多资产广义方差互换的一种建议

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英文标题：
《A Proposal for Multi-asset Generalised Variance Swaps》
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作者：
Subhojit Biswas and Diganta Mukherjee
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  This paper proposes swaps on two important new measures of generalized variance, namely the maximum eigen-value and trace of the covariance matrix of the assets involved. We price these generalized variance swaps for financial markets with Markov-modulated volatilities. We consider multiple assets in the portfolio for theoretical purpose and demonstrate our approach with numerical examples taking three stocks in the portfolio. The resultsobtained in this paper have important implications for the commodity sector where such swaps would be useful for hedging risk
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中文摘要：
本文提出了广义方差的两个重要的新度量，即最大特征值和相关资产协方差矩阵的轨迹。我们为这些具有马尔可夫调制波动率的金融市场的广义方差掉期定价。出于理论目的，我们考虑了投资组合中的多种资产，并以投资组合中的三只股票为例说明了我们的方法。本文得出的结果对大宗商品部门具有重要影响，因为此类掉期将有助于对冲风险
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> A_Proposal_for_Multi-asset_Generalised_Variance_Swaps.pdf (171.84 KB)

2022-6-25 07:26:46 上传

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关键词：Mathematical volatilities Quantitative Implications mathematica

多资产广义方差建议SwapsSubhojit BiswasIndian统计研究所，加尔各答州Ojit1 016kgp@gmail.comDiganta慕克吉抽样和印度联合统计研究所，Kolkatadigantam@hotmail。通用域名格式*2019年8月13日摘要本文针对广义方差的两个重要新度量，即所涉及资产协方差矩阵的最大特征值和轨迹，提出了互换。我们为具有马尔可夫调制波动率的金融市场的这些广义方差掉期定价。出于理论目的，我们考虑了投资组合中的多个资产，并以投资组合中的三只股票为例演示了我们的方法。本文得出的结果对大宗商品部门具有重要影响，因为此类掉期将用于对冲风险。关键词：广义方差、掉期、跟踪、最大特征值分类：91G10、91G801简介协变量和相关掉期是最近推出的金融产品，可用于使用两种不同的金融标的资产进行波动性对冲和投机。例如，依赖于汇率变动的期权，例如那些以不同于基础货币的货币支付的期权，具有资产和汇率之间相关性变动的风险，可以通过使用协方差掉期消除这种风险。关于波动性衍生品的文献正在不断增加。Benth等人（2007）使用非高斯或nstein-Uhlenbeck随机波动率模型研究波动率和方差掉期。Broadie和Jain（2008a）在Heston平方根随机波动率模型中评估了波动性衍生品的价格和对冲策略*我们感谢英德拉尼尔·森古普塔（IndranilSengupta）提出的有益意见和建议，这些意见和建议大大改进了展会。

通常的警告适用。在Broadie和Jain（2008b）中，他们比较了vario-us模型的结果，以研究跳跃和离散抽样对方差和波动率掉期的影响。Carr et al.（200 5）使用具有独立增量的纯跳跃过程回归模型对基于已实现方差的衍生工具进行定价，Carr et al.（200 5）随后进行了开发。本文还对波动性衍生品进行了深入的研究。Fonseca et al.（2009）通过解决风险资产和波动性衍生品市场的投资组合优化问题，分析了方差和共价互换在市场中的影响。Bossu（2005）和Bossu（2007）使用统计方法研究了掉期价格h与均衡指数组成部分的相关性。根据定义，上述所有方法一次只能识别两种资产的组合。但在当今复杂的金融交易中，没有理由不将三种或三种以上资产的波动性视为一起收缩。因此，在本文中，我们将这些方法推广到资产组合的一些广义方差可以收缩的情况。以多元分析为线索，我们研究了广义方差的两个重要度量，即所涉及资产协方差矩阵的最大特征值和轨迹。目标是为具有马尔可夫调制波动率的金融市场的广义方差掉期定价。作为一个例子，我们考虑由有限状态连续时间马尔科夫链驱动的随机波动率。据我们所知，这是首次尝试将协方差交换扩展到多维情况。我们在第2节中概述了问题和理论结果。

首先，我们看跟踪交换的情况，在后续小节中，我们讨论了具有目标返回约束的特征值交换。第3节用实际数据给出了数值例子。最后，第4节得出结论。2问题公式让我们考虑一个有两种证券的金融市场，即无风险债券和股票。假设股票价格（St）t∈R+满足以下随机微分方程dst=St（udt+σ（xt）dwt），其中w是独立于马尔可夫过程（xt）t的标准维纳过程。n只股票的投资组合由dSS、dSS等给出相应的回报，。。。。。dSnSn。个体收益向量包含方差和协方差。让投资组合收益协方差矩阵由以下公式得出Ohm =Cov（r，r）Cov（r，r）Cov（r，r）。。。。。Cov（r，rn）Cov（r，r）Cov（r，r）Cov（r，r）。。。。。Cov（r，rn）。。。。。。。Cov（rn，r）Cov（rn，r）Cov（rn，r）。。。。。Cov（rn，rn）Ohm =σ（xt）ρ（12）σ（xt）σ（xt）ρ（13）σ（xt）σ（xt）。。。。。ρ（1n）σ（xt）σn（xt）ρ（21）σ（xt）σ（xt）σ（xt）ρ（23）σ（xt）σ（xt）。。。。。ρ（2n）σ（xt）σn（xt）。。。。。。。ρ（n1）σn（xt）σ（xt）ρ（n2）σn（xt）σ（xt）ρ（n3）σn（xt）σ（xt）。。。。。σn（xt）让(OhmS、 F，（Ft）t∈R+，P）是一个过滤概率空间，具有右连续过滤（Ft）t∈R+和概率P。以下两个结果允许我们关联（xt）t∈R+，这是一个带有生成器Q的马尔可夫过程，toa鞅，并获得其二次变化Salvi和Swishchuk（20 12）。我们参考Ellio tt和Swishchuk（2007）的证明。提案1。（Elliott和Swishchuk，200 7）L e t（xt）t∈R＋是一个具有生成元Q和d f的马尔可夫过程∈域（Q），thenmft=f（xt）- f（x）-ZtQ f（xs）ds是关于Ft的零均值鞅：σ{y（s）；0≤ s≤t} 。提案2。

（Elliott和Swishchuk，2007）Let（xt）t∈R＋是一个具有生成元Q，f的马尔可夫过程∈域（Q）和（mft）t∈R+与其相关的鞅，然后t：=Zt[qf（xs）-2 f（xs）Q f（xs）]dS是mf的质量变化。提案3。（Salvi和Swishchuk，20 12）Let（xt）t∈R＋是一个马氏过程，生成元为Q，f，g∈域（Q）使得f g∈ 域（Q）。用（mft）t表示∈R+；（管理）t∈R+ir关联鞅。然后<f（x.），g（x.）>T：=Zt[Q f（xs）g（xs）- f（xs）Qg（xs）-g（xs）Q f（xs）]ds是f和g的质量变化。在我们的模型中，波动率是随机的。然后，研究σ的性质，特别是如何对已实现方差的衍生工具合约定价，是一件有趣的事情。我们将σ视为鞅，因为我们假设，不管股票当前和过去的波动率如何，其未来任何时候的预期波动率都与当前波动率相同。提案4。（Salvi和Swishchuk，2012）假设σ∈ Do主（Q）。然后，E{σ（xt）| Fu}=σ（xu）+中兴通讯{σ（xs）| Fu}dsfor all 0≤u≤t、 条件期望值由{σ（xt）| Fu}=e（t）给出-u） Qσ（xu）如果我们去掉条件部分，那么E{σ（xt）}=etQσ（x），其中我们表示x：=x。对于协方差项，如果我们去掉条件部分，我们可以为期望写出类似的值。然后，E{σ（xt）σ（xt）}=etQσ（x）σ（x）。这些结果有助于我们推导随后讨论的特征值的概率分布。我们首先研究跟踪交换的推导。2.1掉期使用协方差矩阵的轨迹作为第一个建议，我们考虑投资者使用协方差矩阵的轨迹来开发掉期。

行程由TR给出Ohm（xt）=σ（xt）+σ（xt）+σ（xt）+。。。。σn（xt）。现在，跟踪掉期的价格是我们考虑的资产在风险中性世界中的预期回报现值dTrace（x）=E{E-rT（trOhm（xt）-Kstrike price）}Ptrace（x）=e-rTE{（trOhm（xt）-Kstrike price）}示例：让我们考虑投资组合中的3只股票。然后协方差矩阵变成Ohm =σ（xt）ρ（12）σ（xt）σ（xt）ρ（13）σ（xt）σ（xt）ρ（21）σ（xt）σ（xt）σ（xt）ρ（23）σ（xt）σ（xt）ρ（31）σ（xt）σ（xt）ρ（32）σ（xt）σ（xt）σ（xt）σ（xt）tr公司Ohm（xt）=σ（xt）+σ（xt）+σ（xt）Ptrace（x）=E{E-rT（trOhm（xt）-Kstrike price）}Ptrace（x）=e-rTE{（trOhm（xt）-Kstrike price）}对于我们的马尔可夫调制市场，这将成为跟踪（x）=e-rT{TZT（etQσ（x））dt}+e-rT{TZT（etQσ（x））dt}+e-rT{TZT（etQσ（x））dt}-e-rTKstrike price2.2掉期使用最大特征值此处的目标是定义和推导特征值掉期的价格。但是，如果不考虑效率，我们就不会解决这个问题，因为无约束方差的基础资产组合可能不会被视为投资目的地。因此，我们假设投资者考虑协方差矩阵的最大特征值，对于给定的预期平均收益。为此，我们必须找到分布。让与给定股票相关的权重为bew（t）=w（t）w（t）w（t）。。。。wn（t）优化问题可以写在以下结构中：Maximizew（t）w（t）tOhmw（t）根据w（t）Tw（t）=1，ITw（t）=1，E（R）Tw（t）=k，R是包含股票预期收益的向量。总的来说，可以将约束组合为Maximizew（t）w（t）tOhmw（t）服从w（t）TIw（t）=1，ATw（t）=b，式中=hE（R）Ii=uuu.... ..un这里是Ohm 是n×n，a是n×2。我们将简化第一个约束，并对矩阵a进行QRDecomposition。Gander等人。

（199 1）PTA=“R#，其中P表示正交矩阵，R是一个上三角矩阵，P=hR通过PTATPPT=hRTiPTor AT=hR 0ipt将两侧乘上。优化问题现在是c omes，maximizew（t）w（t）TPPTOhmPPTw（t）服从hrtiptw（t）=b，w（t）TPPTIPPTw（t）=1。我们现在可以使用以下定义ptOhmP=“BΓTΓC#其中矩阵B、矩阵Γ、矩阵C的尺寸将具有符合ptw（T）=“qr#”的尺寸s。同样，矩阵q和矩阵r的尺寸将根据w（t）TPPT=hqTrTiPTw（t）t=hqTrTiPT确定。同样，C=CT，sow（t）tOhmw（t）=w（t）TPPTOhmPPTw（t）=hqTrTi“BΓtΓC#”qr#=hqTB+rTΓqTΓt+rTCi”qr#=（qTBq+rTΓq+qTΓTr+rTCr）=（qTBq+2rTΓq+rTCr）。然后，ATw（t）=hrtipW（t）=hRTi“qrt=bor，RTq=频带，q=R-Tb（1）q的值有助于确定术语qTBq，因此目标函数变为（2rTΓq+rTCr），现在需要最小化。根据上一个约束方程，w（t）Tw（t）=hqTrTi“qr#=qTq+rTr=1。我们定义=1-qTq=rTrand g=-ΓqSo优化问题现在变成了，maximizer-2rTg+rTCrsubject to rTr=s。但我们可以看到2rTg是一个标量，因此我们可以写2rTg=2gTr。所以优化函数变成了，maximizer-2gTr+rTCrsubject to rTr=s。现在使用拉格朗日乘数，我们将目标写为φ（r，λ）=-2gTr+rTCr-λ（rTr-s） （2）用r和λ微分（2）并等于零，我们得到-2g+2Cr-2λr=0，使得rTr=s。对方程进行归一化，得到Cr=g+λr（3）和rTr=s（4）。对C进行特征值分解，得到C=QDQT，其中QTQ=1，D=diag（δ，δ，…，δ（n-2)).现在将其代入方程（3）和（4），我们得到qdqtr=g+λQQTr。将整个方程b与QT相乘，QTQDQTr=QTg+QTλQQTrand rTQTQr=s。因此，当QTQ=1时，DQTr=QTg+λQTr。

（5） 让我们定义=qt和d=QTgThus方程（5）减少到du=d+λu（6）和utu=s（7）求解方程（6）和（7），我们得到=uuu。。。。u（n-2). 一旦我们得到u，就可以得到r=Q-Tu，其中r=rrr。。。。r（n-2).我们已经有了q=“qq”和PTw（t）=qqrrr。。。。r（n-2)因此w（t）=Pqqrrr。。。。r（n-2).让我们以3只股票为例。

为了简化代数计算，我们取u=0。然后Ohm =σ（xt）ρ（12）σ（xt）σ（xt）ρ（13）σ（xt）σ（xt）ρ（21）σ（xt）σ（xt）σ（xt）ρ（23）σ（xt）σ（xt）ρ（31）σ（xt）σ（xt）ρ（32）σ（xt）σ（xt）σ（xt）σ（xt）和A=0 1uu.进行QR装饰a的位置，w e getP=hPPi，其中P=u+u√2(u+u-uu)(u+u)u√u+uu-uu√2(u+u-uu)(u+u)u√u+uu-uu√2(u+u-uu)(u+u)和P=u-u√2(u+u-uu)u√2(u+u-uu)-u√2(u+u-uu).A=hPPi“R#其中R=qu+u+u√u+ur2（u+u-uu)u+u.我们将根据之前定义的以下方程式计算B、Γ和C-1=详图r2（u+u）-uu)u+u-u+u√u+uqu+u或R-T=det Rr2（u+u-uu)u+u-u+u√u+uqu+uq=det Rr2（u+u-uu)u+u-u+u√u+uqu+u“k#或q=det Rkr2（u+u-uu)u+u-ku+u√u+u+qu+u.我们最终想要计算HPPITσ（xt）ρ（12）σ（xt）σ（xt）ρ（13）σ（xt）σ（xt）ρ（21）σ（xt）σ（xt）σ（xt）ρ（23）σ（xt）σ（xt）ρ（31）σ（xt）σ（xt）ρ（32）σ（xt）σ（xt）σ（xt）σ（xt）hPPi。让我们考虑以下定义，qu+u=Y，q2（u+u-uu）（u+u）=X，q2（u+u）-u）=Z和u-u=V。由于r仅包含1个元素，我们可以使用定义=1-qTq=rTrto计算rw（t）=P详细信息kr2（u+u-uu)u+u详细信息-ku+u√u+u+qu+ur使用符号SW（t）=P详细信息kZY公司详细信息-ku+uY+YrrTr=1-详图Rkr2（u+u-uu)u+u-ku+u√u+u+qu+uTdet Rkr2（u+u-uu)u+u-ku+u√u+u+qu+u!r=VuT1-（详细信息）k2（u+u-uu)u+u+-ku+uqu+u+qu+ur=s1-（详细信息）kZY公司+-ku+uY+Y因此我们可以计算w（t）w（t）=P详细信息kZY公司详细信息-ku+uY+Y第一季度-（详细信息）kZY公司+-ku+uY+Y我们可以表示F=详细信息kZY公司详细信息-ku+uY+Y第一季度-（详细信息）kZY公司+-ku+uY+Y因此，w（t）变成w（t）=PF。

我们可以把最大特征值写成λ（xt）=w（t）tOhmw（t）λ（xt）=FTPTOhmPFWe现在可以使用以下定义ptOhmP=“BΓTΓC#=HKKKI通过前面的定义，我们可以简化P asP=u+uXu-uZuYu-uuXuZuYu-uX-uZ=YXVZuY-VuXuZuYVuX-uZ然后，PTOhmP=YXVZuY-VuXuZuYVuX-uZTσ（xt）ρ（12）σ（xt）σ（xt）ρ（13）σ（xt）σ（xt）ρ（21）σ（xt）σ（xt）σ（xt）ρ（23）σ（xt）σ（xt）ρ（31）σ（xt）σ（xt）ρ（32）σ（xt）σ（xt）σ（xt）σ（xt）YXVZuY-VuXuZuYVuX-uZ乘以，我们得到各个向量ketc。