强依赖下的块抽样

2.4方差估计由于Fn（·）和关系（8）涉及未知量sland sn，定理2不直接适用于对u进行统计推断，而它意味着（10）如果我们能够估计▄sland▄sn，从而▄sl/sl→ 1和▄序号/序号→ 概率为1，l（(R)Yn-u）=oP（sl）。我们建议使用（9）估算SL；关于方差估计sl的渐近性质，请参见定理3。然而，由于不能使用大小为n的块来估计SN，因此没有类似的方法来提出SN的一致估计。一种解决方法是通过估计自相似参数H（参见第2.5节），使用其规则变化的特性（参见方程（23）和（24））。第3节提出了一种不需要估计H的二次抽样方法。分别对σn、pand和σn的定义进行回忆（5）和（6）。引理1断言它们渐近等价于sn。引理1。回想一下，sl=kSlk。在定理1（i）的条件下，我们有~ σl，p=左侧lp（l）κpkZp，β（1）k，（23）as l→ ∞. 在定理1（ii）的条件下，我们可以~ σl=kDk√l、 （24）在任何一种情况下，lk'Yn- uk=o（sl）（如果l） nr，0<r<1。如果u=Eyis已知，比如u=0，那么我们可以估计slby^sl=^Qn，ln，其中^Qn，l=nXi=1 | Yi+Yi-1+ . . . + 易-l+1 |。显然，^sli是sl=kSlk的无偏估计。定理3给出了估计的收敛速度。作为一个简单的结果，我们知道^slis是一致的。定理3。假设l nr，0<r<1，条件1保持，ν=4。（i） Ifp（2β- 1） <1，则存在一个常数0<φ<1，使得var（￠sl/sl）=O（n-φ). （25）（ii）如果p（2β- 1） >1，则为var（￠sl/sl）→ 0.（iii）如果p（2β- 1） >1和τn，4=O（n-φ） 对于某些φ>0，则（25）也保持s。证据（定理3）对于（i），我们首先考虑u=0的情况，并表明，对于某些φ>0，var（^sl/sl）=O（n-φ). （26）回顾B*n、 l=Pnj=n-l+1年*j、 其中Y*j=K（X*j） 。

那么E（Bi，l）=E[（B*i、 l）| F]和COV（B0，l，Bi，l）=E[B0，l（Bi，l- （B）*i、 l））]。根据Cauchy-Schwarz不等式，var（^sl）=nn-1Xi=1-n（1- |i |/n）cov（B0，l，Bi，l）≤nn型-1Xi=0kB0，lkkBi，l- （B）*i、 l））k≤nn型-1Xi=0kB0，lkkBi，l+B*i、 lkkBi，l- B*i、 lk。（27）通过引理4（ii）和定理2（i）证明中的引理（17），对于i>2l，我们有kbi，l- B*i、 lk公司≤ kBi，l- E（Bi，l | F∞)k+kE（Bi，l | F∞) - B*i、 lk=slO[升-ν+（l/i）Д]，（28）鉴于引理1，自kBi，lk~ sl.我们再次假定，在不损失一般性的情况下，ν<1。引理4（i），kB0，lk=O（σl，r）。So（27）同样意味着（26）viavar（^sl/sl）=O（1）n2lXi=0O（1）+O（1）nn-1Xi=2l+1O[l-Д+（l/i）Д]=O（l/n）+O（l-Д）+O（（长/宽）Д）=O（宽）-φ） （29）φ=min（1- r、 ^1r，（1- r） ^1）自l起 nr，0<r<1。现在我们要证明（26）意味着（25）。引理4（i）和Cauchy-Schwarzinequality，k^Qn，l-Qn，lk=n（l？Yn）- 2 l’YnnXi=1Bi，l≤ nlk'Ynk+k2l'YnklkY+·····+Ynk=O（lsn/n）=nslO（lsn/（nsl））=nslO[（l/n）2-2小时l2p（n）/l2p（l）]=nslO（n-θ） ，（30），其中0<θ<（2- 2H）（1-r） 。因此（25）来自引理1。对于（iii），通过（41）和（48），在p（2β）下- 1） >1，对于0<Д<p（2β- 1） ，预测依赖度量ηi，4：=kPYik=kP（Ln，p+κpUn，p）k≤ |κp | kPUn，pk+kPLn，pk=O（anA（p-1） /2n）+anO（an+A1/2n+1（4）+Ap/2n+1）=O（i-1.-^1），其中Ln、pis在（39）中定义。回顾定理2（ii）中定义GN，N>3l的证明。By（42），kGNk≤ CPNk公司=-∞kPkGNk，以及（21）和（22）中的参数，存在一个常数C>0，这样kkgnkl≤ Cη*,4.∞Xi=0min（ηi，4，τ*N-l+1,4），其中η*,4=P∞i=0ηi，4和τ*n、 4=最大值≥nτm，4。Asτ→ 0，我们有∞i=0min（ηi，4，τ）=O（τИ），其中Д=Д/（1+Д）。

与（27），（28）a nd（29）类似，var（^sl/sl）=O（1）nn-1Xi=0kGik√l=O（1）nn-1Xi=1+3lkGik√l+O（l/n）=O（1）nn-1Xi=1+3li-φИ/2+O（长/短）=O（长/短）-φИ/2）+无（l/n）。所以（26），因此（25）根据（30）进行。对于（ii），正如在证明定理2（ii）中一样，它遵循了Lebesgue支配的收敛定理，因为τ*m、 4→ 0 a s m→ ∞. 2.5 HIn的估计在自相似或长记忆过程的研究中，一个基本问题是估计H，即自相似参数。后一个问题在光明时代得到了广泛的研究。例如，Robinson（1994、1995a和19 95b）和Moulines and Soulier（1999）考虑了使用周期图估计H的谱估计方法。为了扩展潜在过程是或接近线性的情况，Hurvich、Moulines和Soulier（2005）研究了计量经济学中广泛使用的非线性模型，该模型包含一个长期记忆波动成分。采用时域方法，Teverovsky和Taqqu（1997）以及Giraitis、Robinson和Surgalis（1999）将重点放在方差型估计器f或H上。在这里，我们将基于σl，pby，使用两个时间尺度的方法来估计H。通过引理1，liml→∞s2lsl=极限→∞σ2l，pσl，p=2H。根据定理3，我们可以通过^H=log^s2l来估计H- lo g^sllog 2。推论1断言^H是H的一致估计。为了获得收敛速度，我们需要对慢变函数施加正则条件l(·). 慢变函数的估计是一个非常不平凡的问题。在估计高斯过程的线性过程或非线性泛函中的σ时，Hall、Jing和Lahiri（1998）以及Nordman和Lahiri（2005）对l. 在我们的环境中，为了可读性，我们假设l（n）→ c、 虽然我们的论点可以推广到其他l 进行了一些繁琐的计算。

在条件2下，通过引理3（iii），σl，p/（lHc）=1+O（l-φ). 所以我们估计snby^σn，p=n^H^c，其中^c=^σl，pl^H。实际上，我们可以选择l=cn1/2 对于一些0<c<∞. 选择非最佳数据驱动l的问题超出了本文的范围。条件2。系数a6=0，aj=cjj-β、 j≥ 1，其中1/2<β<1，dcj=c+O（j-φ） 对于某些φ>0。流行的FARIMA工艺满足条件2。推论1。假设l nr，0<r<1，条件1保持，ν=4。（i） 在p（2β）下- 1） <1或p（2β- 1） >1，我们有limn→∞^H=H.（ii）假设（2β- 1） <1和条件2。然后^H- H=O（n-φ） （31）和^snsn→ 概率为1。（32）（iii）在定理3（iii）的条件下，我们得到了（31），h=1/2和（32）。证据对于（i），根据定理3（i，ii）和引理1，我们得到了E | sl/l- 1|→ 0，其中l=σl，pif p（2β- 1） <1和l=σlif p（2β- 1) > 1. 因此▄sl/l=1+oP（1）和▄s2l/▄sl=2升/l+oP（1）=22小时+oP（1）。因此limn→∞^H=H。对于（ii），在条件2下，我们有sl/σl，p=1+O（n-φ） ，根据定理3（i），这意味着∧sl/σl，p=1+OP（n-φ） 因此▄s2l/▄sl=22H+OP（n-φ). 因此（31）如下。对于（32），通过（31），我们得到l^H/lH=1+O（n-φrlog n）。因此，对于某些φ>0的f，我们有^c/c=1+O（n-φ） ，考虑到n^H/nH=1+O（n-φlog n）。对于（iii），设Dk=P∞i=kPkYi。回想定理3（iii）的证明，ηi，4=kPYik=O（i-1.-φ). 根据Wu（2007）中的定理1，k Sl-Pli=1Dik=Pli=1O（Θi），其中Θi=P∞j=iηi，4=O（i-φ). 因此kSl-Pli=1Dik/√l=O（l-^1），这意味着SL/σl-1=O（l-φ). 然后，结果遵循（ii）中的论点和定理3（iii）。3次抽样方法第2.2节中的块抽样方法要求对sland sn进行一致的估计。前者在第2.4节中处理，后者通过估计自相似参数H来实现；见第2.5节。

在这里，我们将提出一种二次抽样方法，它可以直接估计SN的分布，而不必估计H。为此，我们选择正整数和lsuch thatln=ln，以及l+n+ln=O（n-θ） 对于某些θ>0。（33）进一步假设l（·）在limk→∞l（k）/l（kα）=1对于任何α>0。它适用于以下函数l（k） =（log log k）c，c∈ R、 而缓慢变化的函数l（k） =对数k变化不大。霍尔、金和拉希里（1998）以及诺德曼和拉希里（2005）也采用了类似的条件。注意，（33）表示limn→∞slsnslsn=1。（34）然后根据定理1和条件（33），我们得到了SUPU∈R | P（序号/序号≤ u）- P（Sl/Sl≤ u） |=supx∈R | P（（序号/序号）（序号/序号）≤ x）- P（（Sl/Sl）（序号/序号）≤ x） |→ 0。（35）因此，Sn/Sn的分布可以近似为Sl/Sl的分布l（x）=nn-l+1Xi=1{（Pi+l-1j=iYj-l（Yn）/sl，i≤x} ，（36）式中▄sl，i=▄Ql，l，il- l+1，带▄Ql，l，i=l-l+1Xj=1 | Yi+j-1+···+易+j+l-2.- l’Yn |。（37）自limn→∞sl，i/sl=1，使用定理2中的参数，我们有supx | Fl（x）- P（Sl/Sl≤ x） |→ 概率为0。（38）注意，SN可以通过（9）进行估计。然后，可以基于▄F的样本分位数构建u的置信区间l（·）。4模拟研究考虑平稳过程Yi=K（Xi），其中Xi是（1）中定义的线性过程，ak=（1+K）-β、 k级≥ 0和εi，i∈ Z、 是iid创新。在此，我们将通过考虑变换K（·）、β指数β、样本量n和创新分布的不同选择，研究第2节（基于^H）和第3节（基于二次抽样）中所述块抽样方法的有限样本性能。

特别地，我们考虑以下四个过程：（i）K（x）=x，和i，i∈ Z、 是iid N（0，1）；（ii）K（x）=1{x≤1} ，和i，i∈ Z、 是iid t；（iii）K（x）=1{x≤0}，和i，i∈ Z、 是iid t；（iv）K（x）=x和i，i∈ Z、 是iid Rademacher。对于情况（i）和（ii），功率秩p=1，而对于（iii）和（iv），功率秩p=2。如果p=1，我们将β=0.75和β=2，这分别对应于长程和短程依赖过程。对于p=2，我们考虑三种情况：β∈ {0.6, 0.8, 2 } . 前两种是长程依赖的情况，但具有不同的极限分布，如定理1和2所示。我们使用块大小l=cn0.5, c∈ {0.5，1，2}，和n=n0.9. 让n∈ {100, 500, 1000}. 根据5000个实现情况计算出上下单侧90%置信区间的经验覆盖概率，并在表1中以括号中成对的形式汇总。我们观察到以下现象。首先，覆盖概率的准确性通常会随着n的增加或依赖强度的降低（增加β指数β）而提高。其次，非线性恶化了精度，注意到（ii）–（iv）中的过程是非线性的，而（i）中的过程是线性的。最后，第3节中描述的基于二次抽样的程序通常比第2.5节附录中描述的基于^H的程序具有更好的精度。回顾Fji=（εi，εi+1，…，εj），i≤ j、 F级∞i=（εi，εi+1，…）和Fj-∞= （…，εj）-1，εj）。在处理线性过程的非线性泛函时，我们将使用强大的工具o fVolterra展开（Ho和Hsing，1997和Wu，2006）。