投资组合优化管理重尾回报下的风险价值，

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英文标题：
《Portfolio Optimization Managing Value at Risk under Heavy Tail Return,
  using Stochastic Maximum Principle》
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作者：
Subhojit Biswas, Mrinal K.Ghosh and Diganta Mukherjee
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We consider an investor, whose portfolio consists of a single risky asset and a risk free asset, who wants to maximize his expected utility of the portfolio subject to managing the Value at Risk (VaR) assuming a heavy tailed distribution of the stock prices return. We use a stochastic maximum principle to formulate the dynamic optimisation problem. The equations which we obtain does not have any explicit analytical solution, so we look for accurate approximations to estimate the value function and optimal strategy. As our calibration strategy is non-parametric in nature, no prior knowledge on the form of the distribution function is needed. We also provide detailed empirical illustration using real life data. Our results show close concordance with financial intuition.We expect that our results will add to the arsenal of the high frequency traders.
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中文摘要：
我们考虑一个投资者，其投资组合由单一风险资产和无风险资产组成，他希望在管理风险价值（VaR）的前提下，最大化其投资组合的预期效用，假设股票价格回报率服从重尾分布。我们使用随机极大值原理来描述动态优化问题。我们得到的方程没有任何显式的解析解，因此我们寻求精确的近似值来估计值函数和最优策略。由于我们的校准策略本质上是非参数的，因此不需要关于分布函数形式的先验知识。我们还使用实际数据提供了详细的实证说明。我们的结果与财务直觉非常一致。我们预计，我们的结果将为高频交易者的军火库增添一份力量。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Portfolio_Optimization_Managing_Value_at_Risk_under_Heavy_Tail_Return,_using_Sto.pdf (1.87 MB)

2022-6-25 07:30:08 上传

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关键词：投资组合优化 投资组合 风险价值 Optimization Quantitative

投资组合优化使用随机最大值原理管理高尾收益下的风险价值对应作者：Subhojit BiswasM。Tech，印度统计研究所，Kolkatasubhojit1016kgp@gmail.comMrinal印度科学院数学系K.Ghosh教授，Bangaloremkg@math.iisc.ernet.inDiganta印度统计研究所抽样和官方统计系教授Mukherjee，Kolkatadigantam@hotmail.comAbstractWe考虑一个投资组合由单一风险资产和无风险资产组成的投资者。风险资产的回报率具有重尾分布，因此没有高阶矩。因此，她的目标是最大化根据中值回报定义的投资组合的预期效用。这取决于管理按照高阶分位数定义的风险价值（VaR）。回顾中值和其他分位数总是存在的，并利用其联合分布的渐近正态性，我们使用随机极大值原理来描述动态优化问题。通过适当的逼近技术解决了目标函数的非光滑性问题。我们还使用实际数据提供了详细的经验清净。我们得到的方程没有任何显式的解析解，因此在数值计算中，我们寻求精确的近似值来估计值函数和最优策略。由于我们的校准策略本质上是非参数的，因此不需要关于分布函数形式的先验知识。我们的结果与财务直觉非常一致。

我们预计，我们的结果将增加高频交易者的数量。关键词：动态规划、金融、投资组合优化、哈密顿系统、重尾分布、随机最大原则分类：90C39、91G10、91G801简介1.1背景与激励风险管理在金融世界无处不在。风险管理有很多地方，比如投资者购买低风险ZF债券而非高风险公司债券，银行在发放个人信用额度之前对个人进行信用检查，股票经纪人在其投资组合中购买期权和期货等资产，而基金经理则使用投资组合和投资多元化等策略来量化或有效管理风险。风险管理不足可能导致严重后果，如2007年的次级抵押贷款崩盘，引发了由糟糕的风险管理决策引发的大衰退。在金融领域，与风险和投资组合管理相关的投资组合的绩效基准主要是风险管理。投资风险的一个常见定义是偏离预期结果，我们可以用市场参数作为基准。偏差可以是正的，也可以是负的。投资者如何衡量风险？投资者使用各种策略来确定风险。最常用的风险指标之一是风险价值（VaR），这是对金融实体或资产组合风险的统计衡量。它被定义为在给定的时间范围内，在预先定义的密度水平上预计损失的最大美元金额。市场上还使用了其他风险度量指标，如夏普比率或预期缺口。

本文的重点是风险价值（VaR）。我们在这里考虑的特殊情况是，当资产的回报遵循高阶矩不存在的重尾分布时。在这种情况下，预期收益率和常规波动率度量值可能不存在。但是，我们知道分布的分位数总是存在的，我们利用了这个事实。我们在本文中的目标是为投资者找到一种策略，使中值回报（作为预期回报的代理）最大化，前提是风险值（作为风险度量）保持在高概率的临界水平之上。在这里，VaR是在一定的分位数水平上考虑的（通常选择5%）。中位数是50%分位数。在投资组合优化情况下，还有其他需要解决的重要约束。一个突出的问题是交易成本。在这里，我们还将在投资组合优化问题中解决这一问题，并讨论投资者将如何遵循递归最优政策，以便同时在期望水平上管理变量，同时优化中值回报。因此，在本文中，我们就如何处理回报的重尾分布函数为投资者提出了一个连续时间动态框架。我们的提案不需要了解分配的确切形式。我们采用非参数校准技术来处理一般未知分布函数。1.2文献综述利率风险免疫是固定收益投资组合管理的关键问题之一。近年来，风险度量（如风险价值和条件风险价值）作为形成最佳投资组合的工具，已获得广泛关注。Mato的文章【15】旨在讨论这个问题。

Agarwaland Sircar[1]的工作给出了在提款约束和随机Sharpe ratiotells下投资组合优化的思想，告诉我们如何将资产收益的随机微分方程转换为分位数的随机微分方程。Harmantzis等人[11]旨在利用历史数据，在收益率存在重尾的情况下，对不同模型在衡量VaR和ES方面的表现进行实证检验。日收益率采用经验（或历史）、高斯和广义帕累托（极值理论（EVT）的峰值超阈值（POT）技术）分布建模。Kim等人的论文中可以看到，使用多元市场模型评估金融风险和投资组合优化，假设回报遵循多元正态回火稳定分布（即该分布是多元正态分布和回火稳定从属分布的混合体）。有几位作者考虑了提款约束下的最优投资组合问题。格罗斯曼（Grossman）和周（Zhou）[10]是第一个在有限时间范围内对这一问题进行全面研究的人，他们将单个风险资产建模为具有恒定波动率的几何布朗运动（对数正态模型）。动态规划用于解决财富预期效用的长期增长率最大化问题。Cvitanic和Karatzas【7】简化了Grossman和Zhou【10】的分析，并将结果扩展到存在多个风险资产的情况。萨缪尔森（Samuelson）[21]的论文给出了随机动态规划的投资组合选择思想。最后，与我们的实证分析非常相关的是，我们提到了Sahalia和Lo[2]的论文，他们提出了对期权价格中隐含的状态价格密度使用非参数估计的想法。

Tang[22]的论文使用近似动态规划建立了具有交易成本的多时间段投资组合的马尔可夫决策模型。阿奇博尔德·安德波萨尼（Archibald and Possani）[3]的论文使用非零和博弈分析了企业家和投资者之间的契约，其中企业家关心公司生存，投资者关心期望净现值的最大化。本文探讨了金融公司的不同设置。Li等人[13]的论文分析了过去五年CSI300指数的数据，并使用蒙特卡罗模拟和历史模拟计算了五年指数的VaRof并检验其有效性。本文将研究结果与中国市场经济相结合，对中国金融市场的金融风险管理提出了一些建议。paperby Regis和Artes【20】的主要贡献是，通过调查客户-机构关系随时间变化的不同状态转换特征，分析多状态马尔可夫模型在评估信用卡风险中的应用，从而生成各种用途的评分模型。它为马尔可夫决策过程在金融市场中的应用提供了不同的方向。Fu[9]的论文研究了连续时间马尔可夫决策过程（MDP）中的平均值方差优化问题。它假设状态空间是可数的，动作空间是Borel可测空间。本文的主要目的是在确定性静态策略空间中找到方差最小的策略。Perez等人[17]的论文研究了结合连续时间跳跃市场和可违约证券的投资组合优化问题，并通过转化为马尔可夫决策过程提供了数值解。

本文还分析了几种效用函数族下的分配策略，并与以往的结果进行了比较。Biswas和Mukherjee[5]的论文研究了由单个风险资产和离散时间内无风险资产组成的投资组合。其目的是最大化投资组合的预期效用，前提是假设股票价格回报率服从厚尾分布，则投资组合的风险价值也会受到影响。它利用马尔可夫决策过程和动态规划原理，得到参数分布和非参数分布的最优策略和最大化期望效用的值函数。我们旨在将其推广到更适合解决高频交易问题的连续时间情况。1.3我们的贡献在本文中，投资者在处理股价回报率的厚尾分布时，担心何时增持股票或清算股票，并试图基于风险价值（Var）连续优化投资组合。投资者的投资组合有一项风险资产和一项无风险资产。我们考虑重尾分布的适当分位数作为平均收益和风险的代理。我们首先表明，这些数量渐近地共同遵循多元正态分布；允许我们调用基于Ito方程的传统建模技术。与通常的连续时间设置一样，这也确保了成功调用该公式的自我融资条件。因此，我们制定并使用分位数的随机微分方程。然后，我们使用随机最大值原理来描述Yong和Zhou【23】之后的动态优化问题。我们得到的方程没有任何明确的解析解，因此我们寻找合适的近似值来估计值函数和最优策略。

由于我们的校准策略本质上是非参数的，因此不需要关于分布函数形式的先验知识。1.4论文的组织在第2节中，我们考虑重尾分布的分位数，它是具有非常简单的协方差结构和均值的渐近多元正态分布。推导了分位数的随机微分方程。随后，在一定的假设条件下，我们导出了最优投资组合问题的随机极大值原理，并给出了最优投资组合策略的解析公式。示例和数值结果包含在第3节的小节中。最后，第4节得出结论。2公式和分析我们假设存在一个无摩擦的金融市场。在我们的投资组合中，我们考虑以s表示的风险资产和无风险资产，如银行账户，提供由标量常数r>0给出的无风险利率。设风险资产在某一时刻的回报率由dXt=dss给出，其中xt遵循人口c.d.f.f（x）的重尾分布，假设其连续且可微至至少二阶。分布的严重尾部不允许我们建立股票收益的线性随机微分方程。相反，我们将重点关注两个分位数（如上所述，我们需要考虑组合优化的中位数和低5%分位数）X（p）和X（p），对于0<p<p<1（以下，我们将具体考虑p=0.05和p=0.5），并使用Beach和Davidson的以下命题求助于一些常见的渐近性【4】。从该总体中随机抽取一个大小为N的样本，并将观察值按大小从最小（X（1））到最大（X（N））排序，以便X（1）≤ X（2）≤.....≤ X（N）。

然后将样本分位数ξ（p）定义为r阶统计量X（r），其中r=[Np]表示小于或等于Np的最大整数。如果F是严格单调的，ξ（p）具有强一致性或几乎确定一致性Rao的性质[19]。注意，该结果不要求F（x）存在矩，这通常是重尾分布的情况。命题：如果F在ξpfor p可微∈{p，p}密度f（ξ（p））=fand f（ξ（p））=f，则ξ（p）\'是具有简单协方差结构的渐近多元正态分布。根据Beach和Davidson[4]的引理1，我们可以把两个分位数写成∧=p（1-p） fp（1-p） ffp（1-p） ffp（1-p） f级.根据渐近正态性，分位数的运动方程可以写成dX（p）（t）dX（p）（t）=uudt公司+p（1-p） fp（1-p） ffp（1-p） ffp（1-p） f级dW（1）tdW（2）t.其中dW（1）和dW（2）是两个独立的布朗运动，为了减少参数的数量，我们从数据中减去其中一个分位数的期望值。因此，一个分位数的期望值变为零，而其他分位数的值实际上是相对于这个分位数的。应用这种方法，运动方程现在变成dX（p）（t）dX（p）（t）=bdt公司+p（1-p） fp（1-p） ffp（1-p） ffp（1-p） f级dW（1）tdW（2）t.简化符号，我们用X表示X（p），用Xto write表示X（p）dX（t）dX（t）=bdt公司+p（1-p） fp（1-p） ffp（1-p） ffp（1-p） f级dW（1）tdW（2）t.最终扩展，dX（t）=p（1- p） fdW（1）t+p（1- p） ffdW（2）tdX（t）=bdt+p（1- p） ffdW（1）t+p（1- p） fdW（2）t。我们用L表示投资者的财富过程，L将其πt部分投资于风险资产，剩余部分投资于银行，这是一项无风险资产。

假设策略π是适应Ft的，其中FTI是（W（1）t，W（2）t），满足中兴通讯（πt）dt<∞.在本文中，我们通过财富过程的中位数来评估投资组合的绩效，我们用L（1）表示。L（1）的运动方程由dl（1）t=L（1）t（1）给出-πt）rdt+L（1）tπtdXor，dL（1）t=L（1）t（1- πt）rdt+L（1）tπtp（1- p） fdW（1）t+p（1- p） ffdW（2）吨或者，dL（1）t=L（1）t（1- πt）rdt+L（1）tπtp（1- p） fdW（1）t+L（1）tπtp（1- p） ffdW（2）t.（1）在这项工作中，我们提出了一个投资框架，鼓励管理风险价值，同时使效用函数U的中值最大化，满足：假设1。终端效用函数U：（0，1）-→ R是光滑的，严格递增的，严格凹的。如果我们计算（绝对和相对）风险规避（RA）的Arrow-Pratt度量，定义为RRA=-U（x）U（x）x。这用于确定效用函数参数的范围我们在金融中使用的一个常见效用函数是功率效用U（x）=xγγ。我们得到RRA=1- γ. If1- γ>0，则代理是风险厌恶的。如果1- γ<0，我们称她为风险寻求者。电力公用设施功能1- γ>0表示RRA与财富水平无关的投资者，这就是为什么它也被称为常数RRA效用函数我们还可以考虑对数效用函数U（x）=log（x）。获得的RRA值为1，也是常数另一个常用的效用函数是负指数效用函数U（x）=-e-ηxη。我们可以估计RRA=ηx。这就是为什么这个效用函数被称为常数绝对相对风险厌恶（CARA）效用函数。