定价的Hermite插值紧致差分格式

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英文标题：
《Compact Finite Difference Scheme with Hermite Interpolation for Pricing
  American Put Options Based on Regime Switching Model》
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作者：
Chinonso Nwankwo, Weizhong Dai, Ruihua Liu
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We consider a system of coupled free boundary problems for pricing American put options with regime-switching. To solve this system, we first employ the logarithmic transformation to map the free boundary for each regime to multi-fixed intervals and then eliminate the first-order derivative in the transformed model by taking derivatives to obtain a system of partial differential equations which we call the asset-delta-gamma-speed equations. As such, the fourth-order compact finite difference scheme can be used for solving this system. The influence of other asset, delta, gamma, and speed options in the present regime is estimated based on Hermite interpolations. Finally, the numerical method is tested with several examples. Our results show that the scheme provides an accurate solution that is fast in computation as compared with other existing numerical methods.
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中文摘要：
我们考虑了一个具有制度转换的美式看跌期权定价的耦合自由边界问题系统。为了解决这个系统，我们首先使用对数变换将每个区域的自由边界映射到多个固定区间，然后通过求导数消除变换模型中的一阶导数，得到一个偏微分方程系统，我们称之为asset delta gamma速度方程。因此，四阶紧致有限差分格式可用于求解该系统。根据Hermite插值估计当前体制中其他资产、delta、gamma和速度选项的影响。最后，通过几个算例对数值方法进行了验证。我们的结果表明，与现有的其他数值方法相比，该格式提供了计算速度快的精确解。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Compact_Finite_Difference_Scheme_with_Hermite_Interpolation_for_Pricing_American.pdf (4.01 MB)

2022-6-25 08:07:58 上传

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关键词：hermite RMIT Herm ERM MIT

1基于制度转换模型的美国看跌期权定价的带Hermite插值的紧致有限差分格式Chinonso I.Nwankwoa，Weizhong Daia，*，Ruihua Liub a路易斯安那理工大学数学与统计系，Ruston LA 71272，美国代顿大学数学系，美国俄亥俄州代顿市代顿学院公园300号*通讯作者，dai@coes.latech.edu摘要我们考虑了一个具有制度转换的美式看跌期权定价的耦合自由边界问题系统。为了解决这个系统，我们首先使用对数变换将每个区域的自由边界映射到多个固定区间，然后通过求导数消除变换模型中的一阶导数，得到一个偏微分方程系统，我们称之为asset delta gamma速度方程。因此，四阶紧致有限差分格式可用于求解该系统。根据Hermite插值估计当前体制中其他资产、delta、gamma和速度选项的影响。最后，通过几个算例对数值方法进行了验证。我们的结果表明，与现有的其他数值方法相比，该格式提供了计算速度快的精确解。关键词：带区域切换的美式看跌期权、对数变换、最佳行使边界、紧致有限差分法、Hermite插值1。引言著名的Black-Scholes模型在期权估值中已经使用了几十年。该模型在假设无摩擦市场、无套利、无风险利率和波动率不变的情况下构建了一个delta对冲投资组合（Ugur，2006）。

为了消除这种理想假设并再现实际的市场价格、风险、行为和动态，研究人员提出了一些改进，包括随机波动性（Chockalingam和Muthuraman，2011；Düring和Fournié，2012；Garnier和Solna，2017；Huang等人，2011；Hull和White，1987；Ikonen和Toivanen，2007；Zhylyevskyy，2009），定价模型中的跳跃扩散（Bingham，2006；Chen等人，2019；Cont和Tankov，2004；Guoqing和Hanson，2006；Kou，2002）和制度转换（Company等人，2016a；Egorova等人，2016；Huang等人，2011；Khaliq和Liu，2009；Mamon和Rodrigo，2005）。2.在Buffington和Elliot（2002）的开创性工作之后，汉密尔顿（1989）首次提出的美式期权估值的制度转换模型获得了更广泛的兴趣。它定义了有限数量的市场国家，称为制度。每个制度都有自己的一套市场变量，市场在不同制度之间随机切换（Chiarella等人，2016）。具有制度转换的期权定价模型涉及一个具有自由边界的偏微分方程组，通常很难获得其解析解。因此，文献中的一些工作提出了数值方法来求解具有制度转换的期权定价方程。其中，常见的数值方法有惩罚法（Khaliq和Liu，2009；Nielsen et al.，2002；Zhang et al.，2013），线法（MOL）（Chiarella et al.，2016；Meyer和van der Hoek，1997），晶格法（Han和Kim，2016；Shang和Bryne，2019），快速傅立叶变换（Boyarchenko和Levendorskii，2008；Liu et al.，2006），以及正面固定技术（Egorova et al.，2016）。基于晶格的方法在实践者中更为常见。

然而，追踪最佳运动边界可能是一个挑战（Shang和Bryne，2019）。快速傅立叶变换方法在求解欧式期权方面非常有效（Chiarella等人，2016）。惩罚方法通过引入惩罚项来消除自由边界（Khaliq和Liu，2009）。MOL方法在计算过程中同时计算资产和增量期权以及最佳行使边界。Meyer和van der Hoek（1997）指出，由于解的奇异性和无穷区间，MOL方法仍然存在一些复杂性。正面固定技术（Blackwell和Hogan，1994；Company et al.，2016b；Company et al.，2016c；Landau，1950；Mitchell和Vynnycky，2009；Mitchell和Vynnycky）首次由Egorova et al.（2016）应用于政权转换模型。据我们所知，上述方法可提供高达二阶的精确解。本研究的目的是提出一种更高精度的前固定数值方法来求解制度转换定价模型。为此，我们首先使用对数变换将每个区域的自由边界映射到多个固定区间，然后通过求导数来消除变换模型中的一阶导数，以获得一个偏微分方程系统，我们称之为asset delta gamma速度方程。因此，四阶紧致有限差分可用于求解该系统。根据Hermite插值估计当前制度中其他资产、delta、gamma和速度选项的影响。最后，使用高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）或牛顿（Newton）迭代法对数值格式进行求解，该迭代法可预测每个区域的最佳行使边界、期权价值和期权希腊。3论文的其余部分组织如下。

在第2节中，我们考虑了一个制度转换模型及其转换。我们对模型进行转换，以获得期权价值、delta、gamma和速度期权在每个制度下的耦合偏微分方程。在第3节中，我们开发了一种精确的数值方法及其算法，用于求解这些方程，并获得期权值、最佳行使边界和每个制度中的希腊语。在第4节中，我们使用两个、四个、八个和十六个区域的示例来测试我们的算法。我们在第5节总结本文。2、政权转换模型及其转换2.1。区域切换模型让我们考虑一个连续时间马尔可夫链，其状态标记为  允许 用输入元素表示生成器矩阵  满足以下条件（Norris，1998）：   假设采用风险中性度量（Elliot et al.，2007），基础资产遵循随机过程  哪里和 分别是资产的利率和波动率，取决于马尔可夫链状态  我们考虑在资产上写上美国看跌期权具有执行价格 和到期时间  允许 表示期权价格和.

然后 满足以下自由边界抛物线偏微分方程（Khaliq和Liu，2009）：      此处，初始和边界条件如下所示： 4.  哪里 是 政体2.2. 对数变换为了解决自由边界问题，我们在多变量域上采用了一种变换（Egorova et al.，2016；Wu and Kwok，1997），如下所示：  其中变量 存在于正域中 如果.

被改造的  选项值函数   与原件相关  选项值函数 通过无量纲变换 应用此转换，我们得到以下关系：  因为我们的兴趣还在于计算速度、增量衰减和颜色选项，所以我们进一步区分以获得 选项值函数为   允许 表示中的耦合状态 自由边界PDE。

前者还有一个变量  消除 在 和 方程，我们得到 5将（8）替换为（4）和（5）（即。，, 模型可以更改为        其中初始条件（5）更改为  通过出租 我们从（13）中得到 . 因此，与（7）一起，我们得到（12）的边界条件为  为了应用高阶紧致有限差分法，我们通过消除一阶导数进一步变换（12）-（15）中的系统。

为此，我们让 表示每个制度中期权价值的导数，称为delta期权，给出如下公式 区分（12）和（13）关于, 我们分别生成了一个关于delta期权的偏微分方程组       其中（17）的初始条件基于（14）获得，如下所示： 通过出租 在（18）和（7）中，我们得到（17）的边界条件为 需要指出的是 在 什么时候, 基于初始条件和边界条件得到的值是不同的。这在许多PDE问题中都会发生。我们最关心的是 和中的其他功能 什么时候. 这里，我们开始. 我们使用了左右极限的平均值作为. 我们还使用了smoothstep方法（Bravo和Mcgraw，2015）来近似 然而，当与我们选择的 我们没有发现显著差异。