νt）=2√νtνOi（t，St，νt）表示所有t∈ [0，T]。因此，我们可以将投资组合的动态改写为DVT=NXi=1ZR*+zδi，bt（z）Ni，bt（dt，dz）+δi，at（z）Ni，at（dt，dz）+ qitVitaP（t，νt）- aQ（t，νt）√νtdt+ξqitVitdWνt！。根据有关造市的学术文献，我们可以考虑两个目标函数。正如在最初的Avellaneda和Stoikov设置中[1]（另见[11、12、14]），我们可以考虑以下预期效用目标函数：supδ∈AE- 经验值- γVT,其中γ>0是做市商的风险规避参数。

相反，正如【5、6、7】中所述，我们可以考虑目标函数的风险调整预期，即supδ∈AE及物动词-γZTNXi=1ξqitVit！dt公司.我们案例中的第二个目标函数writessupδ∈AEZT公司NXi=1Xj=a，bZR*+zδi，jt（z）∧i，j（δi，jt（z））1{qt--ψ（j）zei∈Q} ui，j（dz）+ qitVitaP（t，νt）- aQ（t，νt）√νtdt公司-γξZTNXi=1qitVit！dt公司, （2） 式中ψ（j）：=+1如果j=a-1如果j=b。这两个目标函数在实践中彼此接近。盖恩特在[12]中指出，他们在实际例子中给出了类似的最优报价。此外，在许多情况下，具有指数效用函数的预期效用框架可以减少到预期PnL减去上述形式的二次惩罚的最大化，直到强度函数发生变化（见[20]）。在下文中，我们考虑第二个框架。因此，我们定义了价值函数u：t、 S，ν，q∈ [0，T]×R+×Q 7→ ut、 S，ν，q与（2）asu关联t、 S，ν，q= sup（δs）s∈[t，t]∈AtE（t，S，ν，q）ZTtNXi=1Xj=a，bZR*+zδi，js（z）∧i，j（δi，js（z））1{qs--ψ（j）zei∈Q} ui，j（dz）+ qisVisaP（s，νs）- aQ（s，νs）√νsds公司-γξZTtNXi=1qisVis！ds公司,式中，Atis是容许控制集（F-可预测R2N值映射，从下方以δ为界∞)定义于【t，t】。2.3假设和近似上述随机最优控制问题可以使用类似于[12]的方法从理论角度解决。然而，当涉及到近似做市商应该为N个期权设定的最优报价时，经典的数值方法没有帮助，因为值函数u有N+2个变量（除了时间变量）。为了克服维度诅咒，我们提出了一种基于以下假设/近似的方法：假设1。我们通过时间T=0时的值来近似每个选项在[0，T]上的织女星，命名为Vit=Vi=：Vi∈ R、 就我而言∈ {1, . . .

，N}。假设2。我们假设授权库存集与vega风险限额相关，即=q∈ 注册护士NXi=1qiVi∈-五、 五,其中V∈ R*+是做市商的织女星风险限额。如果T不太大，第一个假设是可以接受的。这实际上提出了T的合理值这一深层次的问题，因为优化问题的范围没有自然的选择。在实践中，T必须足够大，以允许在许多期权中进行多笔交易，并且必须足够小，以使恒定的vegaapproximation具有相关性（并且小于期权的到期日）。同样值得注意的是，尽管时间不一致，但可以在短时间内使用模型的输出（使用恒定的vega近似），然后使用更新的vegas再次运行模型。在线估计参数时，这是appliedoptimal控制中的经典做法。第二个假设表明，风险限额与风险的唯一来源有关（因为投资组合是对冲）。这是一个自然的假设。唯一的缺点是无法将风险限额设置为单个选项。3问题的近似解决方案3.1变量的变化：克服维度诅咒在上述假设下，N+2状态变量只能替换为两个：瞬时变量和投资组合的vega。

该投资组合由Vπt定义：=PNi=1qitVi，具有以下动态：dVπt=NXi=1ZR*+zViNi，b（dt，dz）- Ni，a（dt，dz）.很明显，价值函数可以验证（t，S，ν，q∈ [0，T]×R+×Q，u（T，S，ν，Q= vt，ν，NXi=1qiVi！，式中，V（t，ν，Vπ）=sup（δs）s∈[t，t]∈AtE（t，ν，Vπ）ZTt公司NXi=1Xj=a，bZR*+zδi，js（z）∧i，j（δi，js（z））1{Vπs-ψ（j）zVi|≤五} ui，j（dz）+VπsaP（s，νs）- aQ（s，νs）√νs-γξVπsds公司.（3） 因为（νt，Vπt）t∈[0，T]是一个马尔可夫过程，在上述两个假设下，该问题归结为一个低维最优控制问题，其中两个状态变量由2N个受控点过程和标准布朗运动驱动。3.2 Hamilton-Jacobi-Bellman方程和最优控制如下[21]，与（3）相关的Hamilton-Jacobi-Bellman方程由0=tv（t，ν，Vπ）+aP（t，ν）νv（t，ν，vπ）+νξννv（t，ν，vπ）+vπaP（t，ν）- aQ（t，ν）√ν-γξVπ+NXi=1Xj=a，bZR*+z1{| Vπ-ψ（j）zVi|≤五} 嗨，jvt、 ν，Vπ- vt、 ν，Vπ- ψ（j）zVizui，j（dz），（4）在附录A.2中，我们提出了一种放松恒定织女星假设的方法。该方法基于常数织女星情况下的泰勒展开式。通过将问题简化为蒙特卡罗模拟，可以克服维数灾难。最终条件v（T，ν，vπ）=0，其中hi，j（p）：=supδi，j≥δ∞∧i，j（δi，j）（δi，j- p） ，我∈ {1，…，N}，j=a，b。因此，我们得到了一个Hamilton-Jacobi-Bellman型的低维泛函方程。已知值函数后，最优控制（即与N个选项相关的最优中间出价和中间要价）由以下公式给出（见【2，12】）：δi，j*t（z）=最大δ∞,∧i，j-1.-嗨，jvt、 νt，Vπt-- vt、 νt，Vπt-- ψ（j）zViz我∈ {1，…，N}，j=a，b。备注6。在aP=aQ的情况下，很明显v不依赖于ν。

在这种情况下，v（t，ν，vπ）=w（t，vπ），其中w是更简单的Hamilton-Jacobi-Bellman方程0=tw（t，Vπ）-γξVπ+NXi=1Xj=a，bZR*+z1{| Vπ-ψ（j）zVi|≤五} 嗨，jwt、 Vπ- wt、 Vπ- ψ（j）zVizui，j（dz），最终条件w（T，Vπ）=0.4数值结果4.1模型参数在本节中，我们考虑一本选项书，并使用上述方法得出最佳报价。为此，我们考虑具有以下特征的标的股票：-时间t=0时的股价：S=10 e。-时间t=0时的瞬时方差：ν=0.0225年-1.-Heston模型，aP（t，ν）=κP（θP- ν） 式中，κP=2年-1和θP=0.04年-1，且aQ（t，ν）=κQ（θQ- ν） 式中，κQ=3年-1和θQ=0.0225年-1.-波动率参数的波动率：ξ=0.2年-1.-即期方差相关性：ρ=-0.5.我们考虑一个做市商处理20个欧洲看涨期权的案例，该股票的行权×到期日组合为元素（Ki，Ti）i=1，。。。，集合K×T的20，其中K={8 e，9 e，10 e，11 e，12 e}和T={1年，1.5年，2年，3年}。相关的隐含波动率曲面如图1所示。就这些期权的流动性参数而言，我们考虑以下强度函数：∧i，j（δ）=λi1+eα+βViδ，i∈ {1，…，N}，j=a，b，其中λi=252×301+0.7×| S-Ki |年-1，α=0.7，β=150年。对于at货币期权，λi的选择对应于每天30个请求，而对于大多数in-and-out货币期权，λi的选择则减少到12.5。

α的选择对应于1+e0.7的概率≈ 当回答的报价是中间价时，交易33%。β的选择对应于1+e的概率-0.8≈ 69%交易，当回答的报价与此对应时，此图已使用每个选项的10Monte Carlo模拟计算。对客户而言，隐含波动率提高1%，概率为1+e2.2≈ 当回答报价对应于对客户不利1%的隐含波动率时，交易利率为10%。此外，我们假设期权i的交易规模不变，zi=5·10OI合同。这相当于每笔交易500000 e。换言之，测量值ui，带ui，aare Dirac mass at zi。关于织女星的风险限制，我们认为V=10e·年。就时间范围而言，我们认为T=0.0012年（即0.3天）。这一短时间范围令人惊讶地确保了在t=0时收敛到固定报价（参见下面的图3）。最后，我们考虑风险规避参数γ=1·10-3e-1、到期时间1.001.251.501.752.002.252.502.753.00删除8.08.59.09.510.010.511.011.512.0隐含波动率0.1350.1400.1450.1500.1550.1600.14000.14250.14500.14750.15000.15250.15500.1575图1：与上述参数相关的隐含波动率面4.2使用180×30×40网格上带线性插值的单调显式Euler方案的最优报价，我们将域[0，T]×[0.0144，0.0324]×上的值函数解近似为（4）（在ν的边界处有Neumann条件）-五、 五. 该值函数如图2所示。我们看到ν中的依赖性很低。

这并不奇怪，因为在做市问题的时间尺度上，APA和AQ之间的差异可以忽略不计。根据该价值函数，我们推导出做市商对每种期权的最优出价和询价（实际上是中到出价和中到出价），作为投资组合vega的函数。如上所述，我们选择了T=0.0012年（即0.3天）——这一选择确保了最优报价与其平稳值的收敛性（见图3）。这只是一个近似值，因为交易规模取决于期权数量和期权价格的变动。0.01500.01750.02000.02250.02500.02750.0300Portfolio vega1e71.00.50.00.51.0价值函数020000400006000001000012000020000600000000100001200060000000010000120000图2：价值函数作为瞬时方差和投资组合vega的函数。0.0000 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.0010 0.0012时间0.00250.00000.00250.00750.01000.0125最佳中标价图3：作为选项1时间函数的最佳中标价：（K，T）=（8，1）–ν=0.0225。以渐近值为重点，我们现在在图4、5、6、7和8中给出了最优中标价，作为每次履约和到期的投资组合vega的函数。