投资组合优化管理重尾回报下的风险价值，

对于规避风险的投资者，我们要求η>0如果我们考虑一个线性效用函数U（x）=a+bx，它对应于风险中性投资者，RRA=0。因此，考虑到所有不同类型的效用函数，特别是，我们专门研究了常数相对风险规避效用函数U（x）=xγγ，以明确说明我们结果的推导。对于目标函数，我们采用通常的时间折扣聚合效用。然后，需要最大化的目标函数的条件是，财富过程的下5%分位数的概率大于95%（我们用Q0.05表示）。我们用L（2）表示这个下分位数过程，其运动方程由DL（2）t=L（2）t（1）给出- πt）rdt+L（2）tπtdXor，dL（2）t=L（2）t（1- πt）rdt+L（2）tπtbdt+L（2）tπtp（1- p） ffdW（1）t+p（1- p） fdW（2）t或者，dL（2）t=L（2）t（r- rπt+bπt）dt+L（2）tπtp（1- p） ffdW（1）t+L（2）tπtp（1- p） fdW（2）t。这应高于Q0.05，可能性较大。从数学上讲，这个带有单个约束的优化问题可以写成最大πtEZTe-βtL（1）γtγdt！受ZTPR约束L（2）t≥ 问题0.05dt公司≥ 0.95（2），其中β>0是随时间变化的贴现率，γ∈ （0，1）是风险规避参数，p=0.05，p=0.5，由于它是连续的，我们考虑了等式约束。我们继续使用Yong和Zhou[23]所述的随机极大值原理来解决上述约束随机最优控制问题。为此，我们引入适当的符号。

注意，（1）表示状态方程，（2）表示目标效用函数和状态约束。约束可以写为一个zttiL（2）t≥ 问题0.05dt公司≥ 0.95.LetJ（t，l，l，π）=e-βtlγγJ（t，l，l，π）=TIl≥ 问题0.05.由于Jis不是连续的，我们借助于类函数将其近似为连续可微函数，其中需要以非常接近指示函数的方式选择下面的参数ε，Jε（t，l，l，π）=t0升≤ 问题0.05- ε1+e-α（l-Q0.05）Q0.05- ε<l<Q0.05+ε1 l≥ Q0.05+ε。现在，我们用Jε代替J来求解（近似）约束随机最优控制问题。对于这个setb（t，l，l，π）=l（1- π） rl（r- rπ+bπ）.σ（t，l，l，π）=lπp（1-p） f级lπp（1-p） ff公司lπp（1-p） ff公司lπp（1-p） f级.确定哈密顿量ε：[0，T]×R×R×R×R×R2×R×R→ RbyHε（t，l，l，π，s，q，ψ，ψ）：=-ψe-βtlγγ- ψJε（t，l，l，π）+不锈钢l（1- π） rl（r- rπ+bπ）+tr公司(qqqqlπp（1-p） f级lπp（1-p） ff公司lπp（1-p） ff公司lπp（1-p） f级).Jε（t，l，l，π）=t给出的关于lis的一阶导数Jε（t，l，l，π）0升≤ 问题0.05- εαe-αl-问题0.051+e-αl-问题0.05问题0.05- ε<l<Q0.05+ε0 l≥ Q0.05+ε我们可以用指示函数表示，Jε（t，l，l，π）=tαe-αl-问题0.051+e-αl-问题0.05IQ0.05- ε<l<Q0.05+ε！或者，Jε（t，l，l，π）=tαe-αl-问题0.051+e-αl-问题0.05-2IQ0.05- ε<l<Q0.05+ε！。现在，根据Yong和Zhou【23】的定理6.1，我们陈述以下结果；证据来自Yong andZhou【23】，第144-153页。定理：对于近似约束问题，（\'L（·），\'L（·），\'π（·））是最优的。

然后存在（ψ，ψ）∈R×R满足ψ≥ 0，（ψ）+ψ=1，ψ（z+ZTEJε（t，\'L（t），\'L（t），\'πt）dt）≥ 0, z∈ [0.95，1]和{Ft}适应的溶液，q（.））∈ L（0，T:R）×L（0，T:R），（S（.），Q（.））∈ 以下伴随方程的L（0，T:S）×L（0，T:S）（其中sde表示2×2矩阵的空间）：ds（t）ds（t）= -Hεl（t，’l（t），’l（t），’πt，s（t），q（t），ψ，ψ）Hεl（t，’l（t），’l（t），’πt，s（t），q（t），ψ，ψ）dt+q（t）dW（1）tdW（2）t（3） 带边界条件s（T）s（T）= 0，和ds（t）=-（bx（t，\'L（t），\'L（t），\'πt）TS（t）+S（t）bx（t，\'L（t），\'L（t），\'πt）+∑j=1σjx（t，\'L（t），\'L（t），\'πt）TS（t）σjx（t，\'L（t），\'L（t），\'πt）+∑j=1σjx（t，’L（t），’L（t），’πt）TQj（t）+Qj（t）σjx（t，’L（t），’L（t），’πt）+Hεxx（t，’L（t），’L（t），’πt，s（t），q（t），ψ，ψ）+∑j=1Qj（t）dWj（t）（4），其中x是向量（l，l），带边界条件S（T）S（T）= 0，使得对于由Hε（t，l，l，π）定义的Hε（t，l，l，π）=Hε（t，l，l，π，s，q，ψ，ψ）-trnσ（t，\'l，\'l，\'π）TS（t）σ（t，\'l，\'l，\'π）o+trnσ（t，l，l，π）- σ（t，\'l，\'l，\'π）TS（t）σ（t，l，l，π）- σ（t，\'l，\'l，\'π）osatis fieshε（t，\'L（t），\'L（t），\'πt）=supπ∈RHε（t，\'L（t），\'L（t），πt）。（5） 上述定理为我们提供了投资组合优化问题的完整解决方案，我们打算以一种无限制的方式来解决这个问题。