期货衍生品的多尺度随机波动模型

推导过程很简单。注意，Hε，δ（t，Ft，t，y，z，t）=u如果我们定义ψε，δ（t，x，y，z，t）=hε，δu（t，Hε，δ（t，x，y，z，t），y，z，t），ψε，δ（t，x，y，z，t）=hε，δy（t，Hε，δ（t，x，y，z，t），y，z，t），ψε，δ（t，x，y，z，t）=hε，δz（t，Hε，δ（t，x，y，z，t），y，z，t），我们得到Ft，TdFt，t=ψε，δ（t，Ft，t，yεt，zδt，t）η（yεt，zδt）dW（0）t（3.7）+√εψε，δ（t，Ft，t，Yεt，Zδt，t）β（Yεt）dW（1）t+√Δψε，δ（t，Ft，t，Yεt，Zδt，t）g（Zδt）dW（2）t.3.3期货合约衍生工具的定价PDE现在将到期日为t的期货合约固定在V上，并考虑到期日为t<t的欧洲衍生工具，其支付仅取决于终值Ft，t.A该衍生工具在Ft上的无套利价格，由pε，δ（t，x，Y，Z，t）=EQ-r（T-t） ν（FT，t）| FT，t=x，Yεt=Y，Zδt=Z]，其中Q是第2节中讨论的风险中性概率，我们使用的事实是（FT，t，Yεt，Zδt）是一个马尔可夫过程。在本节中，我们推导了Pε，δ的偏微分方程。重新调用Ft，t遵循方程（3.2），其中Yε和Zδ皮重在（2）中给出。然后，我们在微元生成器Lε中写入δof（Ft，T，YεT，ZδT），其中，为了便于记法，我们将删除ψε，δi，i=1，2，3，Lε，δ=ε的变量（T，x，Y，Z，T）L+（ψε，δ）β（y）x+ψε，Δβ（y）x个y(3.8)+√ερψε，Δψε，Δη（y，z）β（y）x+ρψε，Δη（y，z）β（y）x个y+t+（ψε，δ）η（y，z）x个- r·+√δρψε，Δψε，Δη（y，z）g（z）x+ρψε，Δη（y，z）g（z）x个z+ δM+（ψε，δ）g（z）x+ψε，δg（z）x个z+rδερψε，Δψε，Δβ（y）g（z）x+ρψε，Δβ（y）g（z）x个y+ρψε，Δβ（y）g（z）x个z+ρβ（y）g（z）yz,式中，L=β（y）y+α（y）y、 （3.9）M=g（z）z+c（z）z、 众所周知，在一些温和的条件下，根据费曼-卡克公式，Pε，δ满足定价PDELε，δPε，δ（t，x，y，z，t）=0，Pε，δ（t，x，y，z，t）=Д（x）。（3.10）3.4摄动框架我们现在将按照Fouque等人【2011】中概述的方法，对Ft上的欧式导数进行形式奇异摄动和正则摄动分析。

然而，在我们的情况下，我们有一个根本的区别：微分算子的系数ε，δ，由方程（3.3）给出，以复杂的方式取决于ε和δ。特别是，对应于系数ε的术语-1不仅仅是ε阶-为了避免这个问题，我们将把系数展开为ε和δ的幂，然后收集每个阶的正确项。因此，有必要计算ψε，δi展开式的一些项。附录A中给出了该展开式的所有细节，最终结果是：Lε，δ=εL+√εL+L+√εL+√δM+rδεM+·····，其中Lis由（3.3）给出，l=ρe-κ（T-t） η（y，z）β（y）xx个y、 （3.11）L=t+e-2κ（T-t） η（y，z）xx个- r·（3.12）-e-2κ（T-t）φy（y，z）β（y）xx个y、 M=ρ（1- e-2κ（T-t） ）2κβ（y）g（z）’η（z）’η（z）xx个y（3.13）+ρβ（y）g（z）yz、 L=（ψ2,3,0（t，x，y，z，t）β（y）（3.14）+ρψ1,2,0（t，x，y，z，t）η（y，z）β（y））x个y-ρe-3κ（T-t）φy（y，z）η（y，z）β（y）xx、 M=ρe-κ（T-t） （1）- e-2κ（T-t） ）2κη（y，z）g（z）’η（z）’η（z）xx（3.15）+ρe-κ（T-t） η（y，z）g（z）xx个z+（ψ2,2,1（t，x，y，z，t）β（y）+ρψ1,1,1（t，x，t）η（y，z）β（y））x个y、 与Fouque et al.（2011）所述情况的根本差异体现在一个术语中：差异运算符L，它对顺序有贡献√ε在Lε的展开式中，δ。此外，请注意，这些运算符的系数与时间相关，这使渐近分析变得复杂。Fouque等人【2004年】也提出了这一难题。3.5一阶近似的形式推导让我们将Pε，δ形式化为√δ和√ε、 Pε，δ=Xm，k≥0(√ε） k级(√δ） mPk，m，并简单地用pw表示P0,0这里我们假设，在到期时，P（T，x，y，z，T）=Д（x）。我们对测定P、P1,0和P0,1感兴趣。我们遵循Fouque等人提出的方法。

【2011年】为了考虑新的术语L，进行了一些小的修改。为了计算前置项Pand P1,0，我们将Lε、δPε、δ的下列展开项设为零：(-1，0）：LP=0，（3.16）(-1/2，0）：LP1,0+LP=0，（3.17）（0，0）：LP2,0+LP1,0+LP=0，（3.18）（1/2，0）：LP3,0+LP2,0+LP1,0+LP=0，（3.19），其中我们使用符号（i，j）表示ε中的第i阶项和δ中的第jth阶项。3.5.1计算PWe寻求一个独立于y的函数P=P（t，x，z，t），从而满足方程（3.5）。由于Lt对y求导数，LP=0。因此，第二个（3.5）变为LP1,0=0，出于与之前相同的原因，我们寻求一个独立于y的函数P1,0=P1,0（t，x，z，t）。（0，0）阶方程（3.5）变为p2,0+:LP1,0+LP=0，这是P2,0的泊松方程，可解性条件为hlpi=0，其中h·i是L不变测度下的平均值。有关泊松方程的更多详细信息，请参见【Fouque等人，2011年，第3.2节】。定义nowLB（σ）=t+σxx个- r·（3.20）和σ（t，y，z，t）=e-κ（T-t） η（y，z），其中我们使用符号LB（σ）表示波动率σ的黑色微分算子。由于Pdoes不依赖于y，并且以（3.4）中的Lgiven形式存在，因此可溶度条件为Hlpi=hLB（σ（t，y，z，t）），iP=0。注意hlb（σ（t，y，z，t））i=t+xσ（t，·，z，t）x个- r·=LB（(R)σ（t，z，t）），其中(R)σ（t，z，t）=σ（t，·，z，t）= e-2κ（T-t） η（z），（3.21）和（3.1）中定义的η（z）。

因此，我们选择满足PDE的PtoLB（(R)σ（t，z，t））P（t，x，z，t）=0，P（t，x，z，t）=Д（x）。另请注意，LB（(R)σ（t，z，t））是具有时变波动率|σ（t，z，t）的黑色微分算子，因此，如果我们定义时间平均波动率，(R)σt，t（z，t），则公式为|σt，t（z，t）=t- tZTt'σ（u，z，T）du（3.22）=η（z）e-2κ（T-T）- e-2κ（T-t） 2κ（t- t） ！，我们可以将（t，x，z，t）=PB（t，x，’σt，t（z，t）），其中PB（t，x，σ）是在具有恒定波动率σ的黑色模型中，具有到期日和支付函数的欧洲衍生品在（t，x）的价格。为了简化这里和下面的符号，我们定义λ（t，t，t，κ）=e-κ（T-T）- e-κ（T-t） κ（t- t） 。（3.23）因此，(R)σt，t（z，t）=η（z）λσ（t，t，t，κ），其中λσ（t，t，t，κ）=pλ（t，t，t，2κ）。3.5.2计算Pε1,0通过（0，0）-阶方程（3.5），我们得到公式P2,0=-L-1（磅（σ）- 对于某些不依赖于y的函数c，LB（(R)σ））P+c（t，x，z，t），（3.24）。

用φ（y，z）表示泊松方程的解lφ（y，z）=η（y，z）- η（z）。因此，L-1（磅（σ）- LB（(R)σ））=L-1.（σ（t，y，z，t）- (R)σ（t，z，t））xx个=e-2κ（T-t） L-1（η（y，z）- η（z））xx=e-2κ（T-t） φ（y，z）D，其中我们使用符号dk=xkkxk。（3.25）从（1/2，0）-阶方程（3.5），这是P3,0的泊松方程，我们得到了可解性条件hlp2,0+LP1,0+LPi=0。（3.26）使用公式（3.5.2）计算P2,0，使用公式（3.4）计算L，得到LP2,0=-陆上通信线-1（磅（σ）- LB（(R)σ））P=-ρe-κ（T-t） η（y，z）β（y）xx个ye-2κ（T-t） φ（y，z）DP= -ρe-κ（T-t） xη（y，z）β（y）x个ye-2κ（T-t） φ（y，z）DP= -ρe-3κ（T-t） η（y，z）β（y）φy（y，z）DDP。我们还通过方程（3.4）得到了LP1,0=P1,0t+σ（t，y，z，t）xP1,0x个- rP1,0和来自（3.4）LP=-ρe-3κ（T-t）φy（y，z）η（y，z）β（y）DP。结合这些方程，我们得到lp2,0+LP1,0+LP=v（t，y，z，t）DP+v（t，y，z，t）DDP+LB（σ（t，y，z，t））P1,0，其中v（t，y，z，t）=-ρe-3κ（T-t）φy（y，z）η（y，z）β（y）。因此，对于Y的不变分布进行平均，我们从（3.5.2）中推断出Pε1,0=√εP1,0满足PDE：LB（(R)σ（t，z，t））Pε1,0（t，x，z，t）=-f（t，t）AεP（t，x，z，t），Pε1,0（t，x，z，t）=0，（3.27），其中ε=Vε（z）（DD+D），（3.28）f（t，t）=e-3κ（T-t） ，Vε（z）=-√ερφy（·，z）η（·，z）β.线性偏微分方程（3.5.2）显式求解：Pε1,0（t，x，z，t）=（t- t） λ（t，t，t，κ）Vε（z）（DD+D）PB（t，x，(R)σt，t（z，t）），（3.29），其中λ（t，t，t，κ）=λ（t，t，t，3κ），λ由（3.5.1）定义。

要看到这一点，请注意，（3.5.2）给出的运算符Aε和（3.5.1）和（3.5.1）给出的运算符LB（(R)σ（t，z，t）），通勤，因此，PDE（3.5.2）的解由pε1,0（t，x，z，t）给出=ZTtf（u，T）duAεP（t，x，z，t）。因此，求解上述积分，我们得到（3.5.2）。3.5.3计算Pδ0,1为了计算P0,1，我们需要考虑δ中1/2阶的项，更明确地说是以下项：(-1，1/2）：LP0，1=0，（3.30）(-1/2，1/2）：LP1,1+LP0,1+MP=0，（3.31）（0，1/2）：LP2,1+LP1,1+MP1,0+LP0,1+MP=0。（3.32）回顾由方程（3.4）和（3.4）定义的土地对y求导。选择P0,1=P0,1（t，x，z，t）和P1,1=P1,1（t，x，z，t）独立于y，前两个方程（3.5.3）和（3.5.3）满足。最后一个方程（3.5.3）为P2,1+LP0,1+MP=0，因此此泊松方程的可解性条件为P2,1ishLP0,1+MPi=0。从（3.4）我们得到mp=ρ′η（z）’η（z）（1- e-2κ（T-t） ）2κe-κ（T-t） η（y，z）g（z）DP+ρe-κ（T-t） η（y，z）g（z）DzP，然后，如果我们写Pδ0，1（t，x，z，t）=√δP0,1（t，x，z，t），上述可解性条件可以写成LB（(R)σ（t，z，t））Pδ0,1=-f（t，t）AδP- f（t，t）AδP，Pδ0,1（t，x，z，t）=0，（3.33），其中δ=Vδ（z）D，Aδ=Vδ（z）Dz、 Vδ（z）=√δ2κρhη（·，z）ig（z）’η（z）’η（z），f（t，t）=e-κ（T-t）- e-3κ（T-t） ，Vδ（z）=√Δρhη（·，z）ig（z），f（t，t）=e-κ（T-t） 。该偏微分方程的解也可以显式计算pδ0,1（t，x，z，t）=（t- t） Vδ（z）（λ（t，t，t，κ）D+λ（t，t，t，κ）DD）PB（t，x，(R)σt，t（z，t）），其中λ（t，t，t，κ）=λ（t，t，t，κ）- λ（t，t，t，3κ），λ（t，t，t，κ）=e-2κ（T-T） λ（T，T，T，κ）- λ（t，t，t，3κ）。附录C.3.6摘要和一些注释中给出了该计算的详细信息。我们现在总结了欧洲期货衍生品价格一阶渐近展开所涉及的公式。

我们记得，与之前一样，Dk=xk/xk。我们正式推导了Pε，δ的一阶近似值：Pε，δ≈ P+Pε1,0+Pδ0,1，其中P（t，x，z，t）=PB（t，x，’σt，t（z，t）），Pε1,0（t，x，z，t）=（t- t） λ（t，t，t，κ）Vε（z）（D+DD）PB（t，x，(R)σt，t（z，t）），Pδ0,1（t，x，z，t）=（t- t） Vδ（z）（λ（t，t，t，κ）D+λ（t，t，t，κ）DD）PB（t，x，’σt，t（z，t）），式中，’η（z）=hη（·z）i，Vε（z）=-√ερφy（·，z）η（·，z）β,Vδ（z）=√δ2κρhη（·，z）ig（z）’η（z）’η（z），λ（t，t，t，κ）=e-κ（T-T）- e-κ（T-t） κ（t- t） ，λ（t，t，t，κ）=λ（t，t，t，3κ），λ（t，t，t，κ）=λ（t，t，t，κ）- λ（t，t，t，3κ），λ（t，t，t，κ）=e-2κ（T-T） λ（T，T，T，κ）- λ（t，t，t，3κ），λσ（t，t，t，κ）=λ（t，t，t，2κ）。(R)σt，t（z，t）=η（z）λσ（t，t，t，κ）。微扰法的一个重要特征是，为了计算一阶近似值，我们只需要集团市场参数的值（κ、(R)η（z）、Vδ（z）、Vε（z））。这一特征也可以被视为该近似的模型独立性和鲁棒性：在定理3.2所述的正则条件下，该近似与描述过程Yε和zδ的特定形式的系数无关，即模型（2）中涉及的函数α、β、c和g。从现在起，我们将使用以下符号‘P（t，x，z，t）=P（t，x，z，t），（3.34）’Pε，δ（t，x，z，t）=Pε1,0（t，x，z，t）+Pδ0,1（t，x，z，t），（3.35）3.7近似精度我们现在陈述在前面章节中确定的形式近似的精确精度结果。第3.4节中的所有推理只是一个正式的程序，也是一个经过深思熟虑的建议一阶近似值的选择。下一个结果显示了该近似值的精度顺序，并对之前的选择进行了后验。定理3.2。

我们假设（i）任何固定（ε，δ）的SDE（2）的存在性和唯一性。（ii）具有微型生成器LHA的过程Y是唯一不变分布，并且是均值回复，如【Fouque等人，2011年，第3.2节】所示。（iii）函数η（y，z）在z上是光滑的，泊松方程（3.1）的解φ最多是多项式增长的。（iv）Payoff函数是连续且分段平滑的。那么，Pε，δ（t，x，y，z，t）=ePε，δ（t，x，z，t）+O（ε+δ）。证据附录B中提供了证明。注意，在方程式（3.6）和（3.6）给出的近似值的启发式推导中，我们没有使用任何额外的平滑度假设，因为Hikspoors和Jaimungal【2008】假设了其近似值的推导。Henceour定理涵盖了看涨期权的情况。能够将此近似值应用于所有选项对于下一节至关重要。4校准在本节中，我们将概述将集团市场参数（κ、(R)η（z）、Vδ（z）、Vε（z））校准为Ft、T上的看涨期权可用价格的程序。正如人们可能从【Fouque等人，2011年，第6章和第7章】或从功能It^oCalculus（Dupire【2009年】）应用到扰动分析得出的结论，集团marketparameters的值是将路径相关或美式期权定价到相同精度顺序所需的唯一参数。因此，一旦集团市场参数被校准为普通期权，相同的参数就被用来为奇异衍生品定价。这是微扰理论最重要的特征之一。此外，正如我们将从以下内容中得出的结论，本文推导的一阶近似值以及我们将未来价格视为变量的事实，允许推导模型到黑色的简单校准程序，这意味着实用性。

这在之前关于这一主题的工作中没有实现，请参见第5.4.1节未来合同的近似买入价格和隐含波动率。我们假设t=0，但不丧失一般性，并考虑F0上的欧洲买入期权，两个到期日t≤ T和K，即payoff函数由Д（x）=（x）给出-K） +。由于我们对校准市场组参数以在固定时间t=0时调用价格感兴趣，因此我们将在公式中删除变量（t，x），并改为写入变量（t，K）。我们还将删除变量z，因为它应该被理解为一个参数。（T，K）-看涨期权的黑色公式由cb（T，K，σ）=e定义-rT（F0，TΦ（d（σ））- KΦ（d（σ）），其中d1,2（σ）=log（F0，T/K）±σTσ√T、 我们还可以表示“d1,2=d1,2”（“σ0，T”），其中“σ0”是（3.5.1）中定义的时间平均波动率，注意方程（3.6）满足“P（0，F0，T，z，T）=CB（T，K，”“σ0，T）”。（4.1）黑价格的希腊人之间的以下关系是众所周知的，它们在以下方面至关重要：CB公司σ（T，K，σ）=TσDCB（T，K，σ），和dCB公司σ（T，K，σ）=1.-dσ√TCB公司σ（T，K，σ）（4.2）=+对数（K/x）σTCB公司σ（T，K，σ），其中运算符dk在（3.5.2）中定义。利用上述和（4.1）的希腊关系，我们可以将（3.6）改写为“Pε，δ=λ（T，T，κ）’σ0，TVε（z）+λ（T，T，κ）’σ0，TVε（z）+log（K/F0，T）’σ0，TT+λ（T，T，κ）’σ0，TVδ（z）+λ（T，T，κ）’σ0，TVδ（z）+对数（K/F0，T）’σ0，TT！！\'\'Pσ.现在，我们将价格Pε，δ转换为黑色隐含波动率I:CB（T，K，I（T，K，T））=Pε，δ=’P+’Pε，δ+··。评论由于我们的模型中没有现成的现货价格可供交易，因此我们使用期货。

因此，与股票案例不同，我们考虑的是黑色隐含波动率，而不是黑色-斯科尔斯隐含波动率。然后，将I（T，K，T）展开到σ0附近，T:I（T，K，T）- (R)σ0，T=√εI1,0（T，K，T）+√δI0,1（T，K，T）+···。因此，匹配这两个扩展可以√εI1,0（T，K，T）=λ（T，T，κ）λσ（T，T，κ）Vε（z）(R)η（z）+λ（T，T，κ）λσ（T，T，κ）Vε（z）(R)η（z）log（K/F0，T）T，√δI1,0（T，K，T）=λ（T，T，κ）λσ（T，T，κ）+λ（T，T，κ）λσ（T，T，κ）Vδ（z）(R)η（z）+λ（T，T，κ）λσ（T，T，κ）Vδ（z）(R)η（z）log（K/F0，T）T。因此，就缩减变量LMMR而言，由MMR定义的对数货币到期率=log（K/F0，T）T，隐含波动率I（T，K，T）的一阶近似值可以写成I（T，K，T）≈ η（z）’b（T，T，κ）+Vε（z）’η（z）bε（T，T，κ）+Vδ（z）’η（z）bδ（T，T，κ）（4.3）+Vε（z）(R)η（z）aε（T，T，κ）+Vδ（z）(R)η（z）aδ（T，T，κ）LMMR，式中：b（T，T，κ）=λσ（T，T，κ），bε（T，T，κ）=λ（T，T，κ）λσ（T，T，κ），bδ（T，T，κ）=λ（T，T，κ）λσ（T，T，κ）+λ（T，T，κ）λσ（T，T，κ），aε（T，T，κ）=λ（T，T，κ），aδ（T，T，κ）=λ（T，T，κ）λσ（T，T，κ）。因此，该模型在一阶精度下预测，对于固定期限，隐含波动率在LMMR变量中是一个函数。评论将衍生产品价格视为未来价格的函数的重要性随后展开为方程式（4.1）。事实上，若将Cb视为pot值V的函数，就像Hikspoors和Jaimungal（2008）中所做的那个样，那个么这样的公式就不成立了。因此，无法按照Fouque等人【2011年】提出的标准步骤进行以下计算。